2022年高考数学压轴题选编 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载11 月 22 日（20XX年上海） 20.对于项数为m 的有穷数列 an，记 bk=maxa1，a2，ak（k=1 ，2，m） ，即 bk为a1，a2，ak中的最大值，并称数列bn是an的控制数列，如1，3，2，5，5 的控制数列是1，3，3，5，5。（1）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 an。（2）设 bn是an的控制数列，满足ak+bm-k+1=C （C 为常数， k=1 ，2，m ） ，求证： bk=ak（k=1 ，2，m ） 。（3）设 m=100，常数，若，bn是an的控制数列，求（b1-a1）+ （b2-a2）+ +（b1

2、00-a100） 。20XX年西城一模20.（本小题满分14 分）设3m，对于有穷数列na(1,2,nm=L), 令kb为12,ka aaL中的最大值，称数列nb为na的“创新数列”. 数列nb中不相等项的个数称为na的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3. 考察自然数1,2,(3)m mL的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列nc. （）若 m=5, 写出创新数列为3,4,4,5,5 的所有数列nc；() 是否存在数列nc， 使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列nc，若不存在，请说明理由；（）在创新阶数为2 的所有数列nc中，求

3、它们的首项的和. （20XX 年北京高考）20. (本小题共13 分)已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为An， 第 n项之后各项1na，2na的最小值记为Bn，dn=AnBn(I)若an为 2，1，4，3，2，1，4，3 ，是一个周期为4 的数列 (即对任意nN*，4nnaa)，写出 d1，d2，d3，d4的值；(II)设 d 为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3 )的充分必要条件为an为公差为d 的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3 )，则 an的项只能是1 或 2，且有无穷多项为1. 精选学习资料 - - - - - - -

4、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载2011 北京高考20. 若数列12,.,(2)nnAa aa n满足111(1,2,.,1)naakn，数列nA 为E数列，记()nS A=12.naaa . （）写出一个满足10saa，且()sS A0 的E数列nA ；（） 若112a， n=2000， 证明：E数列nA 是递增数列的充要条件是na =2011；（）对任意给定的整数n（n2） ，是否存在首项为0 的 E数列nA ，使得nS A=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列nA ；如果不存在，说明理由。20XX年海淀一模20. （本小题满分

5、13 分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）( )A n：123,nA AAA与( )B n：123,nB B BB，其中3n，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同；线段11iiiiAAB B，其中1, 2, 3,1in，则称( )A n与( )B n互为 正交点列 . （）求(3)A：123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列(3)B；（）判断(4)A：12340,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA是否存在正交点列(4)B？并说明理由；（）5nn，N，是否都存在无正交点列的有序整点列( )A n？并证明你的结论.

6、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX 年西城一模20 （本小题满分13 分）在数列na中，1()nannN 从数列na中选出(3)k k 项并按原顺序组成的新数列记为 nb，并称nb为数列na的k项子列例如数列1 1 1 1,2 3 5 8为 na的一个 4 项子列（）试写出数列na的一个 3 项子列，并使其为等差数列；（）如果nb为数列na的一个 5 项子列，且nb为等差数列，证明：nb的公差d满足108d；（）如果nc为数列na的一个(3)m m项子列，且nc为等比数列，证明：123

7、1122mmcccc L20XX年西城二模20. （本小题满分13 分）若mAAA,21为集合2(,2, 1nnA且)n*N的子集，且满足两个条件：12mAAAA；对任意的Ayx,，至少存在一个, 3,2, 1mi，使,xyxAi或 y. 则称集合组mAAA,21具有性质P.如图，作n行m列数表， 定义数表中的第k行第l列的数为)(0)(1llklAkAka. （） 当4n时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1：1231,3,2,3,4AAA；集合组 2：1232,3,4,2,3,1,4AAA.（）当7n时，若集合组123,A AA具有性

8、质P，请先画出所对应的7行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,A AA；（）当100n时，集合组12,tA AA是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及12|tAAA的最小值 . （其中|iA表示集合iA所含元素的个数）11a12ama121a22ama21na2nanma精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX年海淀二模20. （本小题满分13 分）设A是由mn个实数组成的m行n列的数表， 如果某一行 （或某一列） 各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，

9、称为一次“操作”. ( ) 数表A如表 1 所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次 “操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表 1 ( ) 数表A如表 2 所示， 若必须经过两次 “操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；( ) 对由mn个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表 2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 1 2 3 721 0 1 22221212aaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - -

10、名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX 年上海（1）数列na为： 2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4 分（2）因为,max21kkaaab，,max1211kkkaaaab，所以kkbb1. 6 分因为Cbakmk1，Cbakmk1，所以011kmkmkkbbaa，即kkaa1. 8 分因此，kkab. 10 分（3）对25,2, 1k，)34()34(234kkaak；)24()24(224kkaak；) 14()14(214kk

11、aak；)4()4(24kkaak. 比较大小，可得3424kkaa. 12 分因为121a，所以0) 38)(1(2414kaaakk，即1424kkaa；0)14)(12(2244kaaakk，即244kkaa. 又kkaa414，从而3434kkab，2424kkab，2414kkab，kkab44. 15 分因此)()()(1001002211ababab =)()()()()(9999141410107733abababababkk =)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk =2511424)(kkkaa=251)38()1 (kka=)1(252

12、5a. 18 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX年西城一模20.（本小题满分14 分）（）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5 的数列nc有两个，即：（ 1） 数列 3， 4， 1， 5， 2；-2分（ 2）数列 3， 4，2，5，1. -3 分注：写出一个得2 分，两个写全得3 分. （）答：存在数列nc，它的创新数列为等差数列. 解：设数列nc的创新数列为(1,2,)nenm=L，因为me为12,mc ccL中的最大值 . 所以mem=. 由题意知：ke为12,kc ccL中最

13、大值，1ke+为121,kkc cc c+L中最大值，所以1kkee+，且1,2, kem?L. 若ne为等差数列， 设其公差为d，则10kkdee+=-?，且 d ? N， -5分当 d=0 时，ne为常数列，又mem=，所以数列ne为,m mmL，此时数列nc是首项为m 的任意一个符合条件的数列；当 d=1 时，因为mem=，所以数列ne为1,2,3,mL，此时数列nc是1,2,3,mL；-7 分当2d 3时，因为111(1)(1)222meemdemme=+-?-?-+，又13,0me，所以mem，这与mem=矛盾，所以此时ne不存在， 即不存在nc使得它的创新数列为2d 3的等差数列

14、. 综上，当数列nc为：（1） 首项为 m 的任意符合条件的数列； （2） 数列1,2,3,mL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载时，它的创新数列为等差数列. -9 分注：此问仅写出结论（1） （2）者得 2 分. （）解：设nc的创新数列为(1,2,)nenm=L，由()知，mem=，由题意，得11ec=，所以当数列nc的创新阶数为2 时，ne必然为111,c cc m mmLL（其中1cm），-10 分由排列组合知识， 得创新数列为, , ,()k kk m mm kmLL的符合条件的nc的

15、个数为1111111111(1)!m km kkm kkmm kkmkCAAAAmmkmk-鬃=?-， -12 分所以，在创新阶数为2 的所有数列nc中，它们的首项的和为1111(1)!(1)!mmkkmkkmmkmk-=-?-?-邋. -14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

16、- -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载2011 北京高考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX年海淀一模20.解：（）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列是123,B B B, 由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)BB,设2( , )Bx y，1223(3, 2),(2,2)A AA A，1223( ,2)(5,2)B Bx yB Bxy，由正交点列的定义可知12120A AB B,23230A AB B, 即32(2)0,2(5)2(2)0

17、 xyxy解得25xy所以点列123(0, 2),(3, 0),(5, 2)AAA的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)BBB.-3分（）由题可得122334(3,1),(3, 1)(3,1)A AA AA A，设点列1234,B BB B是点列1234,A AA A的正交点列，则可设121232343( 1,3),(1,3)( 1,3)B BB BB B，,123，Z因为1144,AB AB与与相同，所以有123123-+-=9 ,（1）3+3+3=1. （2）因为123，Z，方程（ 2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在

18、正交点列；-8分（）5nn，N，都存在整点列( )A n无正交点列 . -9分5nn，N，设1( ,),iiiiAAa b其中,iia b是一对互质整数，1,2,3,1in若有序整点列123,nB B BB是点列123,nA A AA正交点列 , 则1(,),1,2,3,1iiiiiB Bb ain，则有11=1111=11,(1).(2)nniiiiinniiiiibaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载当n为偶数时，取1,(0,0)A1,=3=,1,2,3,1-1iiiabini为奇数，

19、 为偶数. 由于123,nB B BB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1in. 等式（ 2）中左边是3 的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,nA A AA无正交点列；当n为奇数时，取1,(0,0)A11=3,2ab,1,=3=,2,3,1-1iiiabini为奇数， 为偶数, 由于123,nB B BB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1in. 等式（ 2）中左边是3 的倍数，右边等于1，等式不成立，新 课标第一 网所以该点列123,nA A AA无正交点列 . 综上所述，5nn，N，都不存在无正交点列的有序整数点列( )A n-13分精选学习资料 - - - - - - -

20、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX 年西城一模20 （本小题满分13 分）（）解：答案不唯一如3项子列12，13，16； 2分（）证明：由题意，知1234510bbbbb，所以210dbb 3分若11b，由 nb为na的一个 5 项子列，得212b，所以2111122dbb因为514bbd，50b，所以515411dbbb，即14d这与12d矛盾所以11b所以112b，6分因为514bbd，50b，所以51511422dbbb，即18d，综上，得108d 7 分（）证明：由题意，设nc的公比为q，则211231(1)mmccc

21、ccqqqLL因为 nc为 na的一个 m 项子列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载所以q为正有理数，且1q，11()1caaN设(,KqK LLN，且,K L 互质，2L） 当1K时，因为112qL，所以211231(1)mmcccccqqqLL211111()()222mL，112( )2m，所以112312()2mmccccL 10 分当1K时，因为11111mmmmKcc qaL是na中的项，且,K L 互质，所以1*()maKM MN，所以211231(1)mmcccccqqqLL

22、1232111111()mmmmMKKLKLLL因为2L，*KMN，所以21112311111()()2()2222mmmccccLL 综上，1231122mmccccL 13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX年西城二模20. （本小题满分13 分）（ ）解：集合组1 具有性质P. 1 分所对应的数表为： 3 分集合组 2 不具有性质P. 4 分因为存在2,31,2,3,4，有1232,32,3, 2,32,3 , 2,3AAA，与对任意的Ayx,，都至少存在一个1,2,3i，有,

23、xyxAi或 y矛盾，所以集合组1232,3,4,2,3,1,4AAA不具有性质P. 5 分（） 7 分1233,4,5,7,2,4,6,7,1,5,6,7AAA. 8 分（注：表格中的7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（）设12,tA AA所对应的数表为数表M，因为集合组12,tA AA为具有性质P的集合组，所以集合组12,tA AA满足条件和，由条件：12tAAAA，可得对任意xA，都存在1,2,3, it有iAx，所以1xia，即第x行不全为0，所以由条件可知数表M中任意一行不全为0. 9 分由 条 件 知 ， 对 任 意 的Ayx,， 都 至 少 存 在 一 个1

24、,2,3, it， 使,xyxAi或 y，所以yixiaa ,一定是一个1 一个 0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同. 所以由条件可得数表M中任意两行不完全相同. 10 分因为由0,1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组， 共有21t个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以10021t，所以7t. 又7t时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

25、归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质P. 所以7t. 12 分因为12|tAAA等于表格中数字1 的个数，所以，要使12|tAAA取得最小值，只需使表中1 的个数尽可能少，而7t时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C行；1的个数为3的行最多3735C行；1的个数为4的行最多4735C行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304个1. 所以12|tAAA的最小值为304. 14 分精

26、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载20XX年海淀二模20.（I）解：法1：42123712371237210121012101改变第 列改变第 行法 2：14123712371237210121012101改变第 列改变第 列3 分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2，0，每一行所有数之和分别为1，1; 如果首先操作第三列，则22221212aaaaaaaa则第一行之和为21a，第二行之和为52a ，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a或52a当12a时，则接下来只能

27、操作第一行，22221212aaaaaaaa此时每列之和分别为2222 ,22,22 ,2aaaa必有2220a，解得0, 1a当52a时，则接下来操作第二行22221212aaaaaaaa此时第4列和为负，不符合题意. 6 分 如果首先操作第一行22221212aaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载则每一列之和分别为22a ，222a， 22a，22a当1a时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a时， 22a ， 22a至少有一个为负数，所以此时必须有2220a

28、，即11a，所以0a或1a经检验，0a或1a符合要求综上：0a9 分（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：记数表中第i行第j列的实数为ijc（1,2,;1,2,im jn） ，各行的数字之和分别为12,ma aa， 各列的数字之和分别为12,nb bb，12mAaaa，12nBbbb，数表中mn个实数之和为S，则 SAB 。记112211221min11(1,2, )0|iin inliinini mKk ck ck cklnk ck ck c或且1 1221 1221min11(1,2,)0|jjmmjsjjmmjj nTt ct ct ctsmt ct ct c或且min,K T按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列） 各数的符号， 而不改变其绝对值，显然， S必然小于等于最初的数表中mn个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时， 必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页