2022年高中数学基础基本知识点小结 .pdf

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1、基本知识篇一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：xyxlg|与xyylg|及xyyxlg|),(2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）

2、定义法； （2） 利用集合间的包含关系判断，若BA，则 A 是 B 的充分条件或B 是 A 的必要条件；若A=B ，则 A 是 B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系ABBA判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（ 1）含 n 个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为2n 1；（2）;BBAABABA（3）;)(,)(BCACBACBCACBACIIIIII二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知( )f x的定义域为 a，b,其复合函数fg(x) 的定义域由不等式ag(x)b 解出即可；若已知fg(x) 的定义域为 a

3、,b,求 f(x) 的定义域，相当于xa,b时，求 g(x)的值域（即f(x) 的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若 f(x) 是偶函数，那么f(x)=f( x)=)( xf; （2）若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则(0)0f（可用于求参数） ；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) f(-x)=0 或1)()(xfxf（f(x) 0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.

4、函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C1与 C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 C2上，反之亦然；（3）曲线 C1：f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线C2的方程为f(y a,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0); （4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（ a,b）的对称曲线C2方程为： f(2ax,2by)=0; （5）若函数y=f(x) 对 xR 时， f(a+x)=f(a x)恒成立，则y=f(x) 图像关于直线x=a 对

5、称；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页（6）函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=2ba对称；4.函数的周期性(1)y=f(x) 对 xR 时， f(x +a)=f(x a) 或 f(x2a )=f(x) (a0) 恒成立 ,则 y=f(x) 是周期为2a的周期函数；（2） 若 y=f(x) 是偶函数， 其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x) 是周期为2a的周期函数；（3）若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期为 4a的周期函数；（4）若 y=f(x) 关

6、于点 (a,0),(b,0) 对称，则f(x) 是周期为 2ba的周期函数；（5） y=f(x) 的图象关于直线x=a,x=b(a b)对称，则函数y=f(x) 是周期为2ba的周期函数；（6）y=f(x) 对 xR 时，f(x+a)= f(x)( 或 f(x+a)= )(1xf，则 y=f(x) 是周期为2a的周期函数；5.方程 k=f(x) 有解kD(D 为 f(x) 的值域 )；6.af(x) 恒成立a f(x)max,; af(x) 恒成立a f(x) min; 7.（ 1）naabbnloglog(a0,a1,b0,nR+); (2) l og a N=aNbbloglog( a0,

7、a1,b0,b1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a1,N0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数； （ 3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（ 4）周期函数不存在反函数； （5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x

8、) 与 y=f-1(x)互为反函数，设f(x) 的定义域为A，值域为B，则有 ff-1(x)=x(x B),f-1f(x)=x(x A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法： （1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式 (组)求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：( )( )( )0f ug x uh x(或( )00)()( )0f aaubf b（或( )0( )0f af b） ；14.掌握函数(

9、0);(0)ax bb acayab acyxax cx cx的图象和性质；函数cxacbacxbaxy(b ac0) 0(axaxy）定义域),(),(cc),0()0,(值域),(),(aa),22,(aa奇偶性非奇非偶函数奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页单调性当 b-ac0 时:分别在),(),(cc上单调递减；当 b-ac0,b0)时要符合“一正二定三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页相等”；注意均值不等式的一些变形，如22

10、22)2(;)2(2baabbaba；七、直线和圆的方程1.设三角形的三顶点是A（x1,y1） 、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则 ABC 的重心 G 为（3,3321321yyyxxx） ；2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；3.两条平行线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是2221BACCd；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件：A=C 0 且 B=0 且 D2+E24AF0 ；5.过圆 x2+y2=r2上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x0 x+y

11、0y=r2; 6.以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数； （3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式： 设 P （x0,y0） 为椭圆12222byax（ab0） 上任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则0201,exaPFexaPF（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)

12、,则:（1）当 P点在右支上时，0201,exaPFexaPF；（2）当 P点在左支上时，0201,exaPFexaPF； （e 为离心率）；另：双曲线12222byax（a0,b0）的渐近线方程为02222byax；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0) 上任意一点，F 为焦点，则20pxPF；y2=2px(p 0)上任意一点， F 为焦点，则20pxPF；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，0） ；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，

13、A、 B 两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长4)(1(1212212122xxxxkxxkAB4)()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为ab22，焦准距为p=cb2，抛物线的通径为2p，焦准距为 p; 双曲线12222byax（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b; 8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线 y2=2px(p0) 的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A（x1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论：精选学习资料 - - - - - -

14、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页（ 1）ABx1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=42p; 10.过椭圆12222byax（ab0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221xxeaAB，过右焦点的弦)(221xxeaAB；11.对于 y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（py220，y0）,以简化计算 ; 12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1， y1)、B(x2,y2)为椭圆12222byax（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是 AB 的中点，则KABKOM=22ab；对于双曲线12222byax（

15、a0，b0） ，类似可得： KAB.KOM=22ab；对于 y2=2px(p 0)抛物线有KAB212yyp13.求轨迹的常用方法：（1）直接法： 直接通过建立x、y 之间的关系， 构成 F(x,y) 0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示x1、y1，再将 x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定

16、义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（ x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。九、直线、平面、简单几何体1.从一点 O 出发的三条射线OA、OB、OC，若 AOB= AOC ，则点 A 在平面 BOC 上的射影在 BOC 的平分线上；2. 已知 :直二面角MABN 中，AE M，BFN,EAB=1,ABF=2，异面直线AE 与 BF 所成的角为，则;coscoscos213.立平斜公式： 如图，AB 和平面所成的角是1， AC 在平

17、面内， AC 和 AB 的射影 AB 成2，设 BAC=3,则 cos1cos2=cos3；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱

18、的垂线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别 :对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其

19、要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则 S侧cos=S底；9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有 cos2+cos2+cos2=

20、2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式： 如果简单多面体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.球的体积公式V=334R，表面积公式24 RS；掌握球面上两点A、B 间的距离求法：（ 1）计算线段AB 的长， （2）计算球心角AOB 的弧度数； (3)用弧长公式计算劣弧AB的长；十、排列组合二项式定理和概率1.排列数公式 :mnA=n(n-1)(n-2) (n-m1)=)!(!mnn(mn,m、nN*), 当 m=n 时为全排列nnA=n(n-1) 2 1; 2.组合数公式：(1)(

21、1)!(1) (2)3 2 1mmnnAnnnmCmmmm（mn）,10nnnCC；3.组合数性质：rnrnrnmnnmnCCCCC11;；4.常用性质： n.n!=(n+1)!-n!; 即;11nnnnnnAAnA;111rrrnrrrrCCCC（1rn）; 5.二项式定理： （1）掌握二项展开式的通项：);,.,2 ,1 ,0(1nrbaCTrrnrnr（2）注意第r1 项二项式系数与第r 1 系数的区别；6.二项式系数具有下列性质：(1)与首末两端等距离的二项式系数相等；(2)若 n 为偶数， 中间一项 （第2n1 项）的二项式系数最大；若 n 为奇数， 中间两项 （第21n和21n1

22、项）的二项式系数最大；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页（3）;2;213120210nnnnnnnnnnnCCCCCCCC7.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1); 奇数项系数和为)1()1 (21ff；偶数项的系数和为)1() 1(21ff；8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）mn； （2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)； （3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB) P(A)P(B) ； （4）独立重复试验概率公式Pn(k)=;)1 (knkknppC(5

23、)如果事件A、B 互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件； （6）如果事件A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是1P（ AB） 1P(A)P(B) ； （7）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B 至少有一个发生的概率是1 P（A?B）1P(A)P(B)；十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差1.掌握抽样的二种方法： （ 1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）； （2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频

24、率分布表和频率分布直方图；3.总体特征数的估计： （1）学会用样本平均数niinxnxxxnx1211)(1去估计总体平均数；（2）学会用样本)()()(1222212xxxxxxnSn)(1)(121221xnxnxxnniinii去估计总体方差2及总体标准差；十二、导数及应用1.导数的定义：f(x) 在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量);()(xfxxfy(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(;(3)取极限 ,得导数xyxfx0lim)(; 3.导数的几何意义：曲线yf（ x）在点 P（

25、 x0,f(x0)）处的切线的斜率是).(0 xf相应地，切线方程是);)(000 xxxfyy4.常见函数的导数公式：Q);(mmx)(x);(C01-mm为常数C5.导数的应用： （1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果,0)(xf那么 f(x) 为增函数；如果,0)(xf那么 f(x) 为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(xf那么 f(x) 为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号， 如果左正右负， 那么函数y=f(x) 在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x) 在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x) 在(a,b)内的极值；将y=f(x) 在各极值点的极值与f（a） 、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页