2022年高数公式大全 .pdf

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1、1 高等数学公式导数公式：基本积分表：kdxkxC（k 为常数）11uuxx dxCu1lndxxCx21arctan1dxxCx21arcsin1dxxCxcossinxdxxCsincosxdxxC221sectancosdxxdxxCx221csccotsindxxdxxCxsec tansecxxdxxCcsc cotcscxxdxxCxxe dxeClnxxaa dxCa两个重要极限：三角函数公式：sin22sincos2222cos22cos112sincossin22sincos122sec1tan22(tan )sec(cot )csc(sec )sectan(csc )csc

2、cot()ln1(log)lnxxaxxxxxxxxxxaaaxxa22221(arcsin)11(arccos )11(arctan)11(arccot)1xxxxxxxx0sinlim11lim(1)xxxxxex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 零点定理：设函数fx在闭区间,a b上连续， 且0f afb，那么在开区间,a b上至少一点，使0f。 （考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理： 如果函数fx满足三个条件：（1）在闭区间,a b上连续；（2）在开

3、区间,a b内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即faf b，那么在, a b内至少有一点ab，使得0f。 （选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：如果函数fx满足（1）在闭区间,a b上连续；（2）在开区间,a b内可导，那么在, a b内至少有一点ab，使等式f bf afba成立。（证明题）定积分应用相关公式函数的平均值1bayfx dxba空间解析几何和向量代数：空间两点的距离22212211212dM Mxxyyzz向量br在向量ar方向上的投影Pr jcos,abba brrrr设,xyzaa aar，,xyzbb b br，则两向量的数量积cosxxy

4、yzza baba ba ba brrrr是一个数，为ar与br的夹角；ar与br的夹角222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb。两向量的向量积xyzxyzijkabaaabbbrrrrr，sinababrrrr。 （考点：利用向量积求三角形的面积）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 平面的方程：1、点 法 式 方 程 ：0000A xxB yyC zz， 其 中,nA B Cr为 平 面 的 法 线 向 量 ，0000,Mxyz为平面上的一点。2、一般式方程：0AxByCzD，其中

5、平面的一个法线向量, ,nA B Cr。3、截距式方程：1xyzabc，, ,a b c为平面在, ,x y z轴上的截距。平面外任意一点到该平面的距离：000222AxByCzDdABC。 、空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）000 xxyyzztmnp，其中直线的一方向向量, ,sm n pr；2、直线的参数方程：000 xxmtyyntzzpt多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdzt

6、vtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22微分法在几何上的应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(00000000000000000000000000000000000000

7、0000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflflji

8、eeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( ,0),( ,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分

9、）：第一类曲线积分（对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()(

10、),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL三个常用的正项级数：1、等比级数11nnaq当1q时，该级数收敛于1aq；当1q时，该级数发散。2、p级数11pnn当1p时，该级数收敛；当1p时，该级数发散。特别地，当1p时，11nn称为调和级数。级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发

11、散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果

12、收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1 ()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0(

13、)0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 )()!12()1(! 5! 3sin) 11(!)1()1(! 2) 1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐

14、式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，

15、即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页