2022年备战数学高考的压轴题 .pdf

《2022年备战数学高考的压轴题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年备战数学高考的压轴题 .pdf（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 （本小题满分14 分）已知 f(x)=222xax(xR)在区间 1，1上是增函数 . （）求实数a 的值组成的集合A；（）设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1 |x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. 解： （） f(x)=222)2(224xxax= 222)2()2(2xaxx， f(x)在1，1上是增函数， f(x)

2、0 对 x1，1恒成立，即 x2ax20 对 x1， 1恒成立 . 设(x)=x2ax2，方法一：(1)=1 a2 0，1 a1，( 1)=1+a 20. 对 x1，1，f(x) 是连续函数，且只有当a=1 时， f (-1)=0 以及当 a=1 时， f(1)=0 A=a| 1a1. 方法二：2a0，2a0 x1，x2是方程 x2ax2=0 的两非零实根，x1+x2=a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页从而 |x1x2|=212214)(xxxx=82a. x1x2=2， 1 a1， |x1-x2|=82a3.

3、 要使不等式m2+tm+1 |x1x2|对任意 a A 及 t 1，1恒成立，当且仅当m2+tm+1 3 对任意 t1，1 恒成立，即 m2+tm 20 对任意 t1， 1恒成立 . 设 g(t)=m2+tm 2=mt+(m22)，方法一：g( 1)=m2m20，g(1)=m2+m20，m 2 或 m 2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1 |x1x2|对任意 a A 及 t 1，1恒成立，其取值范围是 m|m 2，或 m 2. 方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m0 时，m0 ，m0，y20. 由 y=21x2，得 y=x. 过点 P 的切线的斜率k切= x1，直线 l 的斜率

4、 kl=切k1=-11x，直线 l 的方程为y21x12=11x(xx1)，方法一：联立消去y，得 x2+12xxx12 2=0. M 是 PQ 的中点x0=221xx=-11x，y0=21x1211x(x0 x1). 消去 x1，得 y0=x02+2021x+1(x00)， PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x 0). 方法二：由 y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx，得 y1y2=21x1221x22=21(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共

5、 29 页则 x0=2121xxyy=kl=-11x， x1=01x，将上式代入并整理，得y0=x02+2021x+1(x00)， PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x 0). （）设直线l:y=kx+b ，依题意 k 0，b0，则 T(0 ，b). 分别过 P、Q 作 PP x 轴， QQ y 轴，垂足分别为P 、Q ，则|SQSTSPST|21ybybQQOTPPOT. y=21x2由消去 x，得 y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2. 方法一：|SQSTSPST|b|(2111yy)2|b|211yy=2|b|2

6、1b=2. y1、y2可取一切不相等的正数，|SQSTSPST的取值范围是（2，+）. 方法二：|SQSTSPST=|b|2121yyyy=|b|22)(2bbk. 当 b0 时，|SQSTSPST=b22)(2bbk=bbk)(22=bk22+22 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页当 b0 ，于是 k2+2b0 ，即 k22b. 所以|SQSTSPSTbbb)2(2=2. 当 b0 时，bk22可取一切正数，|SQSTSPST的取值范围是（2，+）. 方法三：由 P、Q、T 三点共线得kTQ=KTP，即22x

7、by=11xby. 则 x1y2bx1=x2y1 bx2，即 b(x2x1)=(x2y1x1y2). 于是 b=122212122121xxxxxx=21x1x2. |SQSTSPST=|21ybyb=1|21|21xx+1|21|21xx=|12xx+|21xx2. |12xx可取一切不等于1 的正数，|SQSTSPST的取值范围是（2，+）. 3 （本小题满分12 分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400 万元的损失 . 现有甲、 乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应预

8、防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12 分. 2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为400 0.3=120 （万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45 万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1 ，损失期望值为400 0.1

9、=40 （万元），所以总费用为45+40=85 （万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30 万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15 ，损失期望值为4000.15=60 （万元），所以总费用为30+60=90 （万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75 （万元），发生突发事件的概率为（10.9 ）（10.85 ） =0.015 ， 损失期望值为400 0.015=6（万元）， 所以总费用为75+6=81（万元） . 综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少 . 4 （本小题满分14 分）已知.,2, 1,1,011n

10、aaaaaaannn满足数列（I）已知数列na极限存在且大于零，求nnaAlim（将 A 用 a 表示）；（II）设;)(:,2, 1,1AbAbbnAabnnnnn证明（III）若,2, 121|nbnn对都成立，求a 的取值范围 . 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14 分. 解： （I）由两边取极限得对且存在nnnnnnaaaAaAa1),0(lim,lim1.24,0.24,122aaAAaaAAaA又解得（ II）.11,11AbaAbaaaAbannnnnn得由都成立对即,2, 1)(.)(11111nAbAbbAb

11、AbAbAAbAabnnnnnnnn（ III）.21|)4(21|,21|21aaab得令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页., 2, 121| ,23.23, 14.21| )4(21|22都成立对时现证明当解得nbaaaaaann（ i）当 n=1 时结论成立（已验证）. （ ii）假设当那么即时结论成立,21|,)1(kkbkknkkkkkAbAAbAbb21|1|)(|1故只须证明.232|,21|1成立对即证aAbAAbAkk.212121| ,23.2|, 1212|. 2, 14,23,422411

12、222kkkkkkkbaAbAbAAbAaaaaaaaA时故当即时而当由于即 n=k+1 时结论成立 . 根据（ i）和（ ii）可知结论对一切正整数都成立. 故).,23,2, 121|的取值范围为都成立的对anbnn5 （本小题满分14 分，第一小问满分4 分，第二小问满分10 分）已知aR，函数2( )|f xxxa . ()当2a时，求使( )f xx 成立的 x 的集合；()求函数( )yf x 在区间 1 2， 上的最小值 . 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分 14分. 解： （）由题意，2( )2f xxx. 当2x时，2(

13、)(2)f xxxx ，解得0 x或1x；当2x时，2( )(2)f xxxx ，解得12x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页综上，所求解集为0 1 12，. （）设此最小值为m . 当1a时，在区间1 2，上，32( )f xxax. 因为22( )323 ()03fxxaxx xa，(1 2)x，则( )f x 在区间 1 2， 上是增函数，所以(1)1mfa . 当12a时，在区间1 2，上，2( )()0f xxxa，由( )0f a知( )0mf a. 当2a时，在区间1 2，上，23( )f xax

14、x . 22( )233 ()3fxaxxxax . 若3a，在区间(1 2)，内( )0fx，从而( )f x 为区间 1 2，上的增函数，由此得(1)1mfa. 若23a，则2123a. 当213xa 时，( )0fx，从而( )f x 为区间213a，上的增函数；当223ax时，( )0fx，从而( )f x 为区间223a， 上的减函数 . 因此，当23a时，(1)1mfa或(2)4(2)mfa. 当723a时， 4(2)1aa，故(2)4(2)mfa；当733a时，14(2)aa，故(1)1mfa. 综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713aaamaaaa，当时；0，当

15、时；， 当时；，当时6 （本小题满分14 分，第一小问满分2 分，第二、第三小问满分各6 分）设数列na的前 n 项和为nS ，已知1231611aaa，且1(58)(52)1 2 3nnnSnSAnB n，其中 A B， 为常数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页()求A与B的值；()证明：数列na为等差数列；()证明：不等式51mnmnaa a对任何正整数m n，都成立 . 本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解： （）由已知，得111Sa，2127Saa，3123

16、18Saaa. 由1(58)(52)nnnSnSAnB ，知2132372122SSABSSAB，即28248ABAB，解得20A，8B. （）方法1 由（），得1( 58 )( 52 )2 08nnnSnSn，所以21(53)(57)2028nnnSnSn. -，得21(53)(101)(52)20nnnnSnSnS，所以321(52)(109)(57)20nnnnSnSnS. -，得321(52)(156)(156)(52)0nnnnnSnSnSnS. 因为11nnnaSS ，所以321(52)(104)(52)0nnnnanana. 又因为520n，所以32120nnnaaa，即3221

17、nnnnaaaa，1n. 所以数列na为等差数列 . 方法 2 由已知，得111Sa，又1(58)(52)208nnnSnSn，且580n，所以数列nS是唯一确定的，因而数列na是唯一确定的. 设54nbn，则数列nb为等差数列，前n 项和(53)2nnnT. 于是1(1) ( 52)( 53)( 58 )( 52 )( 58 )( 52 )2 0822nnnnnnnTnTnnn，由唯一性得nnba ，即数列na为等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页（）由（）可知，15(1)54nann. 要证51mn

18、mnaa a，只要证512mnmnmnaa aa a. 因为54mnamn，(54)(54)2520()16mna amnmnmn，故只要证5 ( 54)12 52 0 ()162mnmnmnmna a，即只要证2 02 03 72mnmna a . 因为2558mnmna aaamn558(151529)mnmn202037mn，所以命题得证. 7 （本小题满分14 分）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（ c，0） 、 F2（c， 0） ，Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F2Q 上，并且满足.0| , 022T

19、FTFPT（）设x为点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（）求点T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点M，使 F1MF2的面积 S=.2b若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. （）证法一：设点P 的坐标为).,(yx由 P),(yx在椭圆上，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页.)()()(|222222221xacaxabbc

20、xycxPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分证法二：设点P 的坐标为).,(yx记,| ,|2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.|,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点P 的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0 xaca由椭圆第二定义得accaxPF|21，即. |21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分（）解法一：设点T 的坐标为).,(yx当0| PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上 . 当|0|0|2TFPT且时，由0|2TFPT，得2TFPT. 又|2PFP

21、Q，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 在 QF1F2中，aQFOT|21|1，所以有.222ayx综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分解法二：设点T 的坐标为).,(yx当0| PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上 . 当 |0|0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT. 又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 设点 Q 的坐标为（yx ,） ，则.2,2yycxx因此.2,2yycxx由aQF2|1得.4)(222aycx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页将代

22、入，可得.222ayx综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分（）解法一：C 上存在点M（00,yx）使 S=2b的充要条件是.|221,2022020bycayx由得ay |0，由得.|20cby所以，当cba2时，存在点M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M.11 分当cba2时，),(),(002001yxcMFyxcMF，由2222022021bcaycxMFMF，212121cos|MFFMFMFMFMF，22121sin|21bMFFMFMFS，得.2tan21MFF解法二： C 上存在点M（00, yx）使 S=2b的充要条件是.|221,20220

23、20bycayx由得.|20cby上式代入得.0)(2224220cbacbacbax于是，当cba2时，存在点M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M.11 分当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，由,2|21aFF知9021MFF，所以.2|1|tan212121kkkkMFF 14 分8 （本小题满分12 分）函数)(xfy在区间（ 0，+）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx),0(0是 曲 线)(xfy在 点 （)(,00 xfx） 得 的 切 线 方 程 ， 并 设 函 数精选学习资料 - - - - - - - - -

24、名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页.)(mkxxg（）用0 x、)(0 xf、)(0 xf表示 m；（）证明：当)()(,),0(0 xfxgx时；（）若关于x的不等式),0231322在xbaxx上恒成立，其中a、b 为实数，求 b 的取值范围及a 与 b 所满足的关系 . 本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12 分（）解：).()(000 xfxxfm2 分（）证明：令.0)(),()()(),()()(00 xhxfx

25、fxhxfxgxh则因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0 xhxx时；当0)(,0 xhxx时.所以0 x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg6 分（）解法一：10b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1 (,122baxxbaxx即对任意), 0 x成立的充要条件是.)1(221ba另一方面，由于3223)(xxf满足前述题设中关于函数)(xfy的条件，利用（ II）的结果可知，3223xbax的充要条件是：过点（0，b）与曲线3223xy相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为.)2(21

26、bxby于是3223xbax的充要条件是.)2(21ba10 分综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121bb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页有解、解不等式得.422422b因此，式即为b 的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系. 12 分（）解法二：0, 10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122baxxbaxx即对任意),0 x成立的充要条件是.

27、)1(221ba8 分令3223)(xbaxx，于是3223xbax对任意),0 x成立的充要条件是.0)(x由.0)(331axxax得当30ax时;0)(x当3ax时，0)(x，所以，当3ax时，)(x取最小值 .因此0)(x成立的充要条件是0)(3a，即.)2(21ba 10 分综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(bb有解、解不等式得.422422b因此，式即为b 的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系. 12 分9（本小题满分12 分）已知数列na的

28、首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN（I）证明数列1na是等比数列；（ II）令212( )nnf xa xa xa x，求函数( )f x在点1x处的导数(1)f并比较2(1)f与22313nn的大小 . 解：由已知*15()nnSSnnN可得12,24nnnSSn两式相减得1121nnnnSSSS即121nnaa从而1121nnaa当1n时21215SS所以21126aaa又15a所以211a从而21121aa故总有112(1)nnaa，*nN又115,10aa从而1121nnaa即数列1na是等比数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

29、- - - - - -第 14 页，共 29 页（II）由（ I）知321nna因为212( )nnf xa xa xa x所以112( )2nnfxaa xna x从而12(1)2nfaana=232 12 321(3 21)nn=23 2222nn-12n=1(1)31262nn nn由上22(1)23131212nfnnn-212 21nn= 1212121 (21)nnnn=12(1) 2(21)nnn当1n时，式 =0 所以22(1)2313fnn；当2n时，式 =-120所以22(1)2313fnn当3n时，10n又01121 1nnnnnnnnCCCC2221nn所以12210n

30、nn即0从而2(1)f22313nn4(本小题满分14 分) 已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p. （I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II） 设 A、 B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点， 直线OA和OB的倾斜角分别为和， 当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标. 解： （I）如图，设M为动圆圆心，,02p为记为F，过点M作直线2px的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P；（II）如图， 设1122,

31、A x yB xy，由题意得12xx（否则）且12,0 x x所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将ykxb与22(0)ypx P联yAxoB,02pFMN2px精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页立消去x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk（ 1 ） 当2时 ， 即2时 ，t a nt a n所 以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy yp所以2124y yp由知：224pbpk所以2.bpk因此直线AB

32、的方程可表示为2ykxPk，即(2 )0k xPy所以直线AB恒过定点2 ,0p（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan= 122122 ()4p yyy yp将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时，直线AB的方程可表示为ykx22tanppk即2(2 )0tanpk xpy所以直线AB恒过定点22 ,tanpp所以由（ 1） （ 2）知，当2时，直线AB恒过定点2 ,0p，当2时直线AB恒过定点22 ,tanpp. 10 （本小题满分12 分）已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左

33、、右顶点分别是C1的左、右焦点 . （）求双曲线C2的方程；（） 若直线2:kxyl与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点 A 和 B 满足6OBOA（其中 O 为原点），求 k 的取值范围 . 解： （）设双曲线C2的方程为12222byax，则.1, 31422222bcbaa得再由故 C2的方程为.1322yx（ II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得,0) 14(16

34、)41(16)28(22221kkk即.412k0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将. 由直线 l 与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B 得. 131.0)1(36)31 (36)26(,0312222222kkkkkk且即)2)(2(,66319,3126),(),(22BABABABABABABABABBAAkxkxxxyyxxyyxxOBOAkxxkkxxyxByxA而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222kkkkkkkxxkxxkBABA.0131315,613732222kkkk即于是解此不等式得.31151322kk或由、得.115

35、13314122kk或故 k 的取值范围为)1 ,1513()33,21()21,33()1513, 1(11 （本小题满分12 分）数列 an满足)1(21)11(1211nannaannn且. （）用数学归纳法证明：)2(2 nan；（）已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数e=2.71828 . （）证明： （1）当 n=2 时，222a，不等式成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页（2）假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2 kak那么221)1(11 (1kk

36、kakka. 这就是说，当1kn时不等式成立 . 根据（ 1） 、 （2）可知：22nak对所有成立 . （）证法一：由递推公式及（）的结论有)1.()2111(21)11(221nannannannnnn两边取对数并利用已知不等式得nnnannaln)2111ln(ln21.211ln2nnnna故nnnnnaa21)1(1lnln1).1(n上式从 1 到1n求和可得121212121)1(1321211lnlnnnnnaa.22111121121121111)3121(211nnnnn即).1(,2ln2neaann故（）证法二：由数学归纳法易证2) 1(2nnnn对成立，故).2()

37、1(1) 1(11 (21)11(21nnnannannannnn令).2()1(11 (),2(11nbnnbnabnnnn则取对数并利用已知不等式得nnbnnbln)1(11ln(ln1).2()1(1lnnnnbn上式从 2 到 n 求和得)1(1321211lnln21nnbbn.11113121211nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页因).2(3,3ln1ln.313ln11122neebbabnn故故1,2,132222121neaeaeaneeann对一切故又显然成立 . 12 （本小题满分12

38、 分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4( ,21, 110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an. 解： （1）方法一用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa210aa，命题正确 . 2假设 n=k 时有.21kkaa则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)(21)(21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2)2(421)4(2121kkkkaaaa1kn时命题正确 . 由 1、 2知，对一切nN 时有.21n

39、naa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0， 2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页21)2()2(2nnaannnnnnn

40、nnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121, 2 则令, 又 bn=1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即14 （本小题满分14 分）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 . （1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （2）证明 PFA= PFB. 解： （1）设切点A、B 坐标分别为)(,(),(0121120 xxxxxx和，切线 AP 的方程为：; 02200 xyxx切线 BP 的方程为：;02211xyxx解得

41、P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以 APB 的重心 G 的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即（2）方法 1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200 xxFBxxxxFPxxFA由于 P 点在抛物线外，则.0|FP,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP精选学习资料 - -

42、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页同理有,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP AFP= PFB. 方法 2：当,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为)0,2(1x，则 P点到直线AF 的距离为：,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)41(1121xyxxx所以 P 点到直线 BF 的距离为：2|412|)41()()41(|42)41( |1211212122111212xxxxxxxxxd

43、所以 d1=d2，即得 AFP= PFB. 当001xx时，直线 AF 的方程：, 041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即直线 BF 的方程：, 041)41(),0(041411121121xyxxxxxxy即所以 P 点到直线 AF 的距离为：2|41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd， 同理可得到P 点到直线 BF 的距离2|012xxd，因此由d1=d2，可得到 AFP= PFB. 15 （本小题满分12 分）设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点N（1，3）是线段AB

44、的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、 D 两点 . （）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力 . （）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为223,3)1(yxxky代入，整理得.0)3()3(2)3(222kxkkxk设212211,),(),(xxyxByxA则是方程的

45、两个不同的根，,0)3(3)3( 422kk且,3)3(2221kkkxx由 N（1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(, 12221kkkxx解得 k=1，代入得，即,12的取值范围是（12，+） . 于是，直线AB 的方程为. 04),1(3yxxy即解法 2：设),(),(2211yxByxA则有.0)()(332121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxABN（1，3）是 AB 的中点，. 1, 6, 22121ABkyyxx从而又由 N（1，3）在椭圆内，,1231322的取值范围是（12，+） . 直线 AB 的方程为y 3

46、=（ x1） ，即 x+y 4=0. （）解法1： CD 垂直平分AB，直线CD 的方程为y3=x1，即 x y+2=0 ，代入椭圆方程，整理得.04442xx又设),(),(4433yxDyxCCD 的中点为4300,),(xxyxC则是方程的两根，).23,21(,232,21)(21, 10043043Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得. )3(2|)1(1|432xxkCD将直线 AB 的方程 x+y 4=0，代入椭圆方程得016842xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页同理可得. )12(2|1|

47、212xxkAB当12时，|, )12(2)3(2CDAB假设存在12 ，使得 A、B、C、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心 . 点 M 到直线 AB 的距离为.2232|42321|2|4|00yxd于是，由、式和勾股定理可得.|2|2321229|2|22222CDABdMBMA故当12 时， A、B、C、D 四点匀在以M 为圆心，2|CD为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、 B、C、D 共圆ACD 为直角三角形，A 为直角|AN|2=|CN| |DN| ，即).2|)(2|()2|(2dCDdCDAB由式知，式左边,212由和知，式右边,212

48、2923)2232)3(2)(2232)3(2(式成立，即A、B、C、D 四点共圆 . 解法 2：由（）解法1 及12, CD 垂直平分AB， 直线 CD 方程为13xy，代入椭圆方程，整理得.04442xx将直线 AB 的方程 x+y 4=0，代入椭圆方程，整理得.016842xx解和式可得.231,21224,32, 1xx不妨设)233,231(),233,231(),12213 ,12211(DCA)21233,23123(CA)21233,23123(DA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页计算可得0DA

49、CA， A 在以 CD 为直径的圆上 . 又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B、C、D 四点共圆 . （注：也可用勾股定理证明ACAD ）16 （本小题满分14 分）已知不等式nnn其中,log21131212为大于 2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足,4, 3, 2,),0(111nannaabbannn（）证明, 5,4, 3,log222nnbban（）猜测数列na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0 ，都有.51na本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推

50、的思想. （）证法1：当,111,0,211111nanaanaannaannnnnnnn时即,1111naann于是有.111,3111,211112312naaaaaann所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n3 时有，.log211121naan.log22.2log2log2111,2221nbbabnbnbabann证法 2：设nnf13121)(，首先利用数学归纳法证不等式.,5 ,4,3,)(1nbnfban（i）当 n=3 时，由.)3(11223313333112223bfbaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总