2022年高考数学一轮复习导数讲解练习 .pdf

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1、第三章导数1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yC(C 为常数 )，yx，y1x，yx2，yx3，yx的导数4能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(ax b)的复合函数 )的导数常见的基本初等函数的导数公式：(C) 0(C 为常数 )；(xn)nxn1(nN)；(sinx)cosx; (cosx) sinx；(ex) ex; (ax) axlna(a0，且 a1)；(lnx) 1x；(logax) 1xlogae(a0，且 a1)常用的导数运算法则

2、：法则 1：u(x) v(x) u (x) v(x)法则 2： u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法则 3：u（x）v（x） u（ x） v（x） u（x） v（ x）v2（x）(v(x)0)5了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)6了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数不超过三次)7会用导数解决实际问题8了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念9了解微积分基本定理的含义 3.

3、1导数的概念及运算1导数的概念(1)定义如果函数yf(x)的自变量x 在 x0处有增量 x，那么函数y 相应地有增量 yf(x0 x) f(x0)，比值 y x就叫函数y f(x)从 x0到 x0 x 之间的平均变化率，即 y xf（x0 x） f（x0） x.如果当 x0时， y x有极限，我们就说函数yf(x)在点x0处_，并把这个极限叫做f(x)在点 x0处的导数，记作_或 y|x x0，即f (x0)0limx y x0limxf（x0 x） f（ x0） x(2)导函数当 x 变化时， f(x)便是 x 的一个函数， 我们称它为 f(x)的导函数 (简称导数 )yf(x)的导函数有时

4、也记作 y， 即 f (x) y 0limxf（x x） f（x） x. (3)求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法求函数的增量y；求平均变化率 y x；取极限，得导数f (x0)0limx y x. 2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线y f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是相应的切线方程为3基本初等函数的导数公式(1)c(c 为常数 )，(x) ( Q*)；(2)(sinx) _，(cosx)_；(3)(ln x) ，(logax)；(4)(ex) _，(ax) . 4导数

5、运算法则(1) f(x) g(x) _. (2) f(x)g(x) _；当 g(x) c(c 为常数 )时，即 cf(x) _. (3)f（x）g（x） (g(x)0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页5复合函数的导数复合函数y f(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_即 y 对 x的导数等于y 对 u 的导数与u对 x 的导数的乘积自查自纠：1(1)可导f(x0) (3)f(x0 x)f(x0)f（x0 x） f（x0） x2f(x0)yy0f(x0)(xx0) 3(1)0 x1(2)co

6、sxsinx(3)1x1xlna(4)exaxlna4(1)f (x) g(x)(2)f (x)g(x)f(x)g(x)cf(x) (3)f（x）g（x） f（ x）g（x）g（x）25yx yuux函数 f(x)a35a2x2的导数 f (x) () A3a2 10ax2B3a210ax210a2xC10a2xD以上都不对解： f(x)10a2x.故选 C.曲线 y1lnx在 xe 处的切线方程为() Ax eye0 Bexye 0 Cx ey2e0 D xey2e0 解： y1x（lnx）21x（lnx）2，y|xe1e，故所求方程为y 11e(xe)，整理得xey2e0.故选 D.已知曲

7、线yx243lnx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为() A3 B 2 C1 D.12解： yx23x，令x23x12，解得x 2 或 x 3(舍去 )故选 B.物体的运动方程是s13t32t25，则物体在 t3 时的瞬时速度为解：v(t)s (t) t24t，t3 时，v3，故填3. (2014新课标 )设曲线y axln(x1)在点 (0，0)处的切线方程为y2x，则 a_. 解： ya1x1，根据已知，当x0 时， y2，代入解得a3.故填 3. 类型一导数的概念已知函数f(x) x21.用定义的方法求：(1)f(x)在 x2 处的导数；(2)f(x)在 xa 处的导数解： (1

8、)因为 y xf（2 x） f（2） x（ 2 x）21（ 221） x4 x，当 x0 时， 4 x4，所以 f(x)在 x2 处的导数是4.(2)因为 y xf（a x） f（a） x（ a x）21（ a21） x2a x，当 x0 时， 2a x2a，所以 f(x)在 xa 处的导数是2a. 点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率 y x，再化简平均变化率，最后判断当x0 时， y x无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程航天飞机发射后的一段时间内，第 t s时的高度h(t)5t330t245t 4(单位： m)(1)求航

9、天飞机在第1 s内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s末的瞬时速度解： (1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为h（1） h（ 0）15304544180 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h（1 t） h（1） t5（1 t）330（1 t）245（1 t） 484 t5 t3 45 t2120 t t5 t2 45 t120，当 t0 时， 5 t245 t120120，所以航天飞机在第1 s末的瞬时速度为120 m/s. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页类型二求导运算求下列函数

10、的导数：(1)y5x2 4x1；(2)yxlnx；(3)ysin( x )(其中 为常数 )；(4)yx 3x 2(x 2)解： (1)y10 x4；(2)y lnxx1xlnx1；(3)y cos( x ) ( x ) cos( x )；(4)y 11x21（x 2）2. 点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)；(2)yxex1(x0)；(3)ycos2x；(4)ylnx3x1(x 1)解： (1)y(x 1) (x2)

11、(x1)(x2)x2x12x3；(2)y x（ ex1） x（ ex 1）（ex1）2（1x） ex1（ex1）2；(3)y sin2x(2x) 2sin2x；(4)y ln( x3) ln(x 1)1x31x12（x1）（ x 3）. 类型三导数的几何意义已知曲线y13x343. (1)求满足斜率为1 的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程解： (1)yx2，设切点为 (x0，y0)，故切线的斜率为kx201，解得 x0 1，故切点为1，53，(1，1)故所求切线方程为y53x1 和 y1x1，即 3x3y20 和 xy20.(2)

12、y x2，且 P(2，4)在曲线 y13x343上，在点 P(2，4)处的切线的斜率k y|x24.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即 4xy 40.(3)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 A x0，13x3043，又 切线的斜率ky|xx0 x20，切线方程为y13x3043x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2，4)在切线上， 42x2023x3043，即 x303x2040， x30 x204x20 40，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)2 0，解得 x0 1 或 x02，故所求的切线方程为4x

13、y4 0 或 xy 20. 点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点 (x0， f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数 f (x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0) f (x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点 (x1，y1)不在曲线上， 则设出切点(x0，y0)，解方程组y0f（x0），y1y0 x1x0f（x0），得切点 (x0，y0)，进而确定切线方程注意： 求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个已知函数f(x)x3 x16. (1)求满

14、足斜率为4 的曲线的切线方程；(2)求曲线 yf(x)在点 (2， 6)处的切线方程；(3)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程解： (1)设切点坐标为(x0，y0)，f(x0) 3x2014， x0 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页x0 1，y0 14或x0 1，y0 18.切线方程为y4x18 或 y 4x14.(2)f(x)3x21，且( 2， 6)在曲线 f(x)x3x16 上，在点 (2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线方程为y13x 32.(3)解法一： 设切

15、点为 (x0，y0)，直线 l 的斜率为f (x0) 3x201，直线l 的方程为y (3x20 1)(x x0)x30 x016，又直线 l 过原点 (0，0)，0(3x201)(x0)x30 x016，整理得 x0 2，斜率 k13.直线 l 的方程为y13x.解法二： 设直线 l 的方程为ykx，切点为 (x0，y0)，则斜率 ky00 x00 x30 x016x0，又kf(x0)3x201，x30 x016x03x201，解得 x0 2，k13.直线 l 的方程为y13x. 1弄清 “ 函数在一点x0处的导数”“ 导函数”“ 导数 ” 的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f(x0)

16、是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数 )，是针对某一区间内任意点x而言的函数 f(x)在区间 (a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f (x)；(3)函数 yf(x)在点 x0处的导数f (x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值2求函数 yf(x)在 xx0处的导数f(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求0limxf（x0 x） f（x0） x的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数yf(x)在开区间 (a

17、，b)内的导函数f(x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f(x)，得 f(x0)3正确区分 “ 曲线在某点处的切线”与 “过某点的曲线的切线”的含义 ，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验4求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数， 即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程如果切点未知，要先求出切点坐标1函数 f(x)x3sin2x 的导数 f(x)() Ax2cos2xB3x2cos2xCx22cos2xD3x22cos2x解： f(x)3x2 (2x) cos2x 3x2 2cos2x.故选D.2已知 f(x)(x2)(x3)， 则 f(2)

18、 的值为 () A0 B 1 C 2 D 3 解： f(x) (x3)(x2)2x5， f(2) 1.故选 B.3曲线 yx311 在点 P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是() A 9 B 3 C9 D15 解： 由 y|x1 3，得在点P(1，12)处的切线方程为 3xy90，令 x0，得 y9，故选 C.4若 f(x)x22x4lnx，则 f(x)0 的解集为() A(0， ) B(1，0)(2， ) C(2， ) D(1，0) 解： f (x) 2x24x2（x2）（ x1）x0， x0， x2 0，解得 x2.故选 C.5(2014湖北八市高三3月调考 )设 aR，函数 f(x

19、)exaex的导函数是f(x)，且 f (x)是奇函数，则 a 的值为 () A1 B12C.12D 1 解：因为 f(x)exaex，由奇函数的性质可得f(0)1a0，解得 a1.故选 A.6已知曲线C：f(x) x3 axa，若过曲线C外一点A(1， 0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为 () A.278B 2 C2 D278解： 设切点坐标为 (t，t3ata)切线的斜率为ky|xt3t2a，所以切线方程为y(t3ata) (3t2a)(xt)，将点 (1， 0)代入 式得 (t3ata)(3t2a)(1t)， 解之得 t 0 或 t32.分别将 t0 和 t32代入

20、 式，得 k a 或 k274a，由它们互为相反数得a278.故选 A.7(2014江西 )若曲线 yex上点 P 处的切线平 行 于 直 线2x y 1 0， 则 点P 的 坐 标 是_解：设点 P 的坐标为 (x0，y0)，y ex.又切线平行于直线2xy10，所以 ex0 2，可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页得 x0 ln2， 此时 y2， 所以点 P 的坐标为 (ln2，2)故填 ( ln2，2)8(2013江西 )设函数 f(x)在 (0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_. 解： 令 e

21、xt，则xlnt. f(ex)xex， f(t) lntt， f(t)1t1， f(1)112.故填2.9求函数f(x)x34x4 图象上斜率为1的切线的方程解： 设切点坐标为 (x0，y0)，f (x0)3x204 1， x0 1.切点为 (1， 1)或(1，7)切线方程为x y20 或 xy 60. 10设函数f(x)13x3ax(a0)，g(x)bx22b1.若曲线yf(x)与 yg(x)在它们的交点 (1，c)处有相同的切线，求实数a，b 的值，并写出切线l的方程解： 因为f(x)13x3 ax(a0)，g(x)bx22b1，所以 f(x)x2 a，g(x)2bx.因为曲线yf(x)与

22、 yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以f(1)g(1)，且 f(1)g (1)，即13a b2b1，且 1a2b，解得 a13，b13，得切点坐标为(1，0)切线方程为y23(x1)，即 2x3y20. 11已知函数f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数 )(1)若曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线平行于x 轴，求 a 的值；(2)当 a1 时，若直线l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，求l 的直线方程解： (1)f (x) 1aex，因为曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线平行于x 轴，所以 f(1)1ae0，解得 ae.(2)当 a1 时， f(x)

23、x11ex，f(x) 11ex.设切点为 (x0，y0)，f(x0)x0 11ex0kx01，f(x0)11ex0k， 得 x0kx01k，即 (k1)(x0 1)0.若 k1，则 式无解， x0 1，k 1e.l 的直线方程为y(1e)x1. (2014安徽 )若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线 l 在点 P(x0，y0)处与曲线C 相切； (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点 P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 _(写出所有正确命题的编号)直线 l： y0 在点 P(0， 0)处“切过”曲线C：y x3直线 l：x 1 在点 P(1，0)处“

24、切过”曲线 C：y(x1)2直线 l： yx 在点 P(0， 0)处“切过”曲线C：y sinx直线 l： yx 在点 P(0， 0)处“切过”曲线C：y tanx直线l：yx1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：ylnx解： 对于 ，y (x3) 3x2，y|x00，所以 l：y0 是曲线 C：y x3在点 P(0，0)处的切线，画图可知曲线C：yx3在点 P(0，0)附近位于直线l 的两侧，正确；对于，l：x1 显然不是曲线C：y(x1)2在点 P(1，0)处的切线，错误；对于 ，y (sinx) cosx，y|x01，曲线在点 P(0，0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：y si

25、nx 在点 P(0，0)附近位于直线l 的两侧，正确；对于 ，y (tanx) sinxcosx1cos2x，y |x01cos201，曲线在点P(0，0)处的切线为l： yx，画图可知曲线C：ytanx 在点 P(0，0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于 ，y (ln x)1x，y|x11，在点 P(1，0)处的切线为l：yx1，令 h(x)x1lnx(x0)，可得 h(x)11xx1x，所以 h(x)minh(1)0，故 x1lnx，可知曲线C：ylnx 在点 P(1，0)附近位于直线l 的下方，错误故填 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

26、 - - -第 5 页，共 26 页 3.2导数的应用 (一) 1函数的单调性与导数在某个区间 (a，b)内，如果 f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内 _2函数的极值与导数(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f(x0)0 时，如果在x0附近的左侧f(x)0， 右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如 果 在x0附 近 的 左 侧 _， 右 侧_，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 _的根；检查f(x)在上述方程根的左右对应函数值的符号如果左正右负，那么f(x

27、)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_3函数的最值与导数(1)在闭区间 a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2) 若 函 数f(x) 在 a ， b 上 单 调 递 增 ， 则_ 为 函 数 在 a ， b 上 的 最 小 值 ，_为函数在 a，b上的最大值；若函数f(x)在 a，b上单调递减，则_为函数在 a，b上的最大值， _为函数在 a， b上的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续， 在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值_，_比较，其中最

28、大的一个是最大值，最小的一个是最小值自查自纠：1单调递减2(1)f(x)0f(x)0 (2)f(x)0极大值极小值3(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b) 关于函数的极值， 下列说法正确的是() A导数为 0 的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D若 f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解： 导数为 0 的点不一定是极值点(如 yx3，在 x0 处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值极值点是单调性的转折点故选 D. 已知函数f

29、(x)12x2x，则f(x)的单调增区间是 () A( ， 1)和(0， ) B(0， ) C(1，0)和(1， ) D(1， ) 解： f (x)x1，令f (x) 0，解得x1.故选D.若在区间 1，2内有 f(x)0，且 f(1)0，则在 1，2内有 () Af(x)0 B f(x)0 Cf(x)0 D f(x)1 解： f(x)0， f(x)在1，2内单调递增f(1)0，在 1，2内 f(x)0.故选 A.若函数 f(x)的导函数f (x)x24x3，则函数 f(x1)的单调递减区间是_解： 由 f (x)x24x30 得 1x3，所以函数 f(x)的单调递减区间为(1，3)，函数 y

30、f(x1)的图象由函数yf(x)的图象向右平移1 个单位得到，故函数f(x 1)的单调递减区间是(2，4)故填(2，4)函数 f(x)x2cosx，x 0，2的最大值是_解： f (x)12sinx，令 f (x)0 得 sinx12，从而 x6，当 x 0，6时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x6，2时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以 f(x)在 x6处取得极大值， 即最大值63.故填63. 类型一导数法判断函数的单调性设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图象如图所示，则导函数y f(x)的图象可能是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

31、- - - - - -第 6 页，共 26 页解： 当 x0 时， f(x)为增函数， f (x)0，排除 A， C； 当 x0 时，f(x)先增后减， 再增， 对应 f (x)先正后负，再正故选 D.点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方 (下方 )，说明导函数在该区间大于0(小于 0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减 )(2014北京联考 )如图是函数yf(x)的导函数y f (x) 的图象，则下面判断正确的是() A在 ( 2，1)上 f(x)是增函数B在 (1，3)上 f(x)是减函数C当 x2 时， f(x)取极大值D当 x4 时， f(x)取极大值解：由 yf

32、(x)的图象可得yf(x)的大致图象如图由图可知， A， B，D 均错故选 C. 类型二导数法研究函数的单调性已知函数f(x)x3ax，f (1)0. (1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解： (1)f (x) 3x2a，由 f(1)3a0，得 a3.(2)f(x)x33x， f(x) 3x23.令 f(x)0，得 x 1 或 x1.所以f(x)的单调递增区间是( ， 1)，(1，)，单调递减区间是 1， 1点拨：用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号注意： 区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响如，本例中 1， 1也可以写成 (1， 1)写单

33、调区间时，一般不要使用符号“”，可以用“，” “和”分开各区间，原因是各单调区间用“”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立如，本例中( ， 1)，(1， )不能写成 (，1) (1，)，不妨取x132(， 1)，x232(1，)，x1x2，而 f(x1)f3298，f(x2)98，这时 f(x1)f(x2)不成立( 2014山东 ) 设 函 数f(x) exx2k2xlnx(k0，k 为常数， e2.71828, 是自然对数的底数 )，求函数f(x)的单调区间解： 函数 yf(x)的定义域为 (0， )f(x)x2ex2xexx4k2x21xxex2exx3k（x2）x2（x2）（

34、exkx）x3.由 k0 可得 exkx0，所以当x(0，2)时， f(x)0，函数y f(x)单调递减，x(2， )时， f (x)0，函数yf(x)单调递增所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为 (2， )类型三导数法研究函数的极值问题已知函数 f(x)12x3cx在 x1处取得极值(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)f (x)32x2c， 当 x 1 时，f(x)取得极值，则 f (1)0，即32c0，得 c32.故 f(x)12x332x.(2)f(x)32x23232(x21)32(x 1)(x 1)，令 f (x) 0，得 x 1

35、 或 1.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x ( ， 1)1(1，1)1(1， ) f (x)00f(x)极大值极小值因此， f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(1) 1. 点拨：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如 yx3)，还要保证该零点为变号零点设 f(x)a(x5)26lnx，其中 aR，曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率为2. (1)确定 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解： (1)f(x) 2

36、a(x5)6x，依题意， f(1)68a2，得 a12.(2)由(1)知， f(x)12(x5)26lnx(x0)，f(x)x56x（x2）（ x3）x.令 f(x)0，得 x2 或 3.x， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，2)2(2，3)3(3，) f(x)00f(x)极大值极小值故 f(x)的单调增区间为(0，2)和(3， )，单调减区间为(2，3)f(x)的极大值f(2)926ln2，极小值f(3)26ln3. 类型四导数法研究函数的最值问题已知函数f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线(1)求 a，b

37、 的值；(2)求函数 f(x)g(x)的单调区间， 并求其在区间( ，1上的最大值解： (1)f (x) 2ax，g(x)3x2b，f(1)g(1)，f(1)g(1)，a2 1b，且 2a3b，解得 a4，b5.(2)设 h(x)f(x)g(x)x34x25x2，则 h(x) 3x28x5(3x5)(x1)x， h(x)，h(x)的变化情况如下表：x () ，5353()53， 1 1(1， ) h(x)00h(x)极大值极小值所以f(x)在 ，53，( 1， )上单调递增，在53， 1 上单调递减h 53427，h(1)12，12427，f(x)g(x)在( ， 1上的最大值为12. 点拨：

38、函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得已知函数f(x)2x3ax2bx1，若函数 yf (x)的图象关于直线x12对称， 且 f(1)0. (1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在区间 2， 2上的最大值和最小值解： (1)f(x)6x22axb，函数 yf(x)的图象的对称轴为xa6.a612， a3.f(1)0，62ab0，得 b 12.故 a3，b 12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)x，f(x)，f(x)的变化情况如下表

39、：x ( ， 2)2(2，1)1(1， ) f(x)00f(x)极大值极小值f(2)21， f(2)5，215，f(1) 6.所以f(x)在2，2上的最大值为21，最小值为 6. 类型五实际应用问题 (优化问题 )请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFB x(cm)(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大， x应取何值？精选学习资料 - - - - -

40、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大， x 应取何值？解： (1)根据题意有S602 4x2 (60 2x)2240 x 8x2， 0 x30，S 24016x，令 S0，得 x15.当 0 x15 时， S 0，S递增；当 15 x30 时， S 0， S递减所以 x15 cm 时包装盒侧面积S最大(2)根据题意有V(2x)222(602x)22x2(30 x)， 0 x30，V 6 2x(20 x)，当 0 x20 时， V 0，V 递增；当 20 x30 时， V 0，V 递减所以 x20 cm 时包

41、装盒容积V 最大点拨：本题主要考查学生的空间想象能力、阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题注意用导数求解实际问题中的最大 (小 )值时， 如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点用长为 15 cm，宽为 8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为 x cm 的小正方形，然后把四边翻转90 角，再焊接而成 (如图 )问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解： 依题意， 0 x4，容 积V (15 2x) (8 2x) x 4x3 46x2120 x，V 12x292x1204(3x5)(x6)令 V 0，得

42、x53或 6(舍去 )当 0 x53时， V 0，V 递增；当53x4 时， V 0，V 递减所以高 x53cm 时容器的容积最大1用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点2极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性(2)从个数上看， 一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在， 且

43、极大 (小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值3实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较1(2014新课标 )函数 f(x)在 xx0处导数存在若 p： f(x0) 0， q： x x0是 f(x)的极值点，则() Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件D

44、p 既不是 q 的充分条件， 也不是 q 的必要条件解： 由条件知由q 可推出 p，而由 p 推不出 q.故选 C.2设 f(x)是函数 f(x)的导函数， yf (x)的图象如图所示，则yf(x)的图象有可能是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页解： 当 x0 时， f(x)0，f(x)单调递增；当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减故选C.3函数 f(x) (x3)ex的单调递增区间是() A( ，2) B(0， 3) C(1，4) D(2， ) 解： f (x)(x3) ex (x3)(ex) (

45、x2)ex，令f(x) 0，解得 x 2，故选 D.4设函数 f(x)2xlnx，则 () A. x12为 f(x)的极大值点B. x12为 f(x)的极小值点C. x2 为 f(x)的极大值点D. x2 为 f(x)的极小值点解：f (x)x 2x2， 令 f(x)0， 得 x2.当 x2 时，f(x)2 时， f(x)0，f(x)为增函数，所以x2 为 f(x)的极小值点， 故选 D.5函数 f(x)x33x2m 在区间 1，1上的最大值是2，则常数m() A 2 B0 C2 D4 解： f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 x0 或 x2(舍去 )，当 1x 0 时， f(

46、x)0；当 0 x1 时， f(x)0.所以当x 0 时， f(x)取得最大值为m，m2.故选 C.6已知函数f(x)ax3 bx2cxd 的图象如图所示，则下列判断正确的是() Aa0，b0，c0，b0，c0，b0 Da0，b0，c0 解：因为 x0 时，f(x)0 恒成立，所以 a0； f (x)3ax22bxc0 的两个根x1、x2均小于零， 所以x1x22b3a0；x1x2c3a0，则 c0，所以 a，b， c同为正故选 D.7函数 f(x)x32xf (1)，则函数 f(x)在区间2，3 上的值域是 _解： f (x)3x22f(1)，令 x 1，则 f(1)3 2f (1)， 得

47、f (1) 3， 因此 f(x)x36x，f (x)3x26 3(x2)(x2)， f(2)4，f(2)42，f(2) 42，f(3)9， f(x)在区间2，3 上的值域为 4 2，9故填 4 2，98已知圆柱的体积为16cm3，则当底面半径r_cm 时，圆柱的表面积最小解：圆柱的体积为V r2h16 ? r2h16，圆柱 的 表 面 积S 2 rh 2 r232r 2 r2216rr2，由 S 2 16r22r 0，得 r2.因此r(0，2) 2 (2， ) S0 S极小值，也是最小值当底面半径r2 时，圆柱的表面积最小故填 2.9(2014重庆)已知函数f(x)x4axlnx32，其中 a

48、R，且曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线垂直于直线y12x. (1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解： (1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y12x 知 f (1)34a 2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x454xlnx32，则 f (x)x2 4x54x2.令 f (x) 0，解得 x 1 或 x5.因为 x 1 不在 f(x)的定义域 (0， )内，故舍去当 x (0，5)时， f(x)0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当 x(5， )时， f (x)0，故 f(x)在(5， )上

49、为增函数由此知函数f(x)在 x5 时取得极小值f(5)ln5. 10已知函数f(x)x2alnx，a0. (1)若 x1是函数 f(x)的极值点，求实数 a 的值；(2)讨论 f(x)的单调性解： f (x)2xax，x0.(1)因为 f (1)0，所以 2a0，得 a 2，经检验， 当 a 2 时，x1 是函数 f(x)的极值点(2)若 a0，则 f (x)0 恒成立， f(x)在(0， )上单调递增若 a 0，令 f(x)0，得 xa2，当 x0，a2时，f(x)0， f(x)单调递减；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页

50、，共 26 页当 xa2， 时，f(x)0，f(x)单调递增11(2014天门、仙桃、潜江高三期末)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地 AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区已知 AB BC， OABC， ABBC2AO4 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)解： 以 O 为原点， AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系 (如图 )依题意可设抛物线的方程为x22py，且 C(2