2022年高中数学函数的单调性最值和极值 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法. 难度值控制在0.3 0.6 之间 . 考试要求：了解函数单调性的概念, 掌握判断简单函数的单调性的方法；了解函数单调性与导数的关系；能求函数的最大（小）值；掌握用导数研究函数的单调性. 题型一已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值. 例 1 设函数axxaxxf2)2(

2、36)(23. （1）若)(xf的两个极值点为21, xx且121xx，求实数a的值；（2）是否存在实数a，使得)(xf是(,)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 点拨因为是三次函数，所以只要利用“极值点0)(xf的根”，转化为一元二次方程根的问题；利用)(xf在(,)上单调)(xf0（ 0） ，转化为判断一元二次函数图像能否在x轴上方的问题 . 解2( )186(2)2fxxaxa（1）由已知有12()()0fxfx，从而122181ax x, 所以9a；（ 2）由2236(2)4 18 236(4)0aaa，得( )0fx总有两个不等的实根，( )f x不恒大于零，所以

3、不存在实数a，使得( )f x是R上的单调函数 . 易错点三次函数的极值点21, xx与原函数)(xf的导数关系不清；含参变量a的问题是逆向思维，学生易出现错误；学生不会将)(xf在(,)上是单调函数的问题转化为( )0(0)fx恒成立问题 . 变式与引申1： (20XX 年高考江西卷理) 设( )f xxxax（1）若( )f x在(,）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当a时，( )f x在 , 上的最小值为，求( )f x在该区间上的最大值题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围. 例 2 已知函数32( )(1) (2)()f xxa xa axb abR

4、，（1）若函数( )f x的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3 ，求a，b的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）若函数( )f x在区间（1，1）上至少有一个极值点，求a的取值范围点拔： 第（ 1）问利用已知条件可得00,(0)=0ff，求出a，b的值 . 第（ 2）问利用“极值点( )0fx”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析：（1）由函数( )fx的图像过原点，得0b，又2( )32(1)(2)fxxa xa a，( )f x在原点处的切线斜率是3，则(2

5、)3a a，所以3a，或1a（2）法一：由( )0fx，得1223axax，又( )f x在( 1,1)上至少有一个极值点，即1123aaa，或211323aaa，解得1112aa，或5112aa，所以a的取值范围是115122，法二：2( )32(1)(2)fxxa xa a, 由题意( )0fx必有一根在 (-1,1)上, 故(-1)(1)0ff, 即22(54)(1)0aaa, 解得51a；或(-1)=0f，则1a，当1,(1)0af（舍去），当1a时，经检验符合题意；同理(1)=0f，则15a或，经检验，均不符合题意，舍去. ( )0fx有两个不同的根在(-1,1)上故(-1)0(1)

6、00ff解得：111122aa或所以，a的取值范围115122，.易错点： 解不等式( )0fx出错；第（ 2）问的解法一，不易分析.；第（ 2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思变式与引申2：将（ 2）中改为“( )f x在区间 （1，1）上有两个极值点”，或改为“( )f x存在极值点，但在区间（1，1）上没有极值点”，如何求a的取值范围？题型三函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题例 3 设函数2132( )xf xx eaxbx，

7、已知2x和1x为( )f x的极值点（1）求a和b的值；（2）讨论( )fx的单调性；（3）设3223( )g xxx，试比较( )f x与( )g x的大小点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数( )f x与( )g x的大小，可构造新函数( )( )( )F xf xg x，再通过分析函数( )F x的单调性来讨论( )F x与 0 的大小关系 .解（1）因为122( )e(2)32xfxxxaxbx1e(2)(32 )xxxxaxb，又2x和1x为( )f x的极值点，所以( 2)(1)0ff，因

8、此6203320abab，解方程组得13a，1b（2）因为13a，1b，所以1( )(2)(e1)xfxx x，令( )0fx，解得12x，20 x，31x因为当(2)x，(0 1)，时，( )0fx；当( 2 0)(1)x，时，( )0fx所以( )f x在( 2 0)，和(1)，上是单调递增的；在(2)，和(0 1)，上是单调递减的（3）由（1）可知21321()e3xfxxxx，故2132()()()e(e)xxF xf xg xxxxx，令1( )exh xx，则1( )e1xh x令( )0h x，得1x，因为1x，时，( )0h x，所以( )h x在1x，上单调递减故1x，时，(

9、 )(1)0h xh；因为1x，时，( )0h x，所以( )h x在1x，上单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思故1x，时，( )(1)0h xh所以对任意()x，恒有( )0h x，又20 x，因此( )( )( )0F xf xg x，故对任意()x，恒有( )( )f xg x易错点求导数时，21()xx e易出错；比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申3：将第（ 3）问改为：设322(

10、)3g xxx，试证( )f x( )g x恒成立本节主要考查： （1）用导数研究函数单调性, 极值； （2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题； （3）方程与函数的转化, 方程思想和函数思想综合应用；（4）数形结合思想 . 点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；（2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；（3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值. 需灵活应运用函数与

11、方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等. 习题 13 1. 已知：函数)9(11)90(log)(3xxxxxf， 若a，b，c均不相等， 且)()()(cfbfaf，则cba的取值范围是（）.A)9, 0(.B)9,2(.C)11,9(.D)11, 2(2. 已知函数)()(xgxf与的定义域均为非负实数集，对任意的0 x，规定)()(xgxf的最大值为是若)()(,52)(,3)(),(),(minxgxfxxgxxfxgxf . 3. 已知函数32( )331.f xxaxx（1）设2a，求( )f x的单调区间；（2）设( )f x在区间 (2,3)上不单调，求a的取值范围

12、. 4. 已知函数( )f xx，( )ln,g xax aR. （I ）若曲线( )yf x与曲线( )yg x相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（II ）设函数( )( )( )h xf xg x，当( )h x) 存在最小值时，求其最小值( )a的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（III）对（ 2）中的( )a，证明：当(0,)a时，( )a1. 5. 设函数xbxxfln) 1()(2，其中b为常数（1）当21b时，判断函数( )fx在定义域上的单调性；（2）0b时，求( )fx的极值点；（3）求证对任意不小于3 的正整数n，不等式21ln)1ln(nnn都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页