2022年小升初数学衔接班第3讲——一元一次方程的解法 .pdf

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1、年级新初一学科数学版本通用版内容标题小升初数学衔接班第3 讲一元一次方程的解法（一）编稿老师陈孟伟一、学习目标1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用的“转化”的过程和思想。二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为1 的方法的使用及其依据。三、课程精讲1、引入古代诗歌曰：“我问开店李三公，多少客人在店中？一房七客多七客，一房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客。”2、知识回顾（1）什么是方程我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。（2）去括号法则在本讲中，我们

2、要用到上一讲学习过的去括号法则，请同学们提前复习一下。例 1、化简下列式子（1）(23 )(4 )abab（2）3(2)2(4 )xyxy思路导航：回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。解答：（1）234abab原式243aabbab（2）6328xyxy原式6283xxyy45xy点津：去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方，请同学们在做题过程中引起重视，多检查。3、新知探秘知识点一方程的解与解方程使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，当3x时，在方程3241xx中左边 =3 3211右边 =43111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、- - - - - -第 1 页，共 11 页所以，左边 =右边，故3x是方程3241xx的解。例 2、检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。（1）3121yy（4,2yy）（2）(2)(3)0 xx（0,2xx）思路导航： 回忆方程的解的定义，并运用它解题。解答：（1）当4y时，34111左边，右边2419所以，左边右边，4y不是方程的解。当2y时，3215左边，右边2215所以，左边 =右边，2y是方程的解。（2）当0 x时，左边(20)(30)6，右边 =0 所以，左边右边，0 x不是方程的解。当2x时，左边(22)(32)0，右边 =0 所以，左边 =右边，2x是方程的解。点津：求方

4、程的解的过程，叫做解方程。我们在小学已经学习过简易方程，比如，349x，153(1)32aa等，像这样只含有一个未知数，且未知数的次数都是1 的方程叫做一元一次方程。知识点二等式的性质既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究等式的性质。如上图，从左到右， 我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量，天平仍保持平衡；从右到左， 我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量，天平仍保持平衡。等式与天平的平衡类似，于是有：等式的性质1等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。类似的， 在上图中， 观察从左到右和从右到左天平两边的变化，可以类比得到等式的又一性质：等式的性质

5、2等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。例 3、填空（1）若32x，那么x_；（2）若6xy，那么6x_；（3）若324xy，那么2y_；（4）若324x，那么x_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页思路导航： 利用等式的性质达到使等式变形的目的。解答：（1）1；（2）y；（3）324yx；（4）8。点津： 养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。例 4、判断（1）若axay，则xy；（2）若xy，则55xy；（3）若0(0)axba，则bxa；（4）若5263xx，那么1x。思路导航： 为

6、题目中给定的变形式找依据。解答：（1）错，若0a，则不能用等式的性质2；（2）错，利用等式的性质1，可得55xy，而并非题目所给结果；（3）错，利用等式的性质1，得axb，再利用等式的性质2，得bxa；（4）对，利用等式的性质1，得3265xx，即1x。点津： 此题与上题在逻辑上正好相反，上题是按依据来变形，此题是为变形找依据，带有逆向思维的成分，属于更高层次的要求。知识点三解一元一次方程（一）系数化为1 mxn（其中,m n为常数，0m）是比较简单的一元一次方程。解这类方程时，可以利用等式的性质2，将未知数的系数化为1 即可。例 5、解下列方程（1）1560 x（2）322m（3）2.51.

7、5p（4）3.10 x思路导航： 将系数化为1 其实是利用等式的性质2。解答：（1）方程两边同时除以15，得15601515x即4x（2）方程两边同时除以32，得3332222m即43m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页（3）2.51.5p方程两边同时除以2.5，得2.51.52.52.5p即35p（4）方程两边同时除以3.1，得3.103.13.1x即0 x点津： 将系数化为1 实际上是将此类方程化为形如xa的最简单的方程。知识点四解一元一次方程（二）移项我们来研究方程5234xx（1）的解法。如果我们能把这个方

8、程变形为上述简单方程就能很容易求出解。上述简单方程的一边只含有x的项而没有常数项，而另一边只有常数项而没有含x的项。所以，根据等式的性质1，方程（ 1）两边同时加上2，即(52)2(34)2xx于是，得到一个新的方程536xx（2）这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程。再根据等式的性质1，方程（ 2）两边同时减去3x，即53(36)3xxxx于是，得到与原方程同解的方程26x（3）将这个方程中未知数的系数化为1，得3x。将方程（ 1）与方程（ 2）作比较这个变形可以看作是把方程左边的常数项2改变符号后，移到方程的右边。同样，将方程（2）与方程（ 3）作比较这个变形又可以看作是把

9、方程右边的含x的项x3 改变符号后，移到方程的左边。这种变形叫做移项 。移项法则： 把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边，方程的解不变。求方程（ 1）的解的过程可以写为解： 移项，得5342xx合并，得26x方程两边同除以2，把x的系数化为1，得3x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页例 6、解下列方程（1）752xx（2）356444yy（3）312xx（4）4143xx思路导航： 在计算的过程中，一定要依据移项的法则求解。解答：（1）移项，得1752xx合并，得122x，即122x系数化为 1，得4x（2）

10、移项，得536444yy合并，得22y系数化为 1，得1y（3）移项，得1132xx合并，得512x，即512x系数化为 1，得25x（4）移项，得4341xx合并，得75x系数化为 1，得57x点津：移项的本质是利用了等式的性质1。通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如(0)mxn m的简单方程。这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结。知识点五解一元一次方程（三）去括号和去分母如果一元一次方程中含有括号，我们需要利用上一讲学习的去括号法则，将括号去掉，再将其转化为较简单的形式，利用移项和合并， 最终化为最简单的方程，从而求出方程的解。例 7、解下列一元一次方程（

11、1）422(4)xx（2）3(7)294(2)22yy思路导航： 当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单的方程。解答：（1）去括号，得4228xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页移项，得4282xx合并，得210 x系数化为 1，得5x（2）去括号，得3212984 22yy再去括号，得321 1816822yy移项，得3822211816yy合并，得1145y系数化为 1，得4511y点津：此例题比上一例题更为复杂，但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单的形式，这也是利用了转化的方式。另外，

12、在对形如4(3)x的式子进行去括号时，其实还是一个运用分配律的过程。有的方程未知数的系数是分数，而整数的运算比分数的运算简单、不容易出错。因此，我们自然会想，有没有什么办法可以将分数化为整数？这个办法就是利用等式的性质2，在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母。我们以方程2121436xx为例。这里有三个分母，其最小公倍数为12，在这个方程的左右两边同时乘以12，得212() 12(1) 12436xx利用乘法分配律，得21212121 1212436xx即3(2)4122(2)xx得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了，解答过程如下：去括号，得3641242xx移项，得3212464

13、xx合并，得10 x例 8、解下列一元一次方程（1）34524xx（2）243146xx思路导航： 要清楚去分母的依据和步骤。解答：（1）方程两边同时乘以4，得2(34 )5xx去括号，得685xx移项，得658xx合并，得613x，即136x系数化为 1，得613x（2）方程两边同时乘以12，得3(2)2(43 )12xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页去括号，得368612xx移项，得361268xx合并，得926x系数化为 1，得269x点津：去分母的过程， 实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过

14、程。大家一定要总结其中的“转化”思想。大家熟悉去分母的过程后就不必这样详细书写，只需写“去分母，得”即可。知识点六解一元一次方程的一般步骤为更全面地讨论问题，我们以521042345102yyy为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤。这个方程各分母的最小公倍数为10，方程两边同时乘以10，于是方程变形为3 102(52 )4 10(104 )5(2)yyy需要注意的是，方程左右两边的每一项都要乘以10，谨防漏乘；分数线本身具有括号的作用，所以去分母后先把括号添上。我们用下列流程图表示具体解答过程：这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤。解方程就是要求出其中的未知数（比如x） ，通过去分母

15、、去括号、移项、合并、系数化为 1 等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着xa的简单形式转化，这个过程主要依据了等式的性质和运算律等方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页例 9、解方程412131621xxx思路导航： 依据上述解一元一次方程的步骤即可解决。解答：去分母，得2(12 )4(1)123(21)xxx去括号，得24441263xxx移项，得64412324xxx合并，得63x系数化为 1，得12x点津：一定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程。四、知识提炼导图五、目标期望

16、通过本讲的学习，希望同学们了解什么叫方程的解，掌握解一元一次方程的步骤，包括去分母、去括号、合并、系数化为1，不但要会算，而且还要知道为什么可以这样算。另一方面， 希望同学们在解一元一次方程的过程中，体会由繁杂到简单的转化思想，这种转化思想将会一直伴随在我们的学习中。六、下讲预告虽然同学们在本讲学习了一元一次方程的解法，从理论上大家可以解任意的一元一次方程了。 但是，大家一方面可能由于运算不熟练而在解题过程中出现很多错误；另一方面有的方程的结构决定了其可以简便计算，大家很可能由于没有见到过而解得比较繁琐。这就是我们下一讲需要解决的主要问题。【同步练习】 （答题时间： 45 分钟）1、火眼金睛：

17、（1）对于成立的等式来说，下列说法错误的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页A. 若acbc，则abB. 若acbc，则abC. 若abcc，则abD. 若acbc，则ab（2）方程152xx的解为（）A. 9B. 3 C. 3D. 9 （3）与方程2132xx同解的方程是（）A. 231xxB. 323xxC. 2334xxD. 12231xx（4）若312x与(52 )3x的和为 0，则x的值应为（）A. 7 B. 2 C. 1 D. 0 （5）一个个位是4 的三位数，如果把这个数4 换到最左边，所得的数比

18、原数的3 倍还多 98，则原数是（）A. 544 B. 144 C. 104 D. 404 2、对号入座：（1）已知3x是方程22324xmxm的解，则m_；（2）已知6446xx，则代数式2231xx的值是 _；（3）当2173x时，方程256xy中的y的值为 _；（4）当x_时，代数式1(12 )3x与代数式2(31)7x的值相等；（5）如果关于x的方程31xm与2322xmm同解，那么m_；3、牛刀小试：（1）解下列方程32221xxx3)7(25 .15)3(25 .14xxx（2）如果方程212134xx与关于x的方程142()2xxn的解相同， 求2(3)n的值。精选学习资料 -

19、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页【试题答案】1、火眼金睛（1）D A 项和 B 项中变形的依据都是利用了等式性质1；C 项中变形的依据是利用了等式性质2，由于c出现在条件的分母上，所以0c；而 D 项中的c可能会等于0，所以不能两边同时除以c。（ 2） D 去 分 母 ， 得2(1)10 xx； 去 括 号 ， 得2110 xx； 移 项 ， 得2101xx；合并，得9x。（3）B 方法一是将题干和选项中的方程都解出来，看看哪个选项方程的解与题干方程的解相同。方法二是将题干方程解出来，得3x，然后将其代入选项中，看它是哪个选项方程

20、的解。方法三是利用等式性质1（在这里是移项法则） ，看题干方程能变形为哪个选项方程。（4） A 由题意，得3(52 )1023xx。 去分母， 得3(3)62(52 )0 xx；去括号，得9361040 xx；移项，得431069xx；合并，得7x。（5）C 方法一是将选项中的数一一进行验证。方法二是设原数去掉个位数字得到的两 位 数 为x， 则 依 据 题 意 ， 得4003(104)98xx， 解 得10 x， 所 以 原 数 为104104x。2、对号入座：（1）1411将3x代入方程两边，应该相等，即22 33324mm，解这个关于m的方程，得1411m。（ 2 ） 36 由6446x

21、x， 得5x； 将5x代 入2231xx， 得222312 53 5136xx。（ 3）145因 为2173x， 所 以10 x； 将10 x代 入 方 程256xy， 得2056y，解得145y。（4）321由题意，得12(12 )(31)37xx；去分母，得7(12 )6(31)xx；去括号，得714186xx；移项，得761814xx；合并，得32x=1；系数化为1，得321x。（5）4 方程31xm的解为13mx，方程2322xmm的解为22mx，所以，1232mm。去分母，得2(1)3(2)mm；去括号，得2263mm；移项，得3262mm；合并，得4m。3、牛刀小试：（1）去分母，

22、得63(1)122(2)xxx去括号，得6331224xxx移项，得6321243xxx合并，得55x系数化为 1，得1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页原方程可化为292(3)32(7)2523xxx去分母，得152912(3)4520(7)xxx去括号，得43512364520140 xxx移项，得43536140452012xxx合并，得25937x，即37259x系数化为 1，得7x（ 2 ） 将 方 程212134xx去 分 母 ， 得4(21)3(21)xx； 去 括 号 ， 得8463xx；移项，得8634xx；合并，得27x；系数化为1，得72x。将72x代入方程142()2xxn，得17142()22n。去分母，得2812(72 )n；去括号，得27144 n；移项，得413n；系数化为1，得134n。当134n时，22131(3)(3)416n。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页