2022年完整word版,清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案 .pdf

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1、第二学期高等数学期末考试试卷答案第 1 页 共 9 页清华大学第二学期期末考试模拟试卷一填空题（本题满分30 分，共有10 道小题，每道小题3 分） ，请将合适的答案填在空中1. 设向量AB的终点坐标为7, 1,2B，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、4和7，则该向量的起点A的坐标为 _2. 设a、b、c都是单位向量，且满足0cba，则accbba_ 3. 设xyxyz2cossin，则yz_4. 设yxz，则yxz2_5. 某 工 厂 的 生 产 函 数 是),(KLfQ， 已 知 . 当20,64 KL时 ，25000Q； （2）当20,64 KL时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率

2、为270Lf，350Kf。如果工厂计划扩大投入到24,69 KL，则产量的近似增量为 _ 6. 交换积分顺序，有2210,yyydxyxfdy_7. 设级数1nnu收敛，且uunn1，则级数11nnnuu_8. p级数11npn在p满足 _条件下收敛9. 微分方程xxysin的通解为y_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 2 页 共 9 页10. 对于微分方程xeyyy23，利用待定系数法求其特解*y时，应设其特解*y_ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）答案：1. 0,3,2A

3、；2. 23；3. xyxyxxyxsincos2cos；4. xyxyln11；5. 2750单位；6. 111101012,xxdyyxfdxdyyxfdx；7. 02uu；8. 1p；9. 213sin61CxCxx；10. xAxey*二 （本题满分8 分）求过点3,2, 10P，且与两平面12zx和23zy平行的直线方程解：所求直线l过点3,2, 10P，设其方向向量为s，由于l平行于平面12zx和23zy，所以其方向向量s同时垂直于向量2,0,11n与3,1,02n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第二学

4、期高等数学期末考试试卷答案第 3 页 共 9 页因此，方向向量s可取为，kjikjisns32310201从而所求直线方程为133221zyx三 （本题满分8 分）设函数xyxzFxuk,，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数试求zuzyuyxux解：22211,xyxyxzFxxzxyxzFxxyxzFkxxukkkxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxkkk,22121xyxzFxxxyxzFxyukk,1,212xyxzFxxxyxzFxzukk,1,111所以，zuzyuyxux精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页

5、，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 4 页 共 9 页xyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxxkkk,22121xyxzFxzxyxzFxykk,1121xyxzFkxk,四 （本题满分8 分）计算二重积分42222yxyxdxdyeI的值解：作极坐标变换：sin,cosryrx，则有2020422222rdreddxdyeIryxyx12124202eer五 （本题满分8 分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222),(（万元）若市场调查分析，共需两种机床8 台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数yxc,在条

6、件8yx下的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 5 页 共 9 页构造辅助函数)8(2,22yxxyyxyxF解方程组080402yxFyxFyxFyx解得3,5,7yx这唯一的一组解，即为所求， 当这两种型号的机床分别生产5台和3台时， 总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22c（万）六 （本题满分10 分）. 将21lnarctanxxxxf展开为x的幂级数；. 指出该幂级数的收敛域；. 求级数1121nnnn的和解：. 因为022111arctannnnxxx

7、1x，且00arctan，所以，01200200212111arctannnnnxnnxnnnxndttdttx11x而12221211ln211lnnnnxnxx11x所以，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 6 页 共 9 页21lnarctanxxxxf12012121121nnnnnnxnxnx012022121121nnnnnnxnxn0222211211nnnxnn02222121nnnxnn11x. 幂级数02222121nnnxnn的收敛域为1,1. 令1x，则有11

8、12212121nnnnnnnn2ln214211ln1arctan12122f2ln2七 （本题满分10 分）求微分方程1lnlnxxyxyx的通解解：该方程为一阶线性微分方程xxyxxyln1lnln1因此，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 7 页 共 9 页xxxPln1，xxxQln1ln代入一阶线性微分方程的求解公式，有Cdxexxeydxxxdxxxln1ln1ln1lnCxdxxxxlnln1lnln1Cdxxx1lnln1Cxxxlnln1所以，原方程的通解为xCx

9、Cxxxylnlnln1八 （本题满分10 分）讨论级数11ln1nnnn的绝对收敛性与条件收敛性解：. 因为级数11ln1nnnn为交错级数，nnun1ln由于，0122ln12ln1ln12ln2221nnnnnnnnnnnuunn所以数列nu单调减少而且01lnlimlimnnunnn因此由 Leibniz 判别法知，级数11ln1nnnn收敛. 讨论级数111ln1ln1nnnnnnn其前n项部分和为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 8 页 共 9 页nknkks11lnn

10、nln1ln3ln4ln2ln3ln1ln2ln1ln nn所以，级数111ln1ln1nnnnnnn发散综上所述知，级数11ln1nnnn条件收敛九 （本题满分8 分）设函数uf具有二阶连续的导函数，而且yefzxsin满足方程zeyzxzx22222，试求函数uf解：设yeuxsin，则有yeufxzxsin，yeufyzxcos所以，yeufyeufxzxxsinsin2222yeufyeufxzxxsincos2222代入方程zeyzxzx22222，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第二学期高等数学期末考试试卷答案第 9 页 共 9 页得，zeyeufyeufyeufyeufxxxxx22222sincossinsin即，xxeufeuf22由此得微分方程0ufuf解此二阶线性微分方程，得其通解为uueCeCuf21（1C与2C为任意常数）此即为所求函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页