2022年高考圆锥曲线中的定点与定值问题 .pdf

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1、名师精编欢迎下载专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点 .过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点 . （）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2）【解析】 试题分析： （）设圆过椭圆的上、 下、右三个顶点， 可求得， 再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程； （）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。解得。椭圆的标准方程为. （）证明：

2、由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页名师精编欢迎下载要使其为定值，需满足，解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1) 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2) 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物线2:2Cypx（0,pp为常

3、数）交于不同的两点,M N，当12k时，弦MN的长为4 15. （1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1, 1B，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24yx; （2）直线NQ过定点1, 4【解析】试题分析： （1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（ 1）可设2221122,2,2,2MttN ttQ tt，则12MNktt，则11: 220MNxttytt；同理：22:220MQxttytt121 2:220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上11tt（1） ；由1, 1在直线MQ上222

4、20tttt将（ 1）代入1 21221t ttt（2）将（ 2）代入NQ方程12122420 xttytt，即可得出直线NQ过定点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页名师精编欢迎下载（2）设2221122,2,2,2MttN ttQ tt，则12211222=MNttktttt，则212:2MNytxttt即11220 xttytt；同理：22:220MQxttytt；121 2:220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上11tt，即11tt（1） ；由1, 1在直线MQ上22220tttt将（ 1）代入1

5、21221t ttt（2）将（ 2）代入NQ方程12122420 xttytt，易得直线NQ过定点1, 43 【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线2:0C ymx m过点1, 2，P是C上一点，斜率为1的直线l交C于不同两点,A B（l不过P点） ，且PAB的重心的纵坐标为23. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB的斜率分别为12,k k，求12kk的值 . 【答案】（1）方程为24yx; 其焦点坐标为1,0（2）120kk【解析】试题分析;（1）将1, 2代入2ymx，得4m，可得抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）设直线l的方

6、程为yxb，将它代入24yx得22220 xbxb（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB的重心的纵坐标23，化简可12kk的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页名师精编欢迎下载因为PAB的重心的纵坐标为23，所以122pyyy，所以2py，所以1px，所以1221121212122121221111yxyxyykkxxxx，又12212121yxyx12212121xbxxbx12122122x xbxxb22212220bbbb. 所以120kk. 4已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴端点到右焦

7、点1 0F，的距离为2（）求椭圆C的方程；（）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x：于点P，若1PAAF，2PBBF，求证：12为定值【答案】 (1) 22143xy;(2) 详见解析 . 【解析】试题分析： （）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. （）由题意直线AB过点1,0F，且斜率存在，设方程为1yk x, 将4x代人得P点坐标为4,3k，由221143yk xxy，消元得22223484120kxk xk，设11,A xy，22,B xy，则0且21222122834

8、41234kxxkkxxk，方法一：因为1PAAF，所以11141PAxAFx. 同理22241PBxBFx，且1141xx与2241xx异号，所以12121212443321111xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页名师精编欢迎下载1212123221xxx xxx222223 8682412834kkkkk0. 所以，12为定值0. 当121xx时，同理可得120. 所以，12为定值0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页

9、名师精编欢迎下载同理2223PBmyBFmy，且113mymy与223mymy异号，所以12121212123332yymymymymymy y36209mm. 又当直线AB与x轴重合时，120，所以，12为定值0. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一元二次方程， 利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点1,0F，在设方程时， 往往设为1xmy0m，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线C：24yx，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于,A B两点 . （1）设l的

10、斜率为1，求AB；（2）求证：OA OB是一个定值 . 【答案】 (1) 8AB（2）见解析【解析】试题分析： （1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出； （2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页名师精编欢迎下载（2）证明：设直线l的方程为1xky，由214xkyyx得2440yky124yyk，124y y1122,OAx yOBxy，1212121211OA OBx xy ykxkyy y，

11、212121222144143k y yk yyy ykk，OA OB是一个定值 . 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力, 直线方程设成1xky也给解题带来了方便. 6 【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆C: 22221(0,0)xyabab的离心率为63, 右焦点为 (2,0).(1)求椭圆C的方程 ; (2) 若过原点作两条互相垂直的射线, 与椭圆交于A,B两点 , 求证 : 点O到直线AB的距离为定值 . 【答案】 (1) 2213xy ,(2) O到

12、直线AB的距离为定值32. 【解析】试题分析： （1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页名师精编欢迎下载有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入 , 得 4 m2=3 k2+3 原点到直线AB的距离2321mdk， 当AB的斜率不存在时, 11xy , 可得 , 132xd依然成立 . 所以点O到

13、直线的距离为定值32 . 点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决7 【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二10 月月考】已知双曲线222210 xybaab渐近线方程为3yx，O为坐标原点，点3,3M在双曲线上（）求双曲线的方程；（）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OPOQ的值【答案】（）22126xy； （）221113OPOQ. 【解析】试题分析： （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可； （2）由 条 件 可 得OPOQ， 可 设

14、 出 直 线,OP OQ的 方 程 ， 代 入 双 曲 线 方 程 求 得 点,P Q的 坐 标 可 求 得221113OPOQ。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页名师精编欢迎下载（）由题意知OPOQ。设OP直线方程为ykx，由22126xyykx，解得222226363xkkyk，222222226 166|333kkOPxykkk。由OQ直线方程为1yxk. 以1k代替上式中的k，可得2222216 161|3113kkOQkk。2222222221113311+=36 16 16 1kkkkkkOPOQ。8

15、【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 22221(0)xyabab经过点P(2,1) ，且离心率为32（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OMNO，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】（1）22182xy； （2）直线AB过定点Q（0， 2）. 【解析】试题分析： （1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。精选学习资

16、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页名师精编欢迎下载x1+x2=2841ktk，x1x2=224841tk，又直线PA的方程为y1=1112yx（x2） ，即y1=1112kxtx（x2） ，因此M点坐标为（ 0，111222k xtx） ，同理可知：N（0，221222k xtx） ，当且仅当t= 2 时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0， 2）. 9 【广西桂林市第十八中学2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆2222:10 xyCabab的左，右焦点分别为12,FF. 过原点O的直线与椭圆交于,MN两点，点P是

17、椭圆C上的点，若14PMPNkk，110F N F M，且1F MN的周长为42 3. （1）求椭圆C的方程；（2） 设椭圆在点P处的切线记为直线， 点12,FFO在上的射影分别为,A B D， 过P作的垂线交x轴于点Q，试问12F AF BODPQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】 (1) 2214xy;(2)1. 【 解 析 】 试 题 分 析 ; （ 1 ） 设,M m n， 则,Nmn， 22221mnab， 设00,P xy，,APBPynynkkxmxm，以及14AMBMkk，224. 1ab，由110F N F M, 由椭圆的定 义 可 得2242 3.

18、 2ac， 结 合222. . 3abc， 综 合123可 得 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页名师精编欢迎下载224,1ab，可得椭圆C的方程；（2）由（ 1）知123,0 ,3,0FF，直线的方程为：0014x xy y，由此可得121F AF B. ，又PQ，PQ的方程为00004yyyxxx，可得03,04xQ则可得2200164xyPQ，又22004 116ODxy，1PQOD. ，故121F AF BODPQ. 当直线平行于x轴时，易知121F APQODF B，结论显然成立. 综上，可知12F

19、AF BODPQ为定值 1. 有12F NF M，则111222242 3. 2F NF MMNF NF Mcac222. 3abc，综合123可得：224,1ab椭圆C的方程为：2214xy. （2）由（ 1）知123,0 ,3,0FF，直线的方程为：0014x xy y即：00440 x xy y，所以0012222000034341616xxF Axyxy002222200003+4341616xxF Bxyxy2000122222200000343416311631616xxxF AF Bxxyxy. PQ，PQ的方程为00004yyyxxx，令0y，可得034xx，03,04xQ则2

20、2220022000001634164xyxxPQxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页名师精编欢迎下载又点O到直线的距离为22004 116ODxy，220022001641416xyPQODxy. 121F AF BODPQ. 当直线平行于x轴时，易知121F APQODF B，结论显然成立. 综上，121F AF BODPQ. 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大10 【云南省玉溪第一中学2018 届高三上学期第三次月考】在平面

21、直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点 ,O为坐标原点(1) 如果直线l过抛物线的焦点且斜率为1，求AB的值；（2）如果4OA OB，证明：直线l必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1）8； （ 2）证明见解析【解析】试题分析： （）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；（）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标令b24b 4，b24b

22、40，b2，直线l过定点 (2,0) 若 4，则直线l必过一定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 11 【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018 学年高二上学期期中】已知椭圆2222:10 xyCabab，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21，最小距离为21. （1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S的动直线l交椭圆C于,A B两点，试问：

23、在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页名师精编欢迎下载【答案】 (1) 椭圆方程为2212xy;(2) 以线段AB为直径的圆恒过点0,1Q. 当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为221xy. 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为0,1Q. 下面证明0,1Q为所求：若直线l的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l的斜率存在，设直线1:3lykx，1122,A x yB xy，QAQB，即以线段AB为直

24、径的圆恒过点0,1Q. 点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。12 【四川省成都市新津中学2018 届高三 11 月月考】 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且过点2,1. （1）求椭圆C的方程；（ 2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为22的直线1交椭圆C于,A B两点，求证：22PAPB为定值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

25、结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页名师精编欢迎下载【答案】（1）22142xy； （2）证明见解析. 【解析】试题分析： （1） 由椭圆的离心率22cea， 求得222ac， 由222abc， 得22bc， 将点2,1代入222212xybb，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）设,022P mm，直线l的方程是22yxm与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将22PAPB用m表示，化简后消去m即可得结果 . 2222222121211224,2mxxm x xPAPBxmyxmy222222112212115444xmxmxmxmxmxm22221212

26、1212125522222244xxm xxmxxm xxx xm22252454mmm（定值），22PAPB为定值 . 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题 . 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 13 【北京朝阳日坛中学2016-2017 学年高二上学期期中】已知椭圆2222:1(0)xyabab的离心率为23，半焦距为(0)c c，且1ac，经过椭圆的左焦点F，斜率为110kk的直线与椭圆交于A，B

27、两点，O为坐标原点（I）求椭圆的标准方程（II）设1,0R，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为2k，求证：12kk为定值【答案】（I）22195xy； （II）见解析 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页名师精编欢迎下载【解析】试题分析： （I）依题意 , 得231caac,再由222bac求得2b, 从而可得椭圆的标准方程; （II）设33,C xy，44,D xy，可求得直线的方程为1111yyxx, 与椭圆方程联立, 由韦达定理可求得2113145yy yx, 进一步可求111159

28、4,55xyCxx, 同理2222594,55xyDxx, 从而可得2k, 化简运算即可. 试题解析：（I）由题意，得231caac解得32ac，2225bac，故椭圆的方程为22195xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页名师精编欢迎下载点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立, ,a b c的方程，求出22,ab即可，注意222,cabcea的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率

29、是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,xxxx，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用14 【2017 2018 学年高中数学（苏教版）选修11 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x2 2的距离与点P到定点F(2，0)之比为2. (1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 若点N为轨迹C上任意一点 ( 不在x轴上 ) ，过原点O作直线AB，交 (1) 中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1k2是否为定值？【答案】 (1) 22142xy (2) k1k212【解析】试题分

30、析： （1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程 （2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1k212证明原式试题解析：(1) 设点P(x，y) ，依题意，有. 整理，得1. 所以动点P的轨迹C的方程为1. (2) 由题意，设N(x1，y1) ，A(x2，y2)，则B( x2，y2) ，1，1.k1k2，为定值15 【河北省鸡泽县第一中学2017-2018 学年高二10 月月考】 如图，已知椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为1,0F，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且3A

31、B(1) 求椭圆C的标准方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页名师精编欢迎下载(2) 若M，N为椭圆上异于点A的两点， 且直线,AMAN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】 (1) 22143xy;(2) 12. 试题解析 : （1）由题意可知1c，令xc，代入椭圆可得2bya，所以223ba，又221ab，两式联立解得：224,3ab，22143xy . 又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以k代替k，可得精选学习资料 - - - - - - -

32、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页名师精编欢迎下载22412334Nkkxk，32NNykxk, 所以直线MN的斜率212MNMNMNMNMNk xxkyykxxxx，即直线MN的斜率为定值，其值为12. 点睛 : 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用16 【北京市西城鲁迅中学20

33、16-2017 学年高二上学期期中】过点0,1M且与直线:1ly相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A，B（A在y轴的右侧）为曲线E上的两点，点0,(0)Ptt，且满足(1)ABPB（）求曲线E的方程（）若6t，直线AB的斜率为12，过A，B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程（）分别过A，B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与QA QB均为定值【答案】 (1) 24xy (2) 22323125222xy (3) 见解析【解析】试题分析： （1）由抛物线定义得曲线E为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，

34、再利用导数求出在点A处的切线的斜率，则得圆心与A连线的直线方程，设圆一般式方程， 利用三个条件解方程组得圆N的方程 （3） 设211,4xA x，222,4xB x，, 1Q a，则 利 用 导 数 求 出 在 点A处 的 切 线 的 斜 率 ， 利 用 点 斜 式 写 出 切 线 方 程211240 xax， 同 理 可 得222240 xax，即得2240 xax两根为12,x x，利用韦达定理化简直线AB斜率得2a，即得AB方程为12ayx，因此1t，再根据向量数量积可计算得QA QB=0 由242120 xyxy，得6,9A，4,4B精选学习资料 - - - - - - - - - 名

35、师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页名师精编欢迎下载24xy，即214yx，12yx抛物线24xy在点A处切线的斜率1632y圆C的方程为2222323323442222xy，整理得22323125222xy（）设211,4xA x，222,4xB x，, 1Q a，过点A的切线方程为211142xxyxx，即211240 xax，同理得222240 xax，122xxa，124x x，又22121212444ABxxxxkxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页名师精编欢迎下载整理得

36、22248421104aaa，t与QA QB均为定值点睛： 1. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立,k b等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关17 【南宁市2018 届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为. （l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜

37、率分别为，求证：为定值 . 【答案】 (1)；(2) 证明见解析 . 【解析】 试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数， 可求得抛物线方程。 （ 2）由（ 1）知抛物线的方程，及，设过点的直线的方程为, 代入得, 由韦达定理可求得为定值上。（2）点在抛物线上，且. ，设过点的直线的方程为，即，代入得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页名师精编欢迎下载设，则，所以. 18如图，椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点） ，判断直线与

38、的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由【答案】（1） （）斜率之和为定值【解析】（1）根据题意知：，结合，解得：，椭圆的方程为：从而直线，的斜率之和：故直线、斜率之和为定值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页名师精编欢迎下载点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗

39、漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用19 【广西柳州市2018 届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点4,Pm到焦点的距离为5. （1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点,4M t，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是否过定点？并说明理由. 【答案】（1）24yx. （2）8, 4【解析】试题分析：(1) 求出抛物线的焦点坐标, 结合题意列关于p的等式求p, 则抛物线方程可求; (2) 由(1) 求出M的坐标 , 设出直线DE的方程xmyt

40、 , 联立直线方程和抛物线方程, 化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积, 利用0MD ME得到t与m的关系 , 进一步得到DE方程 , 由直线系方程可得直线DE所过定点 . （2）由（ 1）可得点4,4M，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：xmyt，联立24xmytyx，得2440ymyt，则216160mt.设1122,D xyE xy，则12124,4yym y yt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页名师精编欢迎下载62 21tm，即48tm或44tm，代人式检验均满足0，直线D

41、E的方程为：4848xmymm y或44xm y. 直线过定点8, 4（定点4,4不满足题意，故舍去）. 点睛 : 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离( 抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离) 进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化20 【 云 南 省 昆 明 一 中2018届 高 三 第 一 次 摸 底 测 试 】 已 知 动 点,Mxy满 足 ：2222112 2xyxy. （1）求动点M的轨迹E

42、的方程；（2） 设过点1,0N的直线l与曲线E交于,A B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标. 【答案】（1）2212xy； （2）直线过定点2,0，证明见解析. 【解析】试题分析： （1）动点M到点1 , 0P，1 , 0Q的距离之和为2 2，且2 2PQ，所以动点M的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨迹E的方程； （2）直线l的方程为：1yk x，由22112yk xxy得2222124220kxk xk， ，根据韦达定理可得1221212x yx yxx，直线BC的方程为21212yyyxxx，即可证明其过定点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页名师精编欢迎下载所以2122412kxxk，21222212kx xk，直线BC的方程为：212221yyyyxxxx，所以2112212121yyx yx yyxxxxx，令0y，则12121212122121121222222kx xk xxx xxxx yx yxyyk xxkxx，所以直线BC与x轴交于定点2,0D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页