2022年高等代数第二章多项式教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案第二章多项式教学目的要求一元多项式在本章中占有突出的重要位置它对培养、提高学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等教学内容及学时分配多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理数域上的

2、多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）重点、难点理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代数基本定理， C、R、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表示对称多项式教学手段传统教学和多媒体教学相结合21 一元多项式的定义和运算教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律教学过程讲授练习.多项式的定义令 R 是一个数环 ,并且R 含有数1,

3、因而R 含有全体整数.在这一章里 ,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复先讨论 R上一元多项式定义1 数环R 上一个文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式nnxaxaxaa,2210，（）这里n 是非负整数而naaaa,210都是R 中的数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页名师精编优秀教案在多项式 (1)中,0a叫做零次项或常数项, xa1叫做一次项 ,一般 , iixa叫做i 次项, ia叫做i 次项的系数 . 一元多项式常用符号f(x),g(x),来表示 . 2. 相等多项式 : 定义2 若是

4、数环R 上两个一元多项式f(x) 和 g(x) 有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和 g(x) 说是相等 ; f (x)=g(x) 非负整数n 叫做多项式nnxaxaxaa,2210,( 0na)的次数 . 系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义 2,零多项式总可以记为0.以后谈到多项式f(x)的次数时 ,总假定f(x) 0. 多项式的次数有时就简单地记作xf0. 3. 多项式的运算: nnxaxaaxf10mmxbxbbxg10是数环R 上两个多项式，并且设m n，多项式f(x) 与 g(x)的和f(x)+g(x) 指的是多项式nnnmmmxbaxb

5、axbaba1100这里当m2) 个多项式互素的情形若多项式 h(x) 整除多项xfxfxfn,),(21，中的每一个， 那么 h(x) 叫做这n 个多项式的一个公因式。若是xfxfxfn,),(21的公因式d(x) 能被这n 个多项式的每一个公因式整除，那么d(x) 叫xfxfxfn,),(21做的一个最大公因式. 容易推出：若xd0是多项式若是xfxfxfn,),(21的一个最大公因式，那么xd0与xfn多项式的最大公因式也是多项式若是xfxfxfn,),(21的最大公因式. 这样，由于两个多项式的最大公因式总是存在的，所以n 个多项式的最大公因式也总是存在的，并且可以累次应用辗转相除法来

6、求出. 与两个多项式的情形一样，n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别。我们约定n 个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是1 的那一个。那n 个多项式xfxfxfn,),(21是最大公因式就是唯一确定的.我们用符号（xfxfxfn,),(21）表示这样确定的最大公因式. 最后，若是多项式xfxfxfn,),(21除零次多项式外，没有其它公因式，就说这一组多项式互素。我们要注意，n (n2) 个多项xfxfxfn,),(21互素时，它们并不一定两两互素。例如，多项式34,65, 23)(232221xxxfxxxfxxxf是互素的，但2,21xxfxf作业： P48 ：1，2，3，

7、4，5，6，10 2.4 多项式的分解教学目的掌握有可约的多项式的概念及性质；掌握唯一分解定理；会用两个多项式的典型分解式求出它们的最大公因式. 重点、难点两条主要定理（唯一因式分解的定理）证明及应用；多项式的可约性与数域有关. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页名师精编优秀教案教学过程讲授、练习 . 1 .不可约多项式的概念及性质给定Fx的任何一个多项式f(x), 那么 F 的任何不为零的元素c 都是f(x) 的因式 .另一方面， c 与 f(x)的乘积cf(x) 也总是f(x)的因式 .我们把f(x)的这样的

8、因式叫做它的平凡因式. 任何一个零次多项式显然只有平凡因式.一个次数大于零的多顶式可能只有平凡因式，也可能还有其它的因式. 定义令 f(x) 是 Fx的一个次数大于零的多项式. 若是f(x)在 Fx中只有平凡因式， f(x) 就说是在数域F 上（或在Fx中）不可约 . 若 f(x) 除平凡因式外，在Fx中还有其它因式，f(x) 就说是在F 上（或在Fx中）可约 . 如果 Fx的一个n(n0) 次多项式能够分解成Fx中两个次数都小于n 的多项式g(x) 与 h(x) 的积 : f(x)=g(x)h(x), （1）那么f(x) 在 F 上可约 . 若是 f(x) 在 Fx 中的任一个形如（1）的分

9、解式总含有一个零次因式，那么 f(x) 在 F 上不可约 . 根据以上定义，对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也不能说它们是不可约的. 在任一多项式环Fx中都存在不可约多项式，因为 Fx的任何一个一次多项式总是不可约的 . 注意，我们只能对于给定的数域来谈论多项式可约或不可约. 因为一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约. 一般指的是在数域F 上不可约的多项式。（a） 如果多项式p(x) 不可约，那么F 中任一不为零的元素c 与 p(x) 的乘积 cp(x) 也不可约 . （b）设p(x) 是一个不可约多项式而f(x) 是一个任意多项式，那么或者p(x) 与 f(

10、x) 互至少，或者P(x) 整除f(x). （c）如果多项式f(x)与 g(x) 的乘积能被不可约多项式p(x) 整除，那么至少有一个因式被p(x) 整除 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页名师精编优秀教案(c)如果多项式2,),(21sxfxfxfs的乘积能够被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除. 2.唯一因式分解定理！定理2.4.1 Fx 的每一个n(n0) 次多项式f(x) 都可以分解成Fx 的不可约多项式的乘积. 证若是多项式f(x 理成立，这时可以认为f(x)是一个不可约因式的乘积：f(x)

11、=f(x) 若 f(x) 可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的多项式的乘积：xfxfxf21)(若因式f 1(x)与 f 2 (x)中仍有可约的，那么又可以把出现的每一个可约因式分解成次数较低的多项式的乘积。如此继续下去。在这一分解过程中，因式的个数逐渐增多，而每一因式的次数都大于零。但f(x)最多能分解成n 个次数大于零的多项式的乘积，所以管种分解过程作了有限次后必然终止。于是我们得到xpxpxpxfr21其中每一xpi都是Fx中的不可约多项式. 定理2.4.2 令 f(x)是 Fx的一个次数大于零的多项式，并且xqxqxqxpxpxpxfsr2121此处xpi与 q j (x)(i=

12、1,2,r ;j=1,2,，s)都是Fx的不可约多项式。那么r=s，并且适当调后使xpcxqiii, i=1,2,r, 此处ic是 F 的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f（ x）分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的. 证我们对因式的个数r 用数学归纳法. 对于不可约多项式，也就是对于r=1 的情形来说，定理显然成立. 对于能分解成r 个不可约因式的乘积的多项式f(x) 来说定理也成立.等式xqxqxqxpxpxpsr2121表明，乘积xqxqxqs21可以被不可约多项式p1(x)整除 .因此由性质 (c)，至少某一q i(x)能被p1(x) 整除。适当调换xqi的次序，

13、可以假定p1(x)整除q1(x)，假定对于能分解成r-1 个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.我们证明互不相等，而其它每一因式都等于这t 个因式中的一个，并且p i(x)(i=1,2,t) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页名师精编优秀教案即 q1(x)=h(x)p1(x)。但q1(x)是不可约多项式，而p1(x)的次数不等于零，所以h(x) 必须是一个零次多项式：q 1(x)=c1p1(x). 把 q 1(x) 的表示式代入等式（2）的右端，得xqxqxcpxpxpxpsr2121从等式两端去不等于零的多

14、项式p1(x)，得出等式xqxqxqcxpxpxpsr32132令xqxqxqcxpxpxpxfsr321321那么f 1(x)是一个能分解成r-1 个不可约多项式的乘积的多项式.于是由归纳假定得r-1=s-1 ，亦即r=s，并且可以假定rixpcxqpcxqciii, 4, 3,2221其中2c及ic(i=3,4,r)都是零次多项式。令2112ccc由（ 3）及（ 4）得rixpcxqiii, 2, 1,这样定理完全得到证明. 由定理一个多项式f(x) 唯一分解成：xpxpxapxfr21，其中a是 f(x)的系数，rixpi, 2, 1,是不可约多项式. 3Fx 的次数大于零的典型分解式分

15、解式（ 5）中不可约多项式，不一定都不相同。若是在分解式（5）中不可约因式p(x) 出现k 次并且只出现k 次，那么p(x) 叫做f(x)的一个 k 重因式。一重因式叫做单因式。重数大于1 的因式叫做重因式。若不可约因式p(x) 在 f(x) 的分解式（ 5）中不出现，我们就说p(x) 是 f(x) 的一个零重因式. 若是在多项式f(x) 的分解（ 5）中有t 个因式，例如xpxpxpt21互不相等，而其它每一因式都等于这t 个因式中的一个，并且tixpi, 2, 1,各是f(x) 的 k i重因式，那么(5)式可以写成以下形状: tktkkxpxpxapxf2121等式（ 6）叫做多项式f(

16、x) 的典型分解式。每一个多项式的典型分解式都是唯一确定的 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页名师精编优秀教案4.利用多项式的典型分解式求两个多项式的最大公因式如果已知两个多项式的典型分解式，那么我们很容易求出这两个多项式的最大公因式来 . 令 f(x) 与 g(x) 是F(x) 中两个次数大于零的多项式.假定它们的典型分解式有r 个共同的不可约因式：srrkskrkrkxqxqxpxapxf1111，trrltlrlrlxqxqxpxbpxg_1_111其中每一srixqi, 1,不等于任何，trjxqj,

17、 1_，令im是ik与il两自然数中较小的一个(i=1,2,r)，那么rmrmmxpxpxpxd2121就是f(x) 与 g(x) 的最大公因式 . 事实上， d(x) 显然是f(x) 与 g(x)的一个公因式。若是与的任一次数大于零的公因式，那么由定理2.4.2 ，出现在d 1(x)的典型分解式中的每一不可约因式只能是某一ip，并且这一不可约因式的重数不能超过im，因此rrrnnxpxpxcpxd21211，其中rimnii, 2,0,c 是数域F 的一个不为零的元素，从而d1(x)整除 d(x). 若是f(x)与 g(x) 的典型分解式没有共同的不可约因式，那么f(x) 与g(x) 的最大

18、因式显然是零次多项式. 例在有理数域上分解多项式f(x)= x +x -2x-2 为不可约因式的乘积.容易看出2122223xxxxx一次因式x+1 自然在有理数域上不可约，我们证明，二次因式22x也在有理数域上不可约，不然的话，22x将能写成有理数域上两个次数小于2 的因式的乘积，因此将能写成bxaxx22的形式，这里a 和 b 是有理数，把等式（8）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得a +b=0 ，ab=2 ，由此将得到2a，着与 a是有理数的假定矛盾，这样，（7）给出多项式f（ x）的一个不可约因式分解. 我们还可以如下证明22x在有理数域上不可约，如精选学习资料 - - - - -

19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页名师精编优秀教案果（ 8）式成立，那么它也给出22x在实数域上的一个不可约因式分解，但在实数域上2222xxx因此由一定分解定理就可得出a= 2 的矛盾 . 作业： P56: 1，4，6. 2 5 重因式教学目的掌握重因式的概念和性质,掌握判断多项式无重因式的方法. 重点、难点多项式无重因式的充要条件，多项式的系数域的扩大对是不是有重因式没有影响. 教学过程讲授、练习 . 1. 多项式的导数及性质定义Fx 的多项式nnxaxaxaaxf2210的导数或一阶导数指的是Fx的多项式1212nnxnaxaaxf一阶导数

20、xf的导数叫作f(x)的二阶导数 ,记作xf , f(x) 的 n 阶导数记xfn多项式的导数有下列性质：xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxfxkfxfkk12. 多项式的重因式定理2.5.1 设 p(x) 是 f(x) 多项式的一个 k(1k)重因式 .那么 p(x) 是 f(x) 的导数的一个k-1 重因式 . 特别，多项式f(x)的单因式不是f(x) 的导数的因式 . 证因为p(x) 是 f(x)的 k 重因式，所以xgxpxfk并且p(x) 不能整除g(x). 求 f(x) 的导数，得xgxpxkpxgxpxfkk1xgxkpxgxpxpk1.p(x) 不能整除括号里的第二项.

21、 事实上，xp的次数小于p(x) 的次数 ,因而 kxp的次数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页名师精编优秀教案也小于p(x) 的次数，所以p(x) 不能整除kxp;又由已知条件，p(x) 不能整除 g(x). 因此根据不可约多项式的性质?,p(x) 不能整除乘积kxpg(x). 但p(x) 能整除括号里的第一项。因此p(x) 不能整除括号里的和. 这就是说p(x) 是xf 的一个k-1 重因式 . 定理2.5.2 多项式f(x)没有重因式的充要条件是f(x) 与它的导数xf 互素 . 证设 f(x) 是一个n(

22、n0) 次多项式，而tktkkxpxpxapxf2121是 f(x) 的典型分解式.那么由定理2.5.1 xgxpxpxpxftktkk1121121此处g(x) 不能被任何xpi(i=1,2,t)整除 .于是由上一节末尾求最大公因式的方法，得f(x)与xf的最大公因式是xgxpxpxpxdxfxftktkk1121121,因此，若是f(x)没有重因式，亦即121tkkk那么d(x)=1 ，而f(x) 与xf 互素 .反之，若f(x) 与xf互素 . 那么 f(x)没有重因式 . 由定理2.5.2 可得下面的结论：若多项式f(x) 在xF中没有重因式，那么把f(x)看成含F 的某一个数域G上

23、的多项式时,f(x) 也没有重因式 . 3 多项式重因式的求法： 首先，用以上方法判断多项式f(x) 是否有重因式，即求出（f(x),xf）=d(x) ；其次，用 d(x) 除f(x) 所得商式为xpxpxapxgt21，其中g(x) 没有重因式，g(x) 与 f(x) 含有完全相同的不可约因式；然后,求 g(x) 的不可约因式，这样不难求出其在f(x) 中的重数 . 作业：P59: 2， 3，4. 2.6 多项式函数多项式的根教学目的掌握数环R 上的多项式函数, 多项式的根k 重根的概念 . 熟练运用综合除法和余式定理判别f(x) 是否有一次因式x-c, 是否有根c, 并求出f(x)的根c

24、的重数 . 会运用拉格朗日插值公式求出f(x), 并满足已给的条件: iibaf(I=1,2,n+1). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页名师精编优秀教案重点、难点余数定理、多项式的根的个数不超过次数定理的证明，综合除法及应用. 教学过程讲授、练习 . 1. 多项式函数 : 设是 R一个数环，R1设给定xR的一个多项式nnxaxaaxf10和一个数cR . 那么xf在德表示式里，把x用c来代替，就得到R得一个nncacaa10这个数叫做当x=c 时的f(x) 值，并且用f (x) 来表示 .这个映射是由多项式f

25、 (x)所确定的，叫做R上一个多项式函数. 2.余式定理定理2.6.1 设xRxf，用 x-c 除xf所得的余式等于当x=c 时xf的值cf. 证设 f(x) ，g(x)Rx, 那么对于任意cR，由f (x)=g(x) 就有f(c)=g(c) ，并且若是u(x)=f(x)+g(x), v(x)=f(x)g(x) 那么u(c)=f(c)+g(c), v(c)=f(c)g(c) ，因此，任意一个由加法和乘法得到的Rx 的一些多项式间的关系式在用R 的数c 代替x 后仍然成立 . 现在设f (x)Rx而 cR.由定理2.2.1 后面的注意2，在Rx 里可以x-c 用除f (x) ，得到的商式核余式仍

26、在Rx 内 .因为x-c 是一次多项式，所以余式或者是零，或者是一个零次多项式.因此存在q(x)Rx, rR, 使得f(x)=(x-c)q(x)+r 在这个等式两边用c 代替 x，我们得到r=f(c) ，于是就得到以下的所谓余式定理 . 3. 综合除法nnnnnaxaxaxaxaxf122110并且设f(x) = (x-c)q(x) + r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页名师精编优秀教案其中12322110nnnnnbxbxbxbxbxq比较等式 (1)中两端同次项的系数，我们得到00baocbba11122

27、cbba。211nnncbba1nncbra由此得出00ab101acbb212acbb121nnnacbbnnacbr1这样，欲求系数bk，只要把前一系数bk-1乘以c 再加上对应系数ak，而余式 r 也可以按类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式和余式的系数：C 0a1a2a1nana+ 0cb1cb2ncb1ncb0b1b2b1nbr表中的加号通常略去不写. 例1用 x+3 除 f(x)=x +x+4x-9. 作综合除法：-3 1 0 1 4 -9 -3 9 -30 78 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

28、第 19 页，共 41 页名师精编优秀教案-3 10 -26 69 所以商式是g(x)=x -3x +10 x-26，而余式r=f(-3)=69. 4. 多项式的根定义令 f(x)是 Rx 的一个多项式而c 是 R 的一个数，若是当x=c 是 f(x) 的值f(c)=0 ，那么c叫作f(x)在数环R 中的一个根 . 定理2.6.2 数 c 是多项式f(x) 的根的充分且必要条件是f(x)能被x-c 整除. 定理2.6.3 设 f(x) 是 Rx 中的一个n 0 次多项式 .那么f(x)在 R 中最多有n 个不同的根 . 证明如果f(x) 是零次多项式，那么f(x)是 R 中一个不等于零的数，所

29、以没有根 .因此定理对于n=0 成立，于是我们可以对n 作数学归纳法来证明这一定理，设cR 是 f(x)另一个根， d c,那么0=f(c)=(d-c)g(d). 因为 d-c 0,所以g(d)=0 。因为g(x) 的次数是n-1，由归纳法假说，g(x)在R 内至多有n-1 个不同的根。因此f(x)在 R 中至多有n 个不同的根 . 定理2.6.4 设 f(x)与 g(x) 是 Rx 的两个多项式，它们的次数都不大于n, 若是以R 中 n-1 个或更多的不同的数来代替x 时，每次所得f(x)与 g(x) 的值都相等，那么f(x)=g(x). 证令u(x)=f(x)-g(x). 若 f(x) g

30、(x), 换一名话说u(x) 0,那么u(x) 是一个次数不超过n 的多项式，并且在R 中有n+1 个或更多的根。这与定理2.6.3 矛盾 . 5.多项式相等与多项式函数相等定理2.6.5 Rx 的两个多项式f(x) 和 g(x) 相等，当且仅当它们所定谘的R 上多项式函数相等. 证设f(x)=g(x). 那么它们有完全相同的项，因而对R 的任何数c 都有f( c)=g(c). 这就是说， f(x) 和 g(x) 所确定的函数相等. 反过来设f(x) 和 g(x) 氢确定的函数相等. 令u(x)=f(x)-g(x). 那么对R 的任何数都有u(x)=f(x)-g(x)=0. 这就是说，R 中的

31、每一个数都是多项式 u(x) 的根，但 R有无穷多个数，因此u(x) 有无穷多个根 . 根居定理 2.6.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页名师精编优秀教案只有零多项式才有这个性质.因此有u(x)=f(x)-g(x)=0, f(x)=g(x). 6.拉格朗日插值公式：定理 2.6.4 告诉我们，给了一个数环R 里 n+1 个互不相同的数121,naaa以及任意n+1 个数121,nbbb后，到多存在Rx 的一个次数不超过n 的多项式f(x)，能使iibaf， i=1,2,3,n+1. 如果R 还是一个数域，那

32、么这样一个多项式的确是存在的，因为容易看出，由以下公式给出的多项式f(x) 就是具有上述性质：这个公式叫做拉格朗日（Lagrange ）插值公式 . 例2. 求次数小于3 的多项式f(x) ，使f(1)=1, f(-1)=3, f(2)=3. 由拉格朗日插值公式得作业P65: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2.7 复数和实域上多项式教学目的掌握代数基本定理、根与系数的关系. 掌握实数域上多项式的分解. 重点、难点代数基本定理的应用，复系数多项式的根与系数的关系，实系数多项式的因式分解定理. 教学过程讲授、练习 . 1.代数基本定理定理2.7.1 任何n(n0) 次多项式在复数域中至少有一

33、个根. 证略定理2.7.2 任何n(n0) 次多项式在复数域中有n 个根（重根按重数计算）. 1121211321112132111212xxxxxxxxxf1111111111niniiiiiiniiiaaaaaaaaaxaxaxaxbxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 41 页名师精编优秀教案证设 f(x)是一个n(n0) 次多项式，那么由定理2.7.1 ， 它在复数域C 中 有一个根 1，因此在Cx 中f(x)=(x- 1)f 1 (x) ，这里 f 1(x)是 C 上的一个n-1 次多项式。 若 n-10, 那

34、么 f 1(x)在 C 中有一个根2, 因而在Cx 中xfxxxf221这样继续下去，最后f(x) 在 Cx 中完全分解成n 个一次因式的乘积，而f(x) 在C 中有n 个根 . 复数域C 上任一n(n0) 次多项式可以在Cx 里分解为一次因式的乘积。复数域上任一次数大于1 的多项式都是可约的。2. N次多项式的根与系数的关系：令nnnaxaxxf11是一个n(n0) 次多项式，那在复数域C 中f(x) 有n 个根n,21因而在Cx 中 f(x) 完全分解成一次因式的乘积：nxxxxf21展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系：na

35、211nna131212nnna124213213，nnnnna3231121111nnna211，其中第k (k=1,2,，n)个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和，乘以kx若是多项式nnnaxaxaxf110精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 41 页名师精编优秀教案的首项系数00a,那么应用根与系数的关系时须先用0a除所有系数，这样作多项式的根并无改变。这时根与系数的关系取以下形式：naa2101nnaa1312102nnnaa2101利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式。例如，求有单根5 与 -2 以及

36、二重根本 3 的四次多项式。根据根与系数的关系，我们得到a 1=-(5-2+3+3)=-9, a 2 =5(-2)+53+5 3+(-2)3+(-2)3+33=17, a 3 =-5(-2)3+5(-2)3+53 3+(-2) 33=33, a 4 =5(-2)33=-90. 因此所求多项是9033179234xxxxxf，或aaxaxaxaxxf9033179234这里a 0. 3. 系数多项式的一些性质定理2.7.3 若是实系数多项式f(x) 有一个非实的复数根a, 那么 a的共轭数也是f(x)的根，并且a 与 a 有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对. 证令nnnax

37、axaxf110 . 由假设0110nnnaaa把等式两端都换成它们的共轭数，得0_110nnnaaa根据共轭数的性质，并且注意到naaa,10和 0 都是实数，我们有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 41 页名师精编优秀教案01_1_0nnnaaa即_也是f(x)的一个根。因此多项式f(x)能被多项式_2_xxxxxg整除 . 由共轭复数的性质知道g(x) 的系数都是实数. 所以f(x)=g(x)h(x), 此处h(x) 也是一个实系数多项式. 若是是 f(x) 的重根，那么它一定是h(x) 根，因而根据方才所证明的，

38、也是h(x) 的一个根。这样，也是f(x)的重根。重复应用这个推理方法，容易看出，与重数相同 . 由代数基本定理和定理2.7.3 立即得到关于实数域上多项式的因式分解的以下定理 . 定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式. 定理2.7.5 每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积. 关于求多项式f(x) 或方程f(x)=0 的根的研究，集中在以下两个问题：1）根的近似求法；2）根号解问题 . 作业P71: 1, 2, 3, 5. 2.8 有理数域上多项式教学目的理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别法来判

39、断某些整系数多项式在有理数域不可约.掌握多项式有理根的求法并能熟练地求出有理系数多项式的有理根. 重点、难点艾因斯坦判别法，有有里根的必要条件. 教学过程讲授、练习 . 1.本原多项式定义若是一个整系数多项式f(x)系数互素，那么f(x)叫作一个本原多项式。关于本原多项式，有以下的引理2.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 41 页名师精编优秀教案证设给了两个本原多项式mmiixaxaxaaxf10nnjjxbxbxbbxg10并且设nmnmjijixcxcxccxgxf1

40、0如果f(x)g(x) 不是本原多项式，那么一定存在一个素数p，它能整除所有系数nmccc,10由于f(x) 和 g(x) 都是本原多项式，所以p 不能整除f(x) 的所有系数，也不能整除g(x) 所有系数。 令ia和jb各是 f(x) 和 g(x) 的第一个不能被p 整除的系数。 我们考察f(x)g(x) 的系数jic . 我们有011110bababababacjijijijijiji这等式的左端被p 整除。根据选择ia和jb的条件，所有系数110,naaa以及01,bbj都能被p 整除，因而等式右端除jiba这一项外，其它每一项也都能被p 整除。因此乘积jiba也必须被p 整除。但p 是

41、一个素数，所以p 必须整除ia或jb.这与假设矛盾. 2.整系数多项式的分解定理2.8.2 若是一个整系数n(n0) 次多项式f(x) 在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。证设xgxgxf21，这里g 1(x)与xg2都是有理数域上的次数小于n 的多项式 . 令 g 1(x)的系数的公分母是b 1.那么xhbxg11/1,这里h(x) 是一个整系数多项式。又令h(x) 的系数的最大公因数是1a. 那么xfbaxg1111，这里11ba是一个有理数而xf1是一个本原多项式.同理，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

42、- - - - -第 25 页，共 41 页名师精编优秀教案xfbaxg2222这里22ba是一个有理数而xf2是一个本原多项式.于是xfxfsrxfxfbbaaxf21212121其中r 与 s 是互素的整数，并且s0 。由于f(x)是一个整系数多项式所以多项式xfxf21的每一系数与r的乘积都必须被s 整除。但r 与s 互素，所以xfxf21的每一个系数必须被s整除，这就是说，s 是多项式xfxf21的每系数的一个公因数。但xfxf21是一个本原多项式，因此s=1, 而xfxrfxg21xrf1和xf2显然各与xg1和xg2有相同的次数，这样，f(x)可以分解成次数都小于n 的两个整系数多

43、项式的乘积。3.艾森斯坦因判断法及推广定理2.8.3 设nnxaxaaxf10是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p,使（i）最高次项系数na不能被p 整除，（ii）其余各项的系数都能被p 整除，（iii）常数项0a不能被p 整除，那么多项式f(x)在有理数域上不可约。证若是多项式f(x) 有理数域上可约，那由定理2.8.2,f(x) 可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=g(x)h(x) 这里kkxbxbbxg10llxcxccxh10并且kn, ln, k +l=n.由此得到000cba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

44、- -第 26 页，共 41 页名师精编优秀教案因为0a被 p 整除，而p是一个素数，所以0b或0c被 p 整除。但0a不能被2p整除，所以0b与0c不能同时被p 整除 . 不妨假定0b被 p 整除而0c不能被p 整除。g(x) 的系数不能全被p 整除，否则f(x)=g(x)h(x) 的系数na将被p 整除，这与假定矛盾 . 令 g(x) 中第一个不能被p 整除的系数是sb。考察等式sssscbcbcba0110由于在这个等式中ossbba,1都被p 整除，所以0cbs也必须被p 整除 . 但 p 是一个素数，所以sb与0c中至少有一个被p 整除，这是一个矛盾. 我们知道，在复数域上只有一次的

45、多项式是不可约的，而在实数域上只有一次和一部分二次的多项式是不可约的，然而应用艾森斯坦因判断法我们很容易证明以下事实：有理数域上任意次的不可约多项式都存在. 艾森斯坦因判断法不是对于所有整每当多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p 不总存在。若是对于某一多项式样f(x)找不到这样的素数p ，那么f(x) 可能在有理数域上可约也可能不可约.例如，对于多项式232xx与12x来说，都找不到一个满足判断法的条件的素数p.但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一多项式不可约. 有时对某一多项式f(x)来说，艾森斯大林坦因判断法不能直接应用，但是把 ff(x) 适当亦形后，就可以应用这个判断法

46、。我们看一个例子，设 p 是一个素数，多项式121xxxxfpp叫做一个分圆多项式。我们证明，f(x)在 x中不可约。在这里不能直接应用艾森斯坦顺判断法。但是如果令x=y+1, 那么由于11pxxfx我们得到111pyyyfyyyyppypppp12211令 g(y)=f(y+1). 于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 41 页名师精编优秀教案pppppyyyg1211g(y) 的最高次项系数不能被p 整除。其余的系数都是二项式系数，它们都能被p 整除。事实上，当k0, 而 vx-u 和xf1都是本原多项式。由此，和定

47、理2.8.2 的证明一样，可以推得s=1, 而xquvxxf1，这里xrfxq11是一个整系数多项式，令121101nnnbxbxbxq. 那么由 (3)得110nnnnobxbuvxaxa比较系数，得10,nnoubavba，这就是说整除0a而整除na另一方面，比较（2）和（ 3），得q(x)=q1(x) ，所以q(x) 也是一个整系数多项式. 给定了一个整系数多项式f(x)，设它的最高次项系数0a的因数是kvvv,21, 它的常数项na的因数是luuu,21。那么根据定理2.8.4，欲求的有理根，我们只需对有限个有理数jivu /用综合除法来进行试验当有理数jivu /的个数很多的时候，对

48、它们逐个进行试验还是比较麻烦的.面的讨论使我们能够简化计算。首先，1与-1 永远在有理数jivu /中出现，而计算f(1)与 f(-1) 并不困难，另一方面，若是有理数a( 1) 是f(x)的根，那由定理2.8.4, f(x)=(x-a)q(x), 而 q(x) 也是一个整系数多项式。因此商，都应该是整数。这样，我们只需对那些使商都是整数的jivu /来进行试验。（我们可以假定f(1) 与 f(-1) 都不等于零。否则可以用(x-1) 或(x+1) 除 f(x) 而考虑所得的商式。）11qxf111qf11f11f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

49、- - -第 29 页，共 41 页名师精编优秀教案例求多项式2553234xxxxxf的有理根 . 这个多项式的最高次项系数3 的因数是 1, 3 ,常数项 -2 的因数是 1 , 2 所以可能的有理根是 1,3/23/12，我们算出，f(1)=12,f(-1)=-8. 所以1 与-1 都不是f(x) 的根。另一方面，由于8 ，8 ，12 1+2 1+2/3 1 +2/3 都是整数，所以有理数-2,3/1在试验之列。应用综合除法,：-2 3 5 1 5 -2 -6 2 -6 2 3 -1 3 -1 0 所以 -2 是 f(x)的一个根。同时我们得到133223xxxxxf容易看出 , -2

50、不是13323xxxxf的根，所以它不是f(x)重根。对g(x) 应用综合除法：-1/3 3 -1 3 -1 -1 2/3 3 -2 3（ 2/3）至此已经看到，商式不是系数多项式，因此不必再除下去就知道，-1/3 不是 g(x) 的根，所以它也不是f(x) 的根。再作综合除法：1/3 3 -1 3 -1 1 0 1 3 0 3 0 所以 1/3是 g(x) 的一个根，因而它也是f(x) 的一个根，容易看出，1/3不是f(x) 的重根。这样， f(x) 的有理根是 -2 和 1/3 作业P80: 1,2, 3, 4. 2.9多元多项式教学目的正确理解和掌握多元多项式的概念、运算规则及性质教学重