2022年高二数学奥赛讲义 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1 和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除 1 和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1 既不是素数也不是合数. 正整数 =1 素数合数 . （2）互素；如果两个整数p与q没有共同的素因数，则称p与q互素，记为（p，q）=1. （3）设 a为大于 1 的整数，则a 的大于 1 的最小因数一定是素数. （4）设 a 为大于 1 的整数，若对所有不大于a的素数p，有p？q（表示 a 不被p整除），则a是素数 . 2.整数的奇偶性（1）能被 2 整除的数称偶数，可表示为2 ()n nZ

2、的形式；不能被2 整除的数称为奇数，可表示为21()nnZ 的形式 . （2）奇数与偶数的性质：奇数偶数；奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；两数和与两数差的奇偶性相同；积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；偶数与任何整数的乘积都为偶数；n个偶数的积为2n的倍数 . 3. 带余除法若,a b是两个整数，0b，则一定有且只有两个整数q，r ，使得(0)abqrrb 成立 . 0r时，称 b整除 a ，记作|b a. （1）若两个整数m与 n被 b 除的余数相同，则();|()mnbmnb反之 , 若，则 m与 n被 b 除的余数相同；（2）n 个连续整

3、数中有且仅有一个是n 的倍数；（3）设 b是整数，则任意()p pb个整数中，至少有两个数被b 除的余数相同 . 4. 整除的性质设d为,a b的最大公因数，记为( , );,a bd ma b是的最小公倍数，记为 , a bm，整除有以下性质；（1）若| ,| ,|a b b ca c则；（2）若| ,0,|a b cac bc则；（3）若| , | , ,|;c a c bm nc manb则对任何有（4）若,1,|,|a ba bcab c则（5）若( , )1, | , | ,|a ba c b cab c则（6）若 ( , )1,(, )( , )a bac bc b则（7）若 (

4、, ),( ,)()a bda btad t则为整数；（8）若0,c则( , )(,)a bcac bc；（9）若0,c且 c 是,a b的公因数，则( , ),;a ba bc cc（10）,a b( , )a ba b；（11）*| ()nnba b nNa；（12）若p为素数，11.( ,)1,|na pp a则例 1.证明：对于任何自然数nk和,数3410( . )2kknf n kn都不能分解成若干个连续的正整数之积. 例 2. 设127,aaa是 1，2，7 的一个排列，求证：127(1)(2)(7)paaa必是偶数 . 例 3. 若三个大于3 的素数, ,a b c满足关系式25

5、,9|.abcabc求证 :例 4. 试求出所有的正整数, ,a b c，其中1,(1)(1)(1)1abcabcabc使得是的因数 . 例 5. 设a是正整数，3100,23aa并且能被 24 整除，求所有这样的a的个数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载二、同余定义设m是一个给定的正整数，如果两个整数,a bm用除所得的余数相同， 则称,a b对模m同余，记为(mod)abm同余的基本性质（1）反身性：(mod)aam. （2）对称性：若(mod)abm，则(mod)bam. （3）传递

6、性：若(mod),(mod),(mod)abm bcmacm则. （4）若(mod),(mod),(mod)abmcdmacbdm则（5）若(mod),(mod),(mod)abm cdmacbdm则（6）若*(mod)(mod)()nnabmabmnN则. （7）若(mod),0,(mod),( ,)1,(mod).( ,)macbcm cabc mabmc m则当时 有（8）若*(mod),|,(mod)abm n m nNabn则（9）若*12(mod),1,2, ,(mod,)()inabmin abm mmnN（10）完全平方数模4 同余于 0或 1；模 8 同余于 0，1 或 4；

7、模 3 同余于 0 或 1；模 5 同余于 0，1 或-1，完全立方数模9同余于 0，1 或-1，整数的四次方模16 同余于 0，1. 例 1. 求2004818(736)的个位数字是？例 2.若*nN，且2131nn与都是完全平方数，那么n必为 40 的倍数 . 例3. 设121001,2,3,200,EGa aaEG且具 有 下 列 两 条 性 质 ； （ 1） 对 任 何1100,ij恒有201;ijaa（ 2）100110080iai.证明： G 中的奇数的个数是4 的倍数，且 G 中所有数字的平方和为一个定值. 例 4. 写出所有的由3 个素数组成公差为8 的等差数列 . 精选学习资

8、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法. 定理 1 把1mn个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至少含有1m个元素 . 定理 1 还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式；定理 2 把1mn个元素分成n 个集合，其中必有一个集合至多含有1m个元素 . 我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造

9、合适的抽屉. 例 1. 设为无理数 .证明：对任意的正整数n，存在整数, (|)p qqn，满足1.qpn例 2. 求所有的正整数n， 使得集合1,2,50M的任意 35 元子集至少存在两个不同的元素a.b满足.abnabn或例 3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色. 例 4. 在ABC中，求证：3coscoscos.2ABC变式：在ABC中，求证：2229sinsinsin.4ABC四、客斥原理客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一

10、部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维斯特首先创立. 当12,nA AA是有限集合A 的一个分划， 即12,nijAA AAAA这时我们有12.nAAAA这实际上是组合计数中的加法原理.但当ijAA时，又该如何计数A呢？这就有下面的所谓的容斥原理. 容斥原理设12,nA AA为集合 A 的有限子集， 其元素个数分别为1A，2A，nA，则12111niijijkij nijnijk nAAAAAAAAA1( 1)n12.nAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载由集合知识，有1212,nnAAAA

11、AA从而容斥原理还有另一种表现形式1212111( 1)nniijijkni nij nij k nAAAAAAAAAAAAA容斥原理可用数学归纳法证明.对于 n=2 的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法，就是要计算A可以考虑所有元素对A的贡献；如果xA，则 x 对A的贡献为 1，否则贡献为0，这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等. 容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一，也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题上.用容斥原理解决这些问题的关键是用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来. 例 1. 用 1，2，3，4，5这

12、5 个数字，可以组成比20000 大并且百位数不是3 的没有重复数字的五位数的个数. 例 2. 从自然数列1，2，3，4，5，中依次划去3 的倍数和4 的倍数，但是其中凡是5 的倍数均保留 . 划完后剩下的数依次构成一个新的数列：1231,2,5,AAA求2012.A例 3. 在一次数学演讲中，有5 个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了 . 求证：一定存在某个时刻有三个人同时睡着了. 例 4. 求满足123415, 24,05,39xxxx的方程123418xxxx的整数解的个数 . 例5. 1,2,3, n的 一 个 错 位 排 列 是1 , 2 , 3 ,n的 一

13、 个 排 列12,ni ii， 使 得(1)kikkn.用nD表示1,2,3, n的错位排列的个数. 证明：1111! 1( 1).1!2!3!nnDnn例 6. 有 8 个孩子坐在旋转木马上，如果让他们交换位置，使得每一个孩子的前边都不是原来在他前面的那个孩子，问有多少种不同的方法？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载五、圆的有关定理圆中的相关知识主要有：1. 圆的对称性，垂径定理；2. 与圆有关的角；圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角. 3. 切线的判定与性质；4. 圆幂定理；5. 正弦定

14、理以及在其后几节中出现的许多定理. 圆中的基本问题：1. 证明角相等或计算角度、弧长；2. 证明线段相等或线段成比例或计算线段长度、图形面积；3. 证明图形相似；4. 证明各个几何图形的位置关系（如共线，共点，共圆，平行，垂直等）. 解决这些基本问题的常用方法，通常是：（1）可以通过证明三角形全等或相信；（2）可以利用圆周角、弦切角等与圆有关的角的关系进行转化；（3）可以利用圆幂定理；（4）转化为三角计算 . 例 1. 如图 27-1，设 I 为ABC的内心，射线AI ，BI，CI 分别交ABC的外接圆于点D，E，F，求证：.ADEF例 2. 如图 27-2，过O外一点 P 作O的一条切线PC

15、 和一条割线PAB，已知这两条线均在PO 的同一侧， Q 为 C 在 PO 上的射影，求证：QC 平分.AQB例 3. 如图 27-5，O切正三角形ABC 的边 BC 于点 D，分别交边AB 于点 M，交边 AC 于点 P，Q，求证： BD+AM+AN=CD+AP+AQ. 例 4. 如图 27-6，P 为O外的一点，作O的两条切线PA，PB 与任一割线PCD，证明：（ 1）;AC BDAD BC（ 2）.PCECPDED例 5. 如图 27-13，1O与2O相交于 A，B 两点，1O的一条弦 CD 切2O于点 E，且 AE与1O切于点 A，求证：33BDADBCAC. 精选学习资料 - - -

16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 6. 如图 27-16，O的两条弦AC ，BD 交于点 K，设 M，N 分别为AKBCKD与的外心，证明：四边形OMKN是平行四边形 . 例 7. 如图 27-18，半圆O的直径为AB ，C 为 OB 上一点， 过点 C 且垂直于AB 的直线交半圆O于点 D，P与半圆O内切于点F，与 CD 切于点 E，与 CB 切于点 G. 证明ADG为等腰三角形. 例 8. 如图 27-19，ABC中， D 为 BC 中点，点M 在边 BC 上，且满足BAMCAD，若CAM的外接圆与AB 的另一

17、交点为K，BAM的外接圆与边AC 的另一交点为L，求证：/ /.KLBC六、共圆如果有四点或四个以上的点在同一个圆上，就是共圆问题 .点共圆问题出现的形式一般有两种；一是以点共圆作为证题目的；二是以点共圆作为解题手段，即作出辅助圆来汇聚条件、揭露隐含、转化所证结论的作用. 证明四点共圆的常用方法1. 注意圆的定义；证明几个点与某个定点距离相等；2. 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；3. 证明凸四边形有一组对角互补（或外角等内对角）. 4. 证明这四点可以满足圆幂定理（相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理）. 5. 其他方法共圆的作用；1.利用多点共圆找出角度或者

18、是三角形边长之间的等量关系；（证角相等、垂直、线段相等）2.利用四点共圆证明多点共圆. 例 1. 如图 28-1，设圆1O和圆2O相交于点M 和 P，圆1O的弦 MA 和圆2O相切于点 M，圆2O的弦于圆1O相切于点M，在直线 MP 上截取 PH=MP. 证明： M，A，H，B 四点共圆 . 例 2. 在锐角ABC中， M，N 分别是高线11,BB CC的中点， AM 与1CC，AN 与1BB分别交于点 P，Q.证明：（ 1）M，N，P，Q 四点共圆；（ 2）若 B，C，P，Q 四点共圆，则ABC是等腰三角形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、- - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 3. 在 ABC 中，,BCAB BDABC平分交 AC 于 D，如图 28-10，CP 垂直 BD，垂足为P，AQ 垂直 BP，Q 为垂足， M 是 AC 中点， E 是 BC 中点 . 若PQM的外接圆O 与 AC 的另一个交点为 H. 求证： O，H，E，M 四点共圆 . 例 4. 如图 13，在圆内接ABC中， AB=AC ，经过 A 任作二弦AE，AQ 且 AE 交直线 BC 于D，AQ 交直线 CB 于 P. 求证： P，Q，D，E 四点共圆 . 例 5. 如图28-17，给定凸四边形ABCD ，0180BD， P 是平面上

20、的动点，令()f PPA BCPD CAPC AB.求证：当()f P达到最小值时，P，A，B，C 四点共圆 . 例 6. 如图 28-19， 已知 D， E， F 分别是ABC三边 AB， BC， CA 上的点，且 AD=AF ， BD=BE ，DE=DF. 设 I 是ABC的内心，过点A 作ABI外接圆的切线与BI 交于点 K，若 AK=AD ，证明：AK=EK. 例 7. （九点圆定理）三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连结线段的中点，这九点共圆. 已知：在ABC中， H 是垂心， L，M， N 分别为 BC，CA ，AB 的中点， D，E，F 分别是三高之垂足， P，

21、 Q， R 分别是 AH ，BH ，CH 的中点，求证：L，M，N，D，E，F，P，Q，R 九点共圆 . 七、共线点与共点线（一）点共线共线，指的三个及以上的点在同一条直线上. 多点共线可化归为三点共线问题. 证明三点 A、B、C 共线的方法很多，常从以下几个方面考虑：1. 从角考虑：如图29-1，设 B 在线段 XY 上，证明ABXXBCABXCBY或（对顶角相等的逆定理）. 而在图 29-2 中，应改为证明ABXCBY. 2. 从线考虑：证明AB ，AC 与同一条直线平行（或垂直）；或证明AB+BC=AC. 3. 从有关结论考虑：梅涅劳斯（Menelaus）定理、 Simson线等；4.

22、从形考虑：证A，B，C 三点所成的三角形面积为零；可利用位似；5. 从方法上考虑；可考虑反证法、同一法、解析法等. （二）线共点共点，指n 条（3n）直线经过同一点.多直线共点可化归为三线共点问题.证明几条直线共点，常用的方法有：1. 设其中两条直线相交于点A，然后证明A 在其他直线上， 即化为证明A 与在其他直线上的两个点共线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载2. 先找出其中某两线的交点所具有的性质（例如经过某个特殊点），证明其余的点也具有这个性质 . 3. 利用 Ceva定理等结论证明

23、共点. 4. 利用已证的共点线. 例如得用三角形的“五心”及三个圆的根轴是共点线. 5. 证明两个图形是位似图形，则对应点连线共点. 例 1. 设四边形ABCD 的对角线AC，BD 交于点 O，且 AB=BC ，CD=CA ，设,ABDBCD的边 AB ，CD 上的高线分别为DN ，BK. 证明： N，O，K 三点共线 . 例 2. 西姆松定理：过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线称为西姆松线）. 已知： P 为ABC的外接圆上任意一点，P 在三边上的射影为L，M，N，证明L，M，N 共线. 例 3. 设 P 为ABC内一点，且满足090 ,BPCBAPBCP，M

24、，N 分别是边AC ，BC 的中点 . 若 BP=2PM ，证明： A，P， N 三点共线 . 例 4. 设 AD，BE，CF 为ABC的三条高，从点D 引 AB，BE，CF， AC 的垂线 DP，DQ，DR，DS，垂足分别为P，Q，R，S，求证： P，Q，R，S 四点共线 . 例 5. 帕普斯（ Pappus, 约 3 世纪）定理，设111,A BC是直线1l上三点，222,AB C是直线2l上三点 . 1221A BA B与交于 L，12AC与21A C交于 M，12B C与21B C交于 N，求证： L，M，N 三点共线. 例 6. 设四边形ABCD 外切于圆 O，对角线 AC 和 BD

25、 的中点分别为MN. 求证： M，N，O 三点共线 . 例 7. 证明帕斯卡定理：圆内接交边形三对对边（所在直线）的交点共线. 例8. 设P为ABC内任一点，作射线AL、BM、CN，使,CALPABMBCPBANCABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 9. 在ABC中，O为其外心，111,A B C分别是边BC，CA ，AB 的中点 .已知0，点222,A B C分别使得212121,OAOA OBOB OCOC成立 .证明：直线222,AABB CC三线共点. 例 10. 如图 29-

26、27，设 P 为ABC内任一点，在形内作射线AL，BM ，CN，使得,CALPABMBCPBANCABCP，求证： AL ，BM ，CN 三线共点 . 八、图论（ 1）图由一个点集V 以及连结其中某些点对的线段(可以是曲线 )集 E 组成的图形称为图， 记为 G （V，E)，其中， V 中的点称为图G 的顶点 (点 )，E 中的线段称为图G 的边，有n 个顶点的图称为n 阶图，对图 G 中任一点v，所连的边数称为点v 的度，记作( )Gdv，显然()2( )v V GEd v. k一正则图每个顶点的度数都为k的图称为k一正则图无向图每一条边都是无向的图称为无向图有向图每一条边都是有方向的图称为

27、有向图简单图无环和重边的无向图称为简单图完全图任意一个顶点都与其他所有顶点相连的简单图称为完全图因此一个n 阶完全图(nK)有2nC条边竞赛图有向完全图称为竞赛图，其中每条边均有一个起点和一个终点对于图中的每一点v，以v为起点的边的数目称为点v的出度，记为( )dv；以v为终点的边的数目称为点v的人度，记为( )dv显然，对于n 阶竞赛图的每一个顶点v，都有( )( )1dvdvn二部图可将图的顶点分划成两个子集，每个子集中的任意两个点是不相连的n 部图可将图的顶点分划成n 个两两不交子集，图中任意一条边的两个顶点属于两个不同的子集对于(2)n n部图，若每个点均与其他子集中的所有点都相连，则

28、称为完全n部图对于图 G，若任意两点u，()vN G，且存在一条u到v的路，则称G 是连通的若G 是连通的，且不存在圈，则称G 为一棵树容易得出，若图G 的顶点数为n，且为一棵树，则G 含有n-1 条边定理：图G 为二部图当且仅当图G 中不存在奇圈(长度为奇数的圈)在图论中，我们主要研究的是点与边之间的关系在解决一些实际问题时，我们常常先是通过类比的方法，将问题中的实体抽象成图的顶点，再将它们之间的关系抽象成边，最后将所要研究的问题转换成研究图的性质在图论问题的处理上，反证法、归纳法、极端(极值 )法是常用的方法本讲中，我们将主要介绍两类特殊图的应用：二部图(咒部图 )、完全图例 1.将凸 n

29、 边形12,nA AA的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形 .对1,2, ,kknb记是由顶点kA引出的蓝色边的条数.求证：2122nnbbb. 例 2. 45 个校友聚会，在这些人中，任意两个熟人数目相同的校友互不相识. 问在参加校友聚会的人中，认识熟人最多的人的数目是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载例 3. 已知一个有限图G，设()f G是图 G 中的 3 阶完全图的个数，()g G是图 G 中的 4 阶完全图的个数 .求最小的常数c，使得对于每个图G，有34

30、( ( )()g gc f G. 图论 2 对象M 是图 G 的边子集，且M 中的任意两条边不相邻（即没有公共顶点0.）Euler（欧拉）环游（一笔画问题）从某一顶点出发，经过图G 所有边恰好一次，并回到原来的顶点，这样的图也称为Euler 图. 容易得出：一个连通图G 是 Euler 图当且当图G 没有度数为奇数的顶点. Hamilton （哈密顿）路经过图 G 的所有点恰好一次的一条路. Hamilton （哈密顿）图经过图 G 的所有点恰好一次的一个圈.存在 Hamilton（哈密顿）圈的图称之为是Hamilton 的. 点染色给图 G 的顶点染色，使得同一条边上两个顶点颜色不相同. 边

31、染色给图 G 的边染色，使得有公共顶点的边的颜色不相同. 例 1. 设图 G 的顶点数为n，对 G 中任意两个不相邻的顶点u 与 v，均有( )( )GGdudvn.证明：图 G 是 Hamilton 的 . 例 2. 在一个班上， 有(4)n n名学生， 在这个班里任何1n名学生都可以排成一圈，使得在这个圈上相邻的两个人是朋友，但所有n 名学生不能组成类似的圈.求 n 的最小值 . 例 3. 在一个图家中，一些城市通过道路相连.设 t 为满足“存在一座城市，可从它出发通过至多 t 条道路到达其任何一座城市”的最小正整数.证明：存在城市1221,tA AA使得对任何, i(121)jijt，当

32、且仅当1ij时，城市ijAA和城市有一条道路相连. 例 4. 在 80 个城市之间有两种方式的飞行航线被执行；任意一个城市至少和7 个城市有直航；任意两个城市可以通过有限次直航来连结.求最小的整数k，使得无论如何安排满足条件的航线，任何一个城市到任何其他城市最多可以经过k次直航到达 . 例 5. 考试有 n 个点的完全图.对该完全图的点和边按照如下的方式染色：（ 1）由同一点引出的两条颜色不同；（ 2）某一点的颜色与其所引出的边的颜色不同. 对每个固定的n，求所需颜色数的最小值. 例 6. 甲、乙是两家航空公司，已知A， B，C，D，E，F 这 6 个城市中每两个城市之间有且只有甲、乙两条航空公司的航线之一.证明：存在4 个城市，它们之间可以用同一航空公司的航线连成一个圈 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页