2022年高数第二章极限与连续讲稿 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆章节名称第二章极限与连续教学目的1、理解极限的定性定义（包括左极限、右极限）。2、熟练掌握极限的四则运算法则和常用的求极限方法。3、熟练掌握两个重要极限并会利用它求极限。4、理解无穷小概念，掌握无穷小的运算性质及与无穷大的关系、无穷小阶的比较。5、理解函数连续性概念，会判别函数的间断点教学分析重点：极限的定性定义；极限的四则运算法则和常用的求极限方法；两个重要极限及其应用无穷小概念；函数连续性概念难点：极限定义的理解及极限的计算无穷小定义，函数连续性的理解教学方式指导练习法辅以直观演示法教学课时板书设计：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

2、- - - - - - -第 1 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆教学内容备 注一、极限概念的引入例 1、抛物线2xy，直线1x及x轴围成的曲边三角形的面积的计算二、数列的定义定义:定义在正整数集上的函数)(nfxn称为数列，记为,21nxxx(1) 其中的每个数称为数列的项，nx称为通项 (一般项 )。数列 (1)记为nx。三、数列的极限.)6121(312时的变化趋势当观察数列nnn当n无限增大时 , nx是否无限接近于某一确定的数值的描述（导出极限的定义）定义设 a 为常数，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数N，使得对于Nn时的一切nx，恒有axn称常数a是数列n

3、x的极限，或者称数列nx收敛于a，记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限，就说数列是发散 的. 几何解释 :.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn四、用定义证明极限例 2：试证) 1,0(1limaaann五、数列收敛的充要条件定理 ：数列nx收敛于 a 的充要条件是他的所有子列均收敛于a . 例 5：试证数列ncos不收敛。x1x2x2Nx1Nx3x2aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆一、x时函数的极限1、定义定义：设)(xf在

4、ax上有定义， A 为常数。若0,0X, 使得,Xx恒有.)(Axf则称:x时函数)(xf有极限为A。记为Axfx)(lim说明几何意义：2.另外两种情形:情形xAxfx)(lim.)(, 0,0AxfXxX恒有时使当x情形Axfx)(lim.)(, 0, 0AxfXxX恒有时使当注：Axfx)(lim.)(lim)(limAxfxfxx例 1.0coslimxxx证明二、0 xx时函数的极限1、 导入例 3求自由落体在0t时的瞬时速度)(0tv2、 定义定义 : 设)(xfy在x的 某 一 去心 邻域 上有 定义 ， A为 常数 。恒有时使当,0,0,00 xx.)(Axf则说0 xx时函数

5、)(xf有极限 , 极限为 A 记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx当或几何解释：.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数邻域时的去心在当Ayxfyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆.,越小越好后找到一个显然例 4.sinsinlim:00 xxxx证明例 5.311lim31xxx证明3.单侧极限 :左极限.)(, 0, 000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作右极限.)(,0,000Axfxxx恒有时使当.

6、)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作定理 ：.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx例 6：试证函数1,sin1,)(xxxexfx当1x时，无极限)(xfyAAA0 x0 x0 xxyo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆一、极限运算法则定理：.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(limBBAxvxuBAxvxuBAxvxuBxvAxu其中则设推论 1.)(lim,)(limcAxcucAxu则为常数而存在如果（

7、常数因子可以提到极限记号外面.）推论 2.)(lim,)(limnnAxunAxu则是正整数而如果推论 3 对多项式nnnaxaxaxP110)(及有理函数,)()()(110110mmmnnnbxbxbaxaxaxQxPxR当0 xx时，有)()(lim00 xPxPxx，)(lim)(lim)(lim000 xQxPxRxxxxxx)()(00 xQxP)(0 xR)0)(0 xQ。（., 0)(0则商的法则不能应用若xQ）二、求极限举例例：.531lim232xxxx多项式与分式函数代入法求极限.93lim23xxx（00）消去零因子法求极限.3212lim22nnnn)(型xxxx23

8、52lim23无穷小因子分出法求极限为非负整数时有和当nmba, 0,000一. 夹逼准则1、夹逼准则准则如果数列nnyx ,及nz满足下列条件: ,lim,lim)2()3 ,2 ,1()1(azaynzxynnnnnnn则axnnlim. 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆准则如果 当)(00 xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()() 1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0 xfxx

9、x=A. 准则和准则称为夹逼准则. 2、利用夹逼准则求重要极限1 1sinlim0 xxx3、利用重要极限1 和夹逼准则求极限例 1.tanlim0 xxx例 2. nnn2sinlim, 例 3. .cos1lim20 xxx例 4 .)(cos1lim2xxx例 5. .212sinlim22nnn例 6. 设0cba, nnnnncbax求nnxlim例 7. 设1a, 试证 : 对任何正整数k 有0limnknan二、 .单调有界准则1. 准则单调有界数列必有极限. 几何解释 : 利用单调有界准则证明nn)11(收敛，得到重要极限2ennn)11(limexxx)11(lim2. 利用

10、重要极限和极限准则求极限x1x2x3x1nxnxAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆例 8. .)11 (lim2nnn例 9 .)321 (limxxx例 10 .)sin1 (lim2xxx例 11. .)121(lim22nnnnn例 12 试证)0(!anaxnx有极限 , 并求出该极限例 13. 设0,01xa,且,4,3,2,2111nxaxxnnx试证数列nx收敛 , 并求其极限 . 无穷小与无穷大1、定义： 若对0，0( 或0X), 使得当00 xx( 或xX), 恒有)

11、(xf, 则说函数)(xf是0 xx( 或x) 时的无穷小2.无穷小的运算性质: 定理 2.6 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。定理 2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小量。推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小. 定理 2.8 一个有极限、但极限不为零的函数去除无穷小所得的商为无穷小。定理 2.9 ),()()(lim0 xAxfAxfxx其中)(x是当0 xx时的无穷小3、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 ：若对于0M(不论它多么大 ), 都0( 或0X), 使得当00 xx( 或xX), 恒有 , Mxf)(,则称函数)(

12、xf为0 xx(或x)时的无穷大 ,记作).)(lim()(lim0 xfxfxxx或特殊情形：正无穷大，负无穷大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或注意 : 1.无穷大是变量，不能与很大的数混淆; .)(lim.20认为极限存在切勿将xfxx3. 无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大. .,1sin1,0,但不是无穷大是一个无界变量时当例如xxyx三、无穷小与无穷大的关系定理 2.10： (1) 若)(limxf，则

13、0)(1limxf；(2) 若0)(limxf，且0)(xf，则)(1limxf一、无穷小的比较定义 :. 0,且穷小是同一过程中的两个无设);(, 0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CC;, 1lim:记作是等价的无穷小与则称如果特殊地.),0,0(lim)3(阶的无穷小的是就说如果kkCCk常用等价无穷小:,0时当x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学

14、而不思则惘，思而不学则殆一、函数的连续性1.函数的增量.,),(,)()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfy2.连续的概念定义 :设函数)(xf在)(0 xU内有定义 , 且0lim0yx,那末就称函数)(xf在点0 x连续 ,并称0 x为)(xf的连续点 .否则称0 x为)(xf的间断点 . :定义.)()(, 0,000 xfxfxx恒有时使当3.单侧连续;),()0(000处左连续点若xxfxf.),()0(000处右连续点若xxfxf.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf4.

15、连续函数与连续区间例 1 已知函数.001sin,0,sin)(xxbxxaxxxxf讨论1）ba,为何值时，)(lim0 xfx存在； 2）ba,为何值时)(xf在0 x连续。5、函数的间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但右极限都存在处左在点如果xfxxfxfxxf可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数处无定义则称点在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx. 第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在一个不存处的左、右极限至少有在

16、点如果xfxxxf二、函数连续性的判定定理定理 2.18 如果)(xf和)(xg都在0 x点连续，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆0)()()(,)()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf都在0 x连续。定理2.19 ：如果)(xu在0 x处连续，)(00 xu，又)(ufy在点0u处连续，则复合函数)(xfy在0 x处连续。定理 2.20 严格单调的连续函数的反函数是严格单调的连续函数。定理 2.21 初等函数在其有定义的“区间内”处处连续。三、连续在极限运算中的应用定理 2

17、.22设)(xf在点0u 处连续，又0)(limux则)()(lim)(lim0ufxfxf。例 8 试证axxaxln1)1 (loglim0例 9 试证axaxxln1lim0例 10 试证xxx1)1(lim0四、闭区间上连续函数的性质1、有界性定理 2.23 （有界性）闭区间上的连续函数必有界2、 最值性定义 2.11 如果在区间I 上存在点，使得当Ix时，恒有)()()()(xffxff则称)(f为)(xf在区间 I 上的 最小（大）值。定理 2.24 （最大最小值存在定理）闭区间上的连续函数必有最小值和最大值。3、介值性定理 2.25 （零点存在定理）设函数)(xf闭区间 a,b上的连续，且0)()(bfaf，则至少存在一点),(ba使得0)(f。定理 2.26 （介值定理）闭区间上的连续函数一定能取得介于最小值和最大值之间的任何值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页