2022年高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法 .pdf

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1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2bxc0(0)或 ax2bxc0(0)(其中 a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b24ac 0 0 0)的根有两相异实根x1，x2，(x1x2) 有两相等实根x1x2b2a没有实数根二次函数y ax2bxc (a0)的图象ax2bxc0(a0)的解集x|xx2 x

2、|xb2aRax2bxc0)的解集x|x1x0；(2)x27x6. (3)(2x)(x3)x(4x)解： (1)方程 x2 5x6 0的两根为x1 1，x26. 结合二次函数yx25x 6 的图象知，原不等式的解集为x|x6 (2)原不等式可化为x27x60. 解方程 x27x60 得， x11，x26. 结合二次函数yx27x 6 的图象知，原不等式的解集为x|1x0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页方程 (x2)(x3)0 两根为 2 和 3. 结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为 x|x

3、2(4)由原不等式得8x2 8x44xx2. 原不等式等价于9x212x40. 解方程 9x212x 40，得 x1 x223. 结合二次函数y9x212x4 的图象知，原不等式的解集为 x|x23. 题型二、解含参数的一元二次不等式【例 2】解关于 x 的不等式x2(1a)xa0. 解方程 x2(1a)xa0 的解为 x1 1，x2a，函数 yx2(1a)xa 的图象开口向上，则当a 1 时，原不等式解集为 x|ax 1；当 a 1 时，原不等式解集为?；当 a 1 时，原不等式解集为x|1xa 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)假设二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0 与

4、小于 0 进行讨论；(2)假设求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)假设求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论【对点训练】2解关于x 的不等式： ax2(a1)x10(aR)解： 原不等式可化为：(ax1)(x1)0，当 a0 时， x1，当 a0 时 x1a(x1)0 1ax 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页当 a 1 时， x 1，当 1a0 时， x1a(x 1)0， x1a或 x 1. 当 a 1 时，1a1， x1 或 x1a，综上原不等式的解集是：当 a0 时， x|x

5、 1 ；当 a0 时， x|1ax 1 ；当 a 1 时， x|x1；当 1a0 时，x|x1或x1a. 当 a 1 时， x|x1a或x1 ，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例 3】已知关于x 的不等式x2axb0 的解集为 x|1 x2，求关于 x 的不等式bx2ax 10 的解集解 x2axb0 的解集为 x|1x2， 1,2 是 x2axb0 的两根由韦达定理有a12，b 12，得a 3，b2，代入所求不等式，得2x23x1 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页由 2x23x10? (2x1

6、)(x1)0? x12或 x1. bx2ax1 0 的解集为，12 (1， )【类题通法】1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bx c0 的根，也是函数yax2 bxc 与 x 轴交点的横坐标2二次函数yax2bx c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0 的 x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2bx c0 的 x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化【对点训练】3已知方程ax2bx2 0 的两根为12和 2. (1)求 a、b 的值；(2)解不等式ax2bx10. 解： (1)方程ax2bx20 的两根为12和 2，由根

7、与系数的关系，得122ba，1222a.解得 a 2， b3. (2)由(1)知， ax2bx10 可变为 2x23x10，即 2x23x10，解得12x1. 不等式 ax2bx 10 的解集为 x|12x1 【练习反馈】1不等式x(2x) 0 的解集为 () A x|x0Bx|x 2 C x|x2 或 x0 Dx|0 x2 解析： 选 D原不等式化为x(x2)0，故 0 x 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页2已知集合Mx|x23x280 ，Nx|x2x60，则 MN 为() A x|4x 2 或 3x7 B

8、 x|4x 2 或 3x7 C x|x 2 或 x3 D x|x 2 或 x3 解析： 选 A Mx|x23x 280 x|4x7，N x|x2 x60 x|x 2 或 x3 ， MN x|4x 2 或 3x73二次函数yx24x3 在 y0 时 x 的取值范围是 _解析： 由 y0 得 x24x 30， 1x3 答案： (1,3) 4假设不等式ax2bx20 的解集为x|12x2 ，则实数a_，实数b_. 解析： 由题意可知12， 2是方程 ax2bx2 0的两个根由根与系数的关系得12 2ba，12 22a，解得 a 2， b3. 答案： 23 5解以下不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解： (1)原不等式可化为x27x 120，因为方程x2 7x120 的两根为x13，x2 4，所以原不等式的解集为x|3x 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式 48 40，方程 x22x20 无实根，而抛物线y x2 2x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页