2022年高中数学经典高考难题集锦 .pdf

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1、第1页共 27页2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷一选择题共11 小题1 2014?湖南假设0 x1x2 1，则Alnx2lnx1 B lnx2 lnx1Cx2 x1Dx2x12 2005?天津假设函数fx=loga x3ax a0，a 1在区间内单调递增，则a的取值范围是ABC D3 2009?上海函数的反函数图象是ABCD4 2008?天津设 a1，假设对于任意的x a，2a，都有 y a，a2满足方程 logax+logay=3，这时 a 的取值集合为Aa|1a 2 Ba|a 2 Ca|2 a 3 D 2，3 5 2005?山东 0a1，以下不等式一定成立的是A|log1

2、+a1a|+|log1a1+a|2；B|log1+a1a|log1a1+a|；C|log1+a1a+log1a1+a|log1+a1 a|+|log1a1+a|；D|log1+a1a log1a1+a|log1+a1a|log1a1+a| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页第2页共 27页6 2005?天津设f1x是函数 fx =axax a1的反函数，则使f1x1 成立的 x 的取值范围为A ，+B ，C ，a Da，+7 2004?天津函数 1 x 0的反函数是ABCD8 2004?江苏设k1，fx=kx1 x

3、 R 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=fx的图象与x 轴交于 A 点，它的反函数y=f1 x的图象与y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于P点已知四边形OAPB 的面积是 3，则 k 等于A3 BCD9 2006?天津已知函数y=fx的图象与函数y=axa0 且 a 1的图象关于直线y=x对称，记gx =fx fx+f2 1假设 y=gx在区间上是增函数，则实数 a 的取值范围是A2，+B 0，11，2CD10 2011?湖北 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量M单位：太贝克与时间t单位

4、：年满足函数关系：Mt=M0，其中 M0为 t=0 时铯 137的含量已知t=30 时，铯 137 含量的变化率是10In2太贝克 /年 ，则 M60=A5 太贝克B75In2 太贝克C150In2 太贝克 D150 太贝克11 2014?湖南某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为ABC D 1 二填空题共12 小题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页第3页共 27页12 2013?北京函数的值域为13 2011?湖北里氏震级M 的计算公式为：M=

5、lgA lgA0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅A0为 0.001，则此次地震的震级为级；9 级地震的最大的振幅是5 级地震最大振幅的倍14 2007?上海函数的反函数是15 2006?江苏不等式的解集为16 2005?北京设函数fx=2x，对于任意的x1，x2 x1 x2 ，有以下命题 fx1+x2=fx1?f x2 ； fx1?x2=f x1+fx2 ；其中正确的命题序号是17 2004?广东函数的反函数 f1x =18 2011 秋?岳阳楼区校级期末已知0a1，0b1，如果1，

6、那么x 的取值范围为19 2005?天津设，则的定义域为20 2008?天津设a1，假设仅有一个常数c 使得对于任意的x a，2a，都有 y a，a2满足方程logax+logay=c，这时 a的取值的集合为21 2002?上海已知函数y=fx 定义域为D，值域为A有反函数y=f1 x ，则方程 fx=0 有解 x=a，且 fx xx D的充要条件是y=f1x满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页第4页共 27页22 2013?上海对区间I 上有定义的函数gx ，记 gI=y|y=g x ，x I 已知定义域为 0

7、，3的函数 y=fx有反函数y=f1 x ，且 f10，1 =1 ，2 ，f1 2，4=0，1 假设方程fx x=0 有解 x0，则 x0=23 2004?湖南假设直线y=2a 与函数 y=|ax1|a0 且 a 1的图象有两个公共点，则a 的取值范围是三解答题共7 小题24 2014 秋?沙河口区校级期中21、 设的大小，并证明你的结论25解不等式26 2006?重庆已知定义域为R 的函数是奇函数 求 a，b 的值； 假设对任意的t R，不等式ft22t+f2t2k 0 恒成立，求k 的取值范围27如果正实数a，b 满足 ab=ba且 a1，证明 a=b28 2011?上海模拟已知n 为自然

8、数，实数a1，解关于x 的不等式29 2010?荔湾区校级模拟fx=lg，其中 a 是实数， n是任意自然数且n 2 如果 fx当 x ，1时有意义，求a 的取值范围； 如果 a 0，1，证明 2fx f2x当 x 0 时成立30 2010?四川设，a0 且 a 1 ， gx是 fx的反函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页第5页共 27页 设关于 x 的方程求在区间 2，6上有实数解，求 t 的取值范围； 当 a=e，e 为自然对数的底数时，证明：； 当 0a 时，试比较 |与 4 的大小，并说明理由精选学习资料

9、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页第6页共 27页2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题共11 小题1 2014?湖南假设0 x1x2 1，则Alnx2lnx1 B lnx2 lnx1Cx2 x1Dx2x1考点 ：对数的运算性质专题 ：导数的综合应用分析：分别设出两个辅助函数fx=ex+lnx ，gx=，由导数判断其在0，1上的单调性，结合已知条件0 x1x2 1 得答案解答：解：令 fx=ex lnx，则 fx=，当 x 趋近于 0 时， xex10，当 x=1 时， xex10，因此在

10、 0，1上必然存在f x=0，因此函数fx在 0，1上先递减后递增，故A、B 均错误；令 gx=，当 0 x1 时， g x 0gx在 0，1上为减函数，0 x1x21，即选项 C 正确而 D 不正确故选： C点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页第7页共 27页2 2005?天津假设函数fx=loga x3ax a0，a 1在区间内单调递增，则a的取值范围是ABC D考点 ：对数函数的单调性与特殊点专题 ：计算题；压

11、轴题分析：将函数看作是复合函数，令 gx=x3 ax，且 g x0，得 x ，0，+ ，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“ 同增异减 ”求得结果解答：解：设 gx=x3ax，gx 0，得 x ，0，+ ，g x =3x2a， x ，0时， gx递减，x ，或 x ，+时， gx递增当 a1 时，减区间为，0 ，不合题意，当 0a1 时， ，0为增区间 a ， 1故选 B点评：此题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域3 2009?上海函数的反函数图象是ABCD考点 ：反函数；函数的图象专题 ：常规题型；压轴题精选学习资料 - - - - -

12、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页第8页共 27页分析：先画出条件中函数式的图象，再将其图象作关于直线 y=x 对称的图象即得解答：解：作出函数的图象，如图，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称，函数的反函数图象是：C故选 C点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、 函数的图象等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题4 2008?天津设 a1，假设对于任意的x a，2a，都有 y a，a2满足方程 logax+logay=3，这时 a 的取值集合为Aa|1a 2 Ba|a 2 Ca|2 a 3 D 2，3 考点 ：幂函数的

13、实际应用专题 ：压轴题分析：先由方程 logax+logay=3 解出 y，转化为函数的值域问题求解解答：解：易得，在 a，2a上单调递减，所以，故? a 2 故选 B点评：此题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大注意函数和方程思想的应用5 2005?山东 0a1，以下不等式一定成立的是A|log1+a1a|+|log1a1+a|2；B|log1+a1a|log1a1+a|；C|log1+a1a+log1a1+a|log1+a1 a|+|log1a1+a|；D|log1+a1a log1a1+a|log1+a1a|log1a1+a| 考点 ：对数函数的单调性与特殊点专

14、题 ：计算题；压轴题分析：用特殊值法，来排除不成立的选项即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页第9页共 27页解答：解：取满足题设的特殊数值a= ，log1+a1 a=1，0 log1a1+a =2=1，检验不等式 B ， C ， D均不成立，故选 A 点评：此题主要考查客观题的解法，可灵活选择方法，如特殊法，验证法，数形结合法等，解题不但灵活，而且效率很高6 2005?天津设f1x是函数 fx =axax a1的反函数，则使f1x1 成立的 x 的取值范围为A ，+B ，C ，a Da，+考点 ：反函数专题 ：压

15、轴题分析：此题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性；首先由函数fx=axax a1求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将ax看作整体解出，然后由f1x 1 构建不等式解出即可解答：解：由题意设y=axax整理化简得a2x2yax1=0，解得：ax0，x=logay+f1 x=logax+由使 f1x 1 得 logax+ 1 a1， x+a 由此解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页第10页共 27页故选 A 点评：此题虽为小题，看似简单，实际上综合性强，用到多

16、方面的知识和方法，更需要一定的运算能力；尤其在求x 时难度大些，不仅要用换元思想把ax看作整体求解，还要根据范围舍去7 2004?天津函数 1 x 0的反函数是ABCD考点 ：反函数专题 ：计算题；压轴题；方程思想分析：解方程，根据 x 的范围，求出x 的值，然后x，y 互换，求出函数的反函数解答：解：函数，可得 x21=log3y x2=1+log3y， 1 x0，所以函数 1 x0的反函数是：故选 D点评：此题考查反函数的求法，考查就是能力，是基础题8 2004?江苏设k1，fx=kx1 x R 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=fx的图象与x 轴交于 A 点，它的反函数y=f1 x的图

17、象与y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于P点已知四边形OAPB 的面积是 3，则 k 等于A3 BCD考点 ：反函数专题 ：计算题；压轴题分析：先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x 对称， 从而两个函数的图象交于P 点必在直线y=x 上且 A，B 两点关于y=x 对称，利用四边形OAPB的面积 =AB OP，求得 P3，3从而求得k 值解答：解：根据题意画出图形，如图由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x 对称，所以这两个函数的图象交于P 点必在直线y=x 上且 A，B 两点关于y=x 对称，AB OP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

18、纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页第11页共 27页四边形 OAPB 的面积 =AB OP=OP=3，OP=3P3， 3代入 fx=kx1得：k=故选 B点评：此题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题9 2006?天津已知函数y=fx的图象与函数y=axa0 且 a 1的图象关于直线y=x对称，记gx =fx fx+f2 1假设 y=gx在区间上是增函数，则实数 a 的取值范围是A2，+B 0，11，2CD考点 ：指数式与对

19、数式的互化；反函数专题 ：压轴题分析：先表述出函数fx的解析式然后代入将函数g x表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案解答：解：已知函数y=fx的图象与函数y=axa0且 a 1的图象关于直线y=x 对称，则 fx=logax，记 gx=fxfx+f2 1=logax2+loga21logax当 a1 时，假设 y=gx在区间上是增函数， y=logax 为增函数，令 t=logax，t ，loga2，要求对称轴，矛盾；当 0a1 时，假设 y=gx在区间上是增函数， y=logax 为减函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

20、 11 页，共 27 页第12页共 27页令 t=logax，t loga2，要求对称轴，解得，所以实数a 的取值范围是，故选 D点评：此题主要考查指数函数与对数函数互为反函数这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1 时单调递增， 当底数大于0 小于 1 时单调递减10 2011?湖北 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量M单位：太贝克与时间t单位：年满足函数关系：Mt=M0，其中 M0为 t=0 时铯 137的含量已知t=30 时，铯 137 含量的变化率是10In2太贝

21、克 /年 ，则 M60=A5 太贝克B75In2 太贝克C150In2 太贝克 D150 太贝克考点 ：有理数指数幂的运算性质专题 ：计算题；压轴题分析：由 t=30 时，铯 137 含量的变化率是10In2太贝克 /年 ，先求出 Mt=M0，再由 M30=M0=10ln2，求出 M0，然后能求出M60的值解答：解： M t=M0，M30 =M0=10ln2，M0=600故选 D点评：此题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用11 2014?湖南某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为ABC D 1 考点 ：有

22、理数指数幂的化简求值专题 ：函数的性质及应用分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论解答：解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页第13页共 27页则 a1+p 1+q=a1+x2，解得 1+x=，即 x=1，故选： D点评：此题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决此题的关键，比较基础二填空题共12 小题12 2013?北京函数的值域为 ，2考点 ：对数函数的值域与最值；函数的值域专题 ：函数的性质及应用分析：通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函

23、数的值域，然后取并集得到原函数的值域解答：解：当 x 1 时， fx=；当 x1 时， 0fx=2x21=2所以函数的值域为，2 故答案为，2 点评：此题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集是基础题13 2011?湖北里氏震级M 的计算公式为：M=lgA lgA0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅A0为 0.001，则此次地震的震级为6级； 9 级地震的最大的振幅是5 级地震最大振幅的10000倍考点 ：对数的运算性质专题 ：计算题；压轴题分析：根据题意中的假设，可

24、得M=lgA lgA0=lg1000 lg0.001=6；设 9 级地震的最大的振幅是 x，5 级地震最大振幅是y，9=lgx+3 ，5=lgy+3 ，由此知 9 级地震的最大的振幅是5 级地震最大振幅的10000 倍解答：解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则 M=lgA lgA0=lg1000lg0.001=3 3=6设 9 级地震的最大的振幅是x，5 级地震最大振幅是y，9=lgx+3 ，5=lgy+3 ，解得 x=106， y=102，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

25、第 13 页，共 27 页第14页共 27页故答案为： 6，10000点评：此题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用14 2007?上海函数的反函数是考点 ：反函数专题 ：压轴题；函数的性质及应用分析：由原函数的分段解析式分别解出自变量x 的解析式， 再把 x 和 y 交换位置， 注明反函数的定义域即原函数的值域，最后再写成分段函数的形式即可解答：解：y=x2+1x 0 ，x=，y 1，故 y=x2+1x 0的反函数为y=x 1 ，同样地， y=x0的反函数为y= x0 ，函数的反函数是故答案为：点评：此题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域

26、15 2006?江苏不等式的解集为考点 ：对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法专题 ：计算题；压轴题分析：由不等式=log28 知 0，由此可得到所求的解集解答：解：，0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页第15页共 27页解得故答案：点评：此题考查对数函数单调性和不等式的解法，解题时要注意公式的灵活运用在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律，异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦 一般在数的比较大小中有如下几种方法：1作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1

27、 比较大小；2找中间量，往往是 1，在这些数中，有的比1 大，有的比1 小； ， 3计算所有数的值； 4选用数形结合的方法，画出相应的图形；5利用函数的单调性等等16 2005?北京设函数fx=2x，对于任意的x1，x2 x1 x2 ，有以下命题 fx1+x2=fx1?f x2 ； fx1?x2=f x1+fx2 ；其中正确的命题序号是考点 ：指数函数的图像与性质专题 ：压轴题分析：根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对进行逐一进行判定即可解答：解：=，所以对于 成立，+，所以对于 不成立，函数 fx=2x，在 R 上是单调递增函数，假设 x1 x2则 fx1 f x2 ，则，假设

28、x1 x2则 fx1 f x2 ，则，故 正确说明函数是凹函数，而函数fx=2x是凹函数，故 正确故答案为： 点评：此题考查指数函数的性质，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页第16页共 27页要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质17 2004?广东函数的反函数f1x=e2x+2exx R考点 ：反函数专题 ：计算题；压轴题分析：欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函数的解析式解答：解：，x=e2y+2ey，x，y 互换，得

29、y=e2x+2exx R 故填： e2x+2exx R 点评：此题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系18 2011 秋?岳阳楼区校级期末已知0a1，0b1，如果1，那么x 的取值范围为3，4考点 ：指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点专题 ：计算题；压轴题；转化思想分析：根据条件 0 a1，0b1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x 的取值范围解答：解： 0a1，0b1，如果 1，logbx30，0 x31，3x4，故答案为：3，4 点评：此题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，表达了等价转化的

30、数学思想19 2005?天津设，则的定义域为 4， 11，4考点 ：对数函数的定义域专题 ：计算题；压轴题分析：对数的真数大于0，求出定义域，然后使有意义建立方程组，解答即可解答：解：要使函数有意义，则解得 x 2，2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页第17页共 27页要确保两个式子都要有意义，则? x 4， 11，4故答案为： 4， 11，4点评：此题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题20 2008?天津设a1，假设仅有一个常数c 使得对于任意的x a，2a，都有 y a，a2满足方

31、程logax+logay=c，这时 a的取值的集合为2考点 ：对数的运算性质；函数单调性的性质专题 ：计算题；压轴题分析：由 logax+logay=c 可以用 x 表达出 y，转化为函数的值域问题求解解答：解：logax+logay=c，=c xy=ac得，单调递减，所以当x a，2a时，所以，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2+loga2=3，解得 a=2，所以 a 的取值的集合为2 故答案为： 2 点评：此题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力21 2002?上海已知函数y=fx 定义域为D，值域为A有反函数y=f1 x ，则方程 fx=0 有解 x=a，且 fx xx

32、D的充要条件是y=f1x满足f10=a，且 f1 x x x A /y=f1x 的图象在直线y=x 的下方， 且与 y 轴的交点为 0， a 考点 ：反函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：综合题；压轴题分析：利用函数与反函数图象关于直线y=x 对称，由fa=0 可得 f10=a；由 fxxx D可得f1x x，x A解答：解：因为函数与反函数图象关于直线y=x 对称， fx=0 有解 x=a，故 f10=af x xx D ，f1x x，x A即 y=f1x的图象在直线y=x 的下方，且与y 轴交与点 0， a ，故答案为： f10=a，f1x x，x A或y=f1x的图象在直线y

33、=x 的下方，且与y 轴交与点 0，a 点评：此题考查函数与反函数的图象间的关系，反函数的定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页第18页共 27页22 2013?上海对区间I 上有定义的函数gx ，记 gI=y|y=g x ，x I 已知定义域为 0，3的函数 y=fx有反函数y=f1 x ，且 f10，1 =1 ，2 ，f1 2，4=0，1 假设方程fx x=0 有解 x0，则 x0=2考点 ：反函数；函数的零点专题 ：压轴题；函数的性质及应用分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x 0，1时，

34、 x 1， 2时 fx的值域，进而可判断此时fx=x 无解；由fx在定义域 0，3上存在反函数可知： x 2，3时， fx的取值集合，再根据方程fx =x 有解即可得到x0的值解答：解：因为 g I=y|y=g x ，x I， f10，1 =1，2 ，f12，4=0，1 ，所以对于函数f x ，当 x 0，1时， fx 2，4，所以方程fx x=0 即 fx=x 无解；当 x 1，2时， fx 0，1 ，所以方程fx x=0 即 fx=x 无解；所以当 x 0，2时方程 fx x=0 即 fx =x 无解，又因为方程fx x=0 有解 x0，且定义域为0，3，故当 x 2，3时， f x的取值

35、应属于集合，01，24，+ ，故假设 fx0=x0，只有 x0=2，故答案为： 2点评：此题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题23 2004?湖南假设直线y=2a 与函数 y=|ax1|a0 且 a 1的图象有两个公共点，则a 的取值范围是0a考点 ：指数函数的图像与性质；指数函数综合题专题 ：作图题；压轴题；数形结合分析：先分： 0 a1 和 a1 时两种情况，作出函数y=|ax1|图象，再由直线y=2a 与函数 y=|ax1|a0 且 a 1的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解解答：解： 当 0a 1时，作出函数y=|ax1|图象：假设直线y=2

36、a 与函数 y=|ax1| a0 且 a 1的图象有两个公共点由图象可知02a1，0a ：当 a 1 时，作出函数y=|ax1|图象：假设直线y=2a 与函数 y=|ax1| a0 且 a 1的图象有两个公共点由图象可知02a1，此时无解综上： a 的取值范围是0a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页第19页共 27页故答案为： 0a点评：此题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法三解答题共7 小题24 2014 秋?沙河口区校级期中21、 设的大小，

37、并证明你的结论考点 ：对数的运算性质；对数值大小的比较专题 ：压轴题分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案解答：解：当 t0 时，由基本不等式可得，当且仅当t=1 时取 “ =” 号t 1 时，当 0a1 时， y=logax 是单调减函数，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页第20页共 27页当 a1 时，y=logax 是单调增函数， ，即点评：此题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1 时函数单调递增，当底数大于0 小于 1 时函数单调递减25解不等式考点 ：对数函数的单调性与特殊点；其他不

38、等式的解法专题 ：计算题；压轴题分析：等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组解答：解：原不等式等价于当 x0 时，上述不等式组变成解得：当 x0 时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为点评：对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页第21页共 27页26 2006?重庆已知定义域

39、为R 的函数是奇函数 求 a，b 的值； 假设对任意的t R，不等式ft22t+f2t2k 0 恒成立，求k 的取值范围考点 ：指数函数单调性的应用；奇函数专题 ：压轴题分析：利用奇函数定义，在f x=f x中的运用特殊值求a， b的值；首先确定函数fx的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式ft22t+f2t2 k 0 转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围解答：解： 因为 fx是奇函数，所以f0=0，即又由 f1= f 1知所以 a=2，b=1经检验 a=2， b=1 时，是奇函数由 知，易知 fx在 ，+上为减函数又因为 fx是奇函数，所以 ft22t+f

40、2t2 k 0 等价于 ft22t f2t2k=fk2t2 ，因为 fx为减函数，由上式可得：t22tk2t2即对一切t R 有： 3t2 2t k0，从而判别式所以 k 的取值范围是k点评：此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略27如果正实数a，b 满足 ab=ba且 a1，证明 a=b考点 ：对数函数图象与性质的综合应用专题 ：证明题；压轴题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页第22页共 27页分析：这道题可以有三种不同的证明方法证法一的思路：由ab=ba，得 bl

41、na=alnb，从而，考虑函数，它的导数是然后根据函数的单调性用反证法进行证明证法二的思路是因为0a1， ab=ba，所以 blogaa=alogab，即然后根据对数函数的性质用反证法进行证明证法三的思路是假设ab，则可设 b=a+ ，其中 0 由于 0a 1， 0，根据幂函数或指数函数的性质用反证法进行证明解答：证一：由ab=ba，得 blna=alnb，从而考虑函数，它的导数是因为在 0，1内 fx 0，所以 fx在 0， 1内是增函数由于 0a1， b0，所以 ab1，从而 ba=ab1由 ba1 及 a0，可推出 b1由 0a1，0b1，假设 a b，则根据 fx在 0，1内是增函数，

42、得 fa fb ，即，从而 ab ba这与 ab=ba矛盾所以 a=b 证二：因为0a1，ab=ba，所以 blogaa=alogab，即假设 ab，则，但因 a1，根据对数函数的性质，得矛盾所以 a不能小于b 假设 ab，则，而 logab1，这也与矛盾所以 a不能大于b，因此 a=b 证三：假设a b，则可设b=a+ ，其中 0 由于 0a1， 0，根据幂函数或指数函数的性质，得a1 和，所以，即 abba这与 ab=ba矛盾，所以a 不能小于b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页第23页共 27页假设 ba

43、，则 ba 1，可设 a=b+ ，其中 0，同上可证得abba这于 ab=ba矛盾，所以a 不能大于b 因此 a=b 点评：反证法是证明的一种重要方法，一题多证、 举一反三能够有效地提高我们的证明能力28 2011?上海模拟已知n 为自然数，实数a1，解关于x 的不等式考点 ：对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法专题 ：计算题；压轴题；分类讨论分析：利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n 是偶数，奇数分类解不等式，即可解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为logax4?+12?+n 2n1?=1 2+4+ 2n1logax =logax 故原不等式可化为logaxlogax

44、2a 当 n 为奇数时，0，不等式 等价于logaxlogax2 a 因为 a1， 式等价于因为0，=，所以，不等式 的解集为 x|x当 n 为偶数时，0，不等式 等价于logaxlogax2 a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页第24页共 27页因为 a1， 式等价于或因为，所以，不等式 的解集为 x|x 综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是x| ；当 n 为偶数时，原不等式的解集是x| 点评：此题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题29 2010?荔湾区校级模拟fx

45、=lg，其中 a 是实数， n是任意自然数且n 2 如果 fx当 x ，1时有意义，求a 的取值范围； 如果 a 0，1，证明 2fx f2x当 x 0 时成立考点 ：对数函数图象与性质的综合应用专题 ：计算题；压轴题分析： 、fx当 x ，1时有意义的条件是1+2x+ +n 1x+nxa0，x ，1，n 2，即，然后由函数的单调性求实数a 的取值范围 、欲证如果a 0，1，证明 2fxf2x当 x 0 时成立，只需证明n 2 时，1+2x+ +n1x+nxa2n1+22x+ +n12x+n2xa，a 0，1，x 0 即可得证解答：解： f x当 x ，1时有意义的条件是1+2x+ +n1x+

46、nxa 0，x ，1，n 2，即，上都是增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页第25页共 27页在 ，1上也是增函数，从而它在x=1 时取得最大值所以，等价于，故 a 的取值范围是 a|a证明：只需证明n 2 时， 1+2x+ +n 1x+nxa2n1+22x+ +n 12x+n2xa，a 0，1， x 0a1+a2+ +an2=a12+a22+ an2 +2a1a2+a2a3+ +an1an a12+a22+ an2+a12+a22+ +a12+an2 +a22+a32+ +a22+an2+ + an22+

47、an12+an22+an2+an12+an2=na12+a22+ +an2 于是 a1+a2+ +an2 na12+a22+ +an2当 a1=a2= =an时成立利用上面结果知，当a=1，x 0 时，因 1 2x，所以有 1+2x+ +n1x+nxa2n1+22x+ +n12x+n2xa，a 0， 1，当 0a1，x 0 时，因 a2a，所以有 1+2x+ +n1x+nxa2n1+22x+ +n12x+n2xa，即有 2fx f2xa 0，1，x 0点评：此题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，防止不必要的错误30 2010?四川设，a0 且

48、a 1 ， gx是 fx的反函数 设关于 x 的方程求在区间 2，6上有实数解，求 t 的取值范围； 当 a=e，e 为自然对数的底数时，证明：； 当 0a 时，试比较 |与 4 的大小，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页第26页共 27页考点 ：反函数；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的极值；不等式专题 ：计算题；综合题；压轴题；转化思想分析：求出 gx ，在2，6上有实数解，求出 t 的表达式，利用导数确定t 的范围；a=e 求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；利用放缩法，求出|

49、的取值范围，最后推出小于4 即可解答：解： 1由题意，得ax=0 故 gx=，x ， 11，+由得 t=x127x ，x 2，6则 t =3x2+18x 15=3x1 x5列表如下：x 2 2，5 5 5， 66t + t 5 递增极大值 32 递减25 所以 t最小值=5，t最大值=32 所以 t 的取值范围为 5，325 分=ln=ln令 uz= lnz2=2lnz+z，z0 则 uz=12 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页第27页共 27页所以 uz在 0，+上是增函数又因为10，所以 u u1=0 即 ln0 即9 分3设 a=，则 p 1，1 f1= 3，当 n=1 时， |f1 1|= 24，当 n 2 时，设 k 2，k N*时，则 fk=，=1+所以 1fk 1+，从而 n1 n1+=n+1 n+1，所以 nf1 +n+1 n+4，综上所述，总有|n|4点评：本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页