2022年高中数学解题方法之分离变量法 .pdf

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1、别离变量法别离变量法是近年来发展较快的思想方法之一. 高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系. 其中与二次函数相关的充分表达数形结合及分类思想方法的题目最为常见. 与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用别离变量, 使得做题的正确率大大提高. 随着别离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 别离变量法：是通过将两个变量构成的不等式( 方程 ) 变形到不等号( 等号 ) 两端，使两端变量各自相同, 解决有关不等式恒成立、不等式存在有解和方程有解中参数取值范围的一种方法 . 两个变量，其中一个范围已知，另一个范

2、围未知.解决问题的关键: 别离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题. 别离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x的范围，求a的范围：定理 1不等式( )( )f xg a恒成立min( )( )f xg a求解( )f x的最小值；不等式( )( )f xg a恒成立max( )( )f xg a求解( )f x的最大值 . 定理2不等式( )( )f xg a存在解max( )( )f xg a求解( )f x的最大值；不等式( )( )f xg a存在解min( )( )f xg a即求解( )fx的最小值 . 定理 3方程( )( )f xg a有解

3、( )g a的范围( )f x的值域求解( )f x的值域 . 解决问题时需要注意： 1确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；2确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组：1、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范围。2、假设 f(x)=233xx在 1,4x上有( )21f xxa恒成立，求a 的取值范围。3、假设 f(x)=233xx在 1,4x上有2( )251f xxaa恒成立，求a 的取值范围。4、假设方程42210 xxa有解，请求a 的取值范围5、已知3211132yxaxx是(0,)上的单调递增函数，则a的取值范围是.0A a.22B

4、a.2C a.2D a6、求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。再现性题组答案：1、解：原不等式4sincos25xxa当 xR时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)，设f(x)= 4sinx+cos2x则22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx1) +3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页a+53a0)，则21210221tatatat5、解：210yxax在(0,)上恒成立1axx在(0,)上恒成立2a6、解：由于函43,44),4si

5、n(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。示范性题组：例 1. 已知函数21,(0,1fxxaxx, 且| 3fx恒成立 , 求a的取值范围 . 【分析】法一( 二次函数): 问题转化为不等式组2213,(0,113xaxxxax恒成立2( )1f xxax在(0,1x上的最大值与最小值以对称轴与定义域端点进行比较分类 , 研究单调性 . 正确率较低 . 法二 ( 别离变量 ): 问题转化为2242xxaxx在(0,1x上恒成立 ( 除x时注意符号 ), 由定理 1 得22maxmin42xxaxx. 求相应函数最值, 正确率较高 . 例 2. 已知函数.ln)(),0(221)

6、(2xxgaxaxxf假设)()()(xgxfxh存在单调递增区间，求a的取值范围 . 【分析】问题转化为221( )0axxh xx在0 x上有解 , 即2210axx在0 x上有解 . 解： 法一 ( 二次函数 ): 此题(0)10f, 分类是只需注意开后和轴, 较为简捷 . 正确率不高 ,原因在于没有注意特殊点, 将问题分为1 解 ,2 解, 想得过于复杂. 法二 ( 别离变量): 问题转化为212xax在0 x上有 ( 存在 ) 解由定理1.2得2min12xax. 求解相应范围上的最小值, 正确率较高 . 例 3. 已知a是实数， 函数2( )223.f xaxxa如果函数( )yf

7、 x在区间 1,1上有零点，求a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页【分析】方法一 ( 根的分布 ): 这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向, 判别式 , 对称轴 ,特殊点的函数值. 解题时需要分为大3 类, 小 5 类. 学生能够部分得分, 很难列出所有不等式组. 方法二 ( 别离变量 ): 问题转化为22230axxa在 1,1x上恒有解别离变量得23221xax,2222 1,)(,)(,12222x有解由定理1.3 得只需求函数232( )21xg xx在2222 1,)

8、(,)(,12222x上的值域即可, 22单独考虑 . 此法思维两较小, 运算量较二次函数略大, 得分率略有增加. 通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到 ,别离变方法的优越性:思维量小 ,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处 :个别时候 ,别离后产生的函数 ,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说 ,多数时候 ,应优先使用别离变量法。例 4、已知函数3( )31f xxax的导函数为/( )fx，/( )( )3g xfxax. 1假设/( )60 x gx对一切2x恒成立，求实数a的取值范围；2假设对满足01a的一切a的值，都有( )0g x，求实数x的

9、取值范围 . 解： 1/22( )33( )333fxxag xxaax/( )6gxxa即2660 xax对一切2x恒成立即66axx对一切2x恒成立记6( )6h xxx，则在2x上( )ah x恒成立，/26( )6hxx在2x上恒大于0，6( )6h xxx在2x上单调递增，min( )(2)15h xh15a2即2( )333g xxaax对一切01a恒成立假设3x，则2( )333240g xxaax不满足x假设3x，则2333xax对一切01a恒成立23311033xxx假设3x，则2333xax对一切01a恒成立223303303xxx11xx综上所述：103x稳固性题组：1、

10、已知函数lg2afxxx，假设对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页2、已知,1x时，不等式21240 xxaa恒成立，求a的取值范围。3、已知函数32( )24f xxxx,2( )7g xxax. 假设对任意的0,)x都有( )( )fxg x，求实数a的取值范围 . 4、设函数321( )(1)4243f xxa xaxa，其中常数aR. 1当1a时，求函数( )f x的单调区间；2假设3x时，( )0fx恒成立，求实数a的取值范围。5、在ABC中，已知2|)(|,2co

11、s)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数 m的范围。6、求使不等式3sincos ,(,)44axx x恒成立的实数a 的范围。7、设124( )lg,3xxaf x其中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围。8、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页别离变量法稳固训练题答案：1、解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，即：23axx在2,x上恒成立，设23fxx

12、x，则23924fxx当2x时，max2fx所以2a2、解：令2xt，,1x0,2t所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出21tftt在0,2t上的最小值即可。22211111124tf ttttt11,2tmin324ftf2313422aaa3、解：( )( )fxg x即223417xxxax2248axxx假设0 x，则08恒成立，aR假设0 x，则824axx，88242 2412xxxx又，12a综上所述：12a4、解：12( )2(1)4(2)(2 )fxxa xaxxa，又1a，由( )0fx得：(,2)(2 ,)xa，由( )0fx得22xa

13、，因此( )f x的单调增区间有(,2)与(2 ,)a，( )f x的单调减区间有(2, 2 )a23x时，( )0fx恒成立3x时，22(1)40 xa xa恒成立。3x时，(2)(2 )0 xxa恒成立3x时，2ax恒成立，3232aa5、解 : 1 ,0(sin,0, 1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf， 3, 1 ()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3, 1(m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6、解：由于函sincos2sin()

14、,(0,)442axxxx，令xxycossin，则由于xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a7、解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义1240 xxa，对(,1)x恒成立 . 212(22)4xxxxa(.1)x恒成立。令2xt，2( )()g ttt又(.1)x则1(,)2t( )ag t对1(,)2t恒成立，又( )g t在1,)2t上为减函数，max13( )()24tgg，34a。8、分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212axxa对于任意0,1x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：( )f x是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立212axxa对于任意0,1x恒成立210 xaxa对于任意0,1x恒成立，令2( )1g xxaxa，0,1x，所以原问题min( )0g x，又min(0),0( )(), 2022,2gaag xgaa即2min1,0( )1, 2042,2aaag xaaa易求得1a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页