2022年高考数学一轮汇总训练《数学归纳法》理新人教A版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第七节数学归纳法 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1. 了解数学归纳法的原理2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1. 与数列等知识相结合，以解答题的形式考查等式、不等式的证明，如20XX年安徽 T21 等2. 以解答题的形式考查“观察归纳猜想证明”的问题，如 20XX年湖北 T22 等. 归纳知识整合 1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)( 归纳奠基 )证明当n取第一个值n0(n0N*) 时命题成立；(2)( 归纳递推 )假设nk(kn0，kN*) 时命题成立，证明当nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n

2、0开始的所有正整数n都成立 探究 1. 数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”2用数学归纳法证明问题应该注意什么？提示： (1) 第一步验证nn0时命题成立， 这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数 (2) 第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k1 时命题的变化情况 (3) 由假设nk时命题成立，证明nk1 命

3、题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标2数学归纳法的框图表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载 自测牛刀小试 1 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn2条时， 第一步检验n等于 ( ) A1 B 2 C3 D 0 解析：选 C n3，第一步应检验n3. 2用数学归纳法证明123n2n4n22，则当nk1 时左端应在nk的基础上加上 ( ) Ak21 B(k 1)2C.k4k22D(k21) (k22)(k23) (k1)2解析：选 D 当nk时，左侧 12 3k2，当nk1 时

4、，左侧 12 3k2(k21) (k1)2，当nk 1 时，左端应在nk的基础上加上(k21) (k22) (k23) (k1)2. 3 利用数学归纳法证明“(n 1)(n2)(nn) 2n13 (2n1) ，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是( ) A2k 1 B 2(2k1) C.2k1k1D.2k3k1解析：选 B 当nk(kN*) 时，左式为 (k1)(k2)(kk) ；当nk1 时， 左式为 (k11)(k12)(k1k1)(k1k) (k1k1) ，则左边应增乘的式子是kkk1 2(2k1)4( 教材习题改编 ) 用数学归纳法证明1121312n11) ，第

5、一步要证的不等式是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载解析：当n2 时，左边 112122111213，右边 2，故填 112132. 答案： 112132 5记凸k边形的内角和为f(k) ，则凸k1 边形的内角和f(k1) f(k)_. 解析：由凸k边形变为凸k1 边形时，增加了一个三角形答案： 用数学归纳法证明等式 例 1 n N*，求证： 112131412n 112n1n11n212n. 自主解答 (1) 当n1 时，左边 11212，右边11112. 左边右边(2) 假设nk时等式成立，即

6、112131412k112k1k11k212k，则当nk 1 时，112131412k 112k12k112k21k11k212k12k112k21k21k312k112k2. 即当nk 1 时，等式也成立综合 (1) ，(2) 可知，对一切nN*，等式成立用数学归纳法证明等式应注意的问题(1) 用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载(2) 由nk到nk1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利

7、用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明1求证： 1222n2nnn6. 证明： (1) 当n1 时，左边 1，右边61，左边右边，等式成立；(2) 假设nk(kN*，且k1)时，等式成立，即 1222k2kkk6，则当nk 1 时， 1222k2(k1)2kkk6(k 1)2kkk16，所以当nk1 时，等式仍然成立由(1) 、 (2) 可知，对于 ?nN*等式恒成立用数学归纳法证明不等式 例 2 已知数列 an ，an0，a10，a2n1an11a2n. 求证：当nN*时，anan1. 自主解答 (1) 当n1 时，因为a2是方程a22a210 的正根，所

8、以a1a2. (2) 假设当nk(k N*，k1)时，0ak0 ，得ak1ak2，即当nk 1 时，anan1也成立根据 (1) 和(2) ，可知anan1对任何nN*都成立把题设条件中的“an0”改为“当n2 时，an1”，其余条件不变，求证：当nN*时，an1a2. (2) 假设当nk(k N*，k1)时，ak1ak，a2k1a2k(ak2ak1)(ak2ak11) ，ak10，又ak2ak111( 1) 1 1，ak2ak10，ak2ak1，即当nk 1 时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an10且b1，b，r均为常数 ) 的图象上(1) 求r的值；(2) 当b 2 时，记bn

9、 2(log2an 1)(n N*) ，证明：对任意的n N*，不等式b11b1b21b2bn1bnn1成立解： (1) 由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn 1(b1) 由于b0 且b1，所以n2 时， an 是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1) ，故a2a1b，即bbbrb，解得r 1. (2) 证明：由 (1) 知an2n1，因此bn2n(nN*) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载所证不等式为2124142n12nn1. 当n1 时，左式32，

10、右式2，左式 右式，所以结论成立假设nk(k1，kN*) 时结论成立，即2124142k12kk1，则当nk 1 时，2124142k12k2k3kk12k3k2k32k1，要证当nk1 时结论成立，只需证2k32k1k2，即证2k32kk，由均值不等式2k32kk2kk成立，故2k 32k1k2成立，所以，当nk1 时，结论成立由可知，nN*时，不等式b11b1b21b2bn 1bnn1成立 . “归纳猜想证明”问题 例 3 已知f(n) 11231331431n3，g(n) 3212n2，nN*. (1) 当n1,2,3时，试比较f(n) 与g(n) 的大小关系；(2) 猜想f(n) 与g

11、(n) 的大小关系，并给出证明 自主解答 (1) 当n1 时，f(1) 1，g(1) 1，所以f(1) g(1) ；当n2 时，f(2) 98，g(2) 118，所以f(2)g(2) ；当n3 时，f(3) 251216，g(3) 312216，所以f(3)g(3) (2) 由(1) ，猜想f(n) g(n) ，下面用数学归纳法给出证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即11231331431k33212k2. 那么，当nk1 时，f

12、(k1) f(k) 1k33212k21k3. 因为1k212k21k3k3k312k2 3k1k3k20，所以f(k1)0(nN*) (1) 猜想 an 的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2) 设x0，y0，且xy1，证明：anx1any1n. 解 (1) 分别令n1,2,3 ，得2a1a21 1，a1a2a222，a1a2a3a233.an0，a11，a22，a3 3. 猜想：ann. 由 2Sna2nn，可知，当n2时， 2Sn1a2n1(n1)，得2ana2na2n11，即a2n2ana2n1 1. ( ) 当n2 时，a222a2121，a20，a22. ( ) 假设当nk(k2)

13、时，akk，那么当nk 1 时，a2k12ak1a2k12ak1k21 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载? ak1(k1)ak1(k1) 0，ak10，k2，ak1(k 1)0，ak1k1. 即当nk 1 时也成立ann(n2)显然n1 时，也成立，故对于一切nN*，均有ann. (2) 要证nx1ny1n，只要证nx 12nxnyny12(n2) 即n(xy) 22n2xynxy12(n2) ，将xy1 代入，得2n2xyn1n2，即只要证 4(n2xyn1)(n2)2，即 4xy1.x0，y0

14、，且xy1，xyxy212，即xy14，故 4xy1 成立，所以原不等式成立 易误辨析 1在解答本题时有以下易误点(1) 在代入n1,2,3时，不能准确求得a1，a2，a3，从而猜想不出an. (2) 证明不等式时，不会应用xy 1 这一条件代换，导致无法证明不等式成立2解决数学归纳法中“归纳猜想证明”及不等式证明问题时，还有以下几点容易造成失分(1) 归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难(2) 证明nk到nk1 这一步时， 忽略了利用假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法(3) 不等式证明的过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证

15、技巧，只有这样， 才能快速正确地解决问题 变式训练 若不等式1n11n 213n1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论解：当n1 时，111112131a24，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载即2624a24，所以a2524. (1) 当n1 时，已证得不等式成立(2) 假设当nk(k N*) 时，不等式成立，即1k11k213k12524. 则当nk 1 时，有1k11k21k11k11k 213k113k213k313k41k1252413k213k42k. 因为13k2

16、13k42kkkk2kk2k218kkkk2kkk0，所以当nk1 时不等式也成立由(1)(2)知，对一切正整数n，都有1n11n213n12524，所以a的最大值等于25. 一、选择题 ( 本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1如果命题P(n)对nk成立， 则它对nk2 也成立， 若P(n) 对n2 也成立，则下列结论正确的是( ) AP(n) 对所有正整数n都成立BP(n) 对所有正偶数n都成立CP(n) 对所有正奇数n都成立DP(n) 对所有自然数n都成立解析： 选 B 由题意nk时成立，则nk2 时也成立， 又n2 时成立，则P(n)对所有正偶数都成立精选学习资料 - -

17、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载2用数学归纳法证明“ 1aa2an11an21a(a1)”，在验证n1 时，左端计算所得的项为( ) A1 B 1aC1aa2D 1aa2a3解析：选 C 等式的左端为1aa2an1，当n1 时，左端 1aa2. 3利用数学归纳法证明不等式1121312n1n21 对于nn0的正整数n都成立”时， 第一步证明中的起始值n0应取 _解析：当n1 时， 212,12 12；当n2 时， 224，22 15；当n3 时， 238,32 110；当n4 时， 2416,42 117；当n5 时

18、，2532,52126，满足 2nn21. 故n0应取 5. 答案： 5 8对大于或等于2 的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22 13,32 135,4213 57；2335,337 911,4313151719. 根据上述分解规律，若n2135 19, m3(mN*) 的分解中最小的数是21，则mn的值为 _解析： 依题意得n22100, n10. 易知m321mm m22, 整理得 (m5)(m 4)0, 又mN*, 所以m5, 所以mn15. 答案： 15 9若数列 an 的通项公式an1n2，记cn2(1 a1)(1 a2) (1an) ，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_

19、. 解析：c12(1 a1)211432，c2 2(1 a1)(1 a2) 2 114 11943，c3 2(1 a1)(1 a2)(1 a3) 2 114 119 111654，故由归纳推理得cnn2n1. 答案：n2n1三、解答题 ( 本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10用数学归纳法证明：123252 (2n1)213n(4n21) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载证明： (1) 当n1 时，左边 12 1，右边131(4 1) 1，等式成立(2) 假设当nk(k N*)

20、时等式成立，即123252 (2k1)213k(4k2 1) 则当nk1 时， 123252 (2k1)2(2k1)213k(4k21)(2k1)213k(4k21) 4k24k 1 13k4(k1)21 13k4(2k1) 4k24k1 13k4(k1)21 13(12k212k38k24k) 13k4(k1)21 134(k1)21 13(k1)4(k1)21 即当nk 1 时等式也成立由(1) ， (2) 可知，对一切nN*，等式都成立11设 0a1，定义a11a，an11ana，求证：对任意nN*，有 1an1，又a11a11a，显然命题成立(2) 假设nk(kN*) 时，命题成立，即

21、1ak11a. 即当nk 1 时，由递推公式，知ak 11aka，由假设可得 (1 a) a1aka1a11a. 于是当nk1 时，命题也成立，即1ak111a. 由(1)(2)可知，对任意nN*，有 1an0，nN*. (1) 求a1，a2，a3，并猜想 an的通项公式；(2) 证明通项公式的正确性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载解： (1) 当n1 时，由已知得a1a121a1 1，a212a12 0. a131 或a131( 舍去 ) 当n2 时，由已知得a1a2a221a21，将a131

22、 代入并整理得a2223a22 0. a253或a253( 舍去 ) 同理可得a375. 由a1，a2，a3，猜想an2n12n1(nN*)(2) 证明：由 (1) 的计算过程知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*) 时，通项公式成立，即ak2k12k1. 那么由ak 1Sk1Skak 121ak 1ak21ak，将ak2k12k1代入上式并整理得a2k122k1ak12 0，解得ak12k32k1，或ak12k32k1( 舍去 ) 即当nk 1 时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an2n12n1都成立4用数学归纳法证明：11221321n221n(nN*，n2)证

23、明： (1) 当n2 时， 11225421232，命题成立(2) 假设nk时命题成立，即11221321k221k. 当nk 1 时， 11221321k21k221k1k20 恒成立 ? f(x)min0；f(x) 0恒成立 ? f(x)max0.(2) 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有( 下面的a为参数 ) ：f(x)f(x)max；f(x)g(a) 恒成立 ?g(a)0，得x1.且定义域为 (0 ，) ，所以函数f(x) 的单调增区间是 (1 ， ) 令f(x) x2x0，得 1x0. 因而ax22xx l

24、n x(x1 ，e) 令g(x) x22xxln x(x1 ，e) ，又g(x) xx22ln xxln x2，当x1 ，e 时，x10， ln x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载x22ln x0，从而g(x) 0(当且仅当x 1 时取等号 ) 所以g(x) 在 1 ，e 上为增函数故g(x)maxg(e) e22ee1. 所以a的取值范围是e22ee 1，. 点评 利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数( 二次方程 ) 的问题研究，一般有下面几种类型：1一次函数型

25、问题：利用一次函数的图象特点求解对于一次函数f(x) kxb(k0)，xm，n ，有(1)f(x) 0 恒成立 ?fm，fn(2)f(x)0 对xR恒成立 ?a0，0，(2)f(x)0 对xR恒成立 ?a0，a2k1，求c的取值范围 解 (1) 由a11，a2ca1c23 3c2c (221)c2c，a3ca2c35 8c3c2(321)c3c2，a4ca3c47 15c4c3(421)c4c3，归纳猜想an (n21)cncn1，nN*. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载下面用数学归纳法证明：

26、当n1 时，等式成立；假设当nk时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk 1 时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck 1(2k1) (k22k)ck1ck(k1)21 ck1ck，综上，an(n21)cncn1对任何nN*都成立(2) 由a2ka2k1，得(2k)21c2kc2k1(2k1)21c2k1c2k2，因c2k20，所以 4(c2c)k24ckc2c10 对kN*恒成立记f(x) 4(c2c)x24cxc2c1，下面分三种情况讨论：当c2c0，即c0 或c1 时，代入验证可知只有c1 满足要求当c2c0时， 即 0c1， 抛物线yf(x) 开口向下，因此

27、当正整数k充分大时，f(k)0，即c1 时，抛物线yf(x) 开口向上，易知0，其对称轴x1c必在直线x1 的左边因此，f(x) 在1 ， ) 上是增函数所以要使f(k)0 对kN*恒成立，只需f(1)0 即可由f(1) 3c2c10，解得c1136. 结合c1，得c1. 结合以上三种情况，c的取值范围为，11361 ， ) 点评 本题中关于k的不等式， 不能通过分离参数将k与c分离， 这时的一般解法是直接利用函数知识求函数最值，只是这时的函数定义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别 由此可见， 数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同，不同之处就是定义域不同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页