2022年高中数学极值点偏移问题 .pdf

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1、极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移俗称峰谷偏问题的定义对于可导函数 y = f(x) 在区间 a,b上只有一个极大小值点?0,方程 f( x) = 0(f(x)=m)的解分别为 ?1,?2且a ?1 ?0?2 ?0,则称函数f(x)在区间 a,b上极值点 ?0左偏移；（2）?1+?22 ?0,则称函数f(x)在区间 a,b上极值点 ?0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数 y = f(x) 在区间a,b上只有一个极大 小值点 ?0,方程 f(x) = 0（f( x) = m) 的解分别为 ?1,?2且a ?1?2b.（1）假设 f(?1) ?(2?0- ?2)则

2、?1+?22 ?0即函数 f(x)在区间a,b 上极大值点 ?0右偏； 即峰偏右（2）假设 f(?1) ?0即函数 f(x)在区间上 a,b 极小值点 ?0左偏 ; 即谷偏左（3）假设 f(?1) ?(2?0- ?2)则?1+?22 ?0即函数 f(x)在区间上 a,b 极大值点 ?0左偏 ; 即峰偏左（4）假设 f(?1) ?(2?0- ?2)则?1+?22 ?0即函数 f(x)在区间上 a,b 极小值点 ?0右偏 ; 即谷偏右x=?1+?22x=?1+?22y=mxy=f(x)x=?0 x=?0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

3、 页，共 8 页拓展：1） 假设)()(xbfxaf，则)(xf的图象关于直线2bax对称；特别地，假设)()(xafxaf或 f(x)=f(2a-x) ，则)(xf的图象关于直线ax对称2） 假设函数f(x)满足 ?x (0, a)有以下之一成立：f(x)在(0, a)递增，在 (a,2a)递减 ,且 f(a-x)f(a+x)(f(x)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减 ,在(a,2a)递增 ,且 f(a-x)()f(2a-x)则函数 f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移 (偏对称 )(俗称峰谷偏函数)其中极大值左偏或右偏也称峰偏左或右极小值偏左或偏右也称谷偏左或右；性质：1

4、) )(xf的图象关于直线ax对称假设 ?1,?2(0,2?)?1?2则?1+ ?2= 2? f(?1) =?(?2),( ?( ?1) + ?(?2)=0,?(?1+?22) = 0); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏峰偏左 假设 ?1,?2(0,2?)?1 ?2则f( ?1) = ?(?2)则?1+ ?2 2a,及?(?1+?22) 0极值点偏移解题步骤：求函数f(x)的极值点 ?0； 构 造 函 数F(x)=f(x+ ?0)-f( ?0- ?) (F(x)=f( ?0- ?)-f( ?0+ ?), F(x)=f(x+ 2?0)-f( -?), F(x)=f(x)-f(2?0-?) )

5、确定 F(x)单调性结合 F(0)=0F(-?0)=0,F(?0) = 0) 判断 F(x)符号从而确定f(x+?0),f(?0-?) ( f(x+2?0)与 f(-?);f(x)与 f(2?0- ?) ）的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足 f( ?1) = ?(?2),?0为函数 y=f(x)的极值点 ,求证： ?1+ ?2F(0)=0，从而得到x0 时 f(x+?0)f(?0- ?)1. 2016 年全国 I 高考已知函数有两个零点 . 设 x1，x2是的两个零点，证明：+x21 时，f(x)g(x) ( ) 如果12,xx且12()(),f xf x证明122xx证明：由题意

6、可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)2xe令 F(x)=f(x)-g(x),即2( )(2)xxF xxexe于是22( )(1)(1)xxF xxee当 x1 时，2x-20, 从而2x-2e10,0,Fxe又所以(x)0, 从而函数F x在1,+) 是增函数。又 F(1)=-1-1ee0，所以 x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). ) 证明：1假设121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x则与矛盾。2假设121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x得与矛盾。根据 1 2得1212(1)(1)0,1

7、,1.xxxx不妨设由可知，)2f(x)2g(x, 则)2g(x=)2f(2-x，所以)2f(x)2f(2-x, 从而)1f(x)2f(2-x. 因为21x，所以221x，又由可知函数f(x) 在区间 - ， 1内事增函数，所以1x22x, 即12xx2. 3. 已知函数 I讨论的单调性；II 设，证明：当时，；III 假设函数的图像与x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为x0，证明：xaaxxxf)2(ln)(2)(xf0aax10)1()1(xafxaf)(xfy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页x

8、0 0解： Ii假设单调增加 .ii 假设且当所以单调增加，在单调减少 . II 设函数则当.故当，8 分III 由 I可得，当的图像与x 轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由 II 得从而由 I知，f( )(0,),f x 的定义域为1(21)(1)( )2(2).xaxfxaxaxx0,( )0,( )(0,)afxf x则所以在10,( )0,afxxa则由得11(0,),( )0,( )0.xfxxfxaa时当时1( )(0,)f xa在1(,)a11( )()(),g xfxfxaa3222( )ln(1)ln(1)2,2( )2.111g xaxaxaxaaa xg xaa

9、xaxa x10,( )0,(0)0,( )0 xgxgg xa时而所以10 xa时11()().fxfxaa0,( )ayfx时 函数0a( )fx11(),()0.ffaa且1212121(,0),(,0),0,0.A xB xxxxxa则111211()()()0.fxfxf xaaa1221021,.2xxxxxaa于是0()0.fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页4已知函数 f(x) = xlnx -12?2-?(mR)假设 f(x) 有两个极值点?1,?2且?1 ?25. 已知函数 f(x) =?- ?

10、(aR)假设 f(x) 有两个不同零点?1,?2且 ?1 2?1+ ?2 2?1?2 1已知函数 f( x) =?- ? + ? (aR) ，其图象与轴交于A( ?1,0)B( ?2,0)两点且 ?1 ?2，求证： ?(?1?2) 1)假设 f(x) 有两个不同零点?1,?2且?1 ?2求证： ?1+ ?2 07. 已知函数 f(x) =a -1?-?(aR)假设 f(x)有两个不同零点?1,?2且?1 ?2求证： 2 ?1+?2 3?-1-18. 已知函数 f(x) =xlnxf(?1) = f( ?2)且0 ?1 ?2 1求证 :2? ?1+ ?2 11 ?1+?22 ?9已知函数 f(x

11、) =ln x -?(aR)假设 f(x)有两个不同零点?1,?2且?1 ?210. 已知函数 f( x) =x - ? (? 0) f(?1) = f(?2) = 0 且?1 ?2求证 :?1?2 ?11. 已知函数 f( x) =?- ? - ? (a,b R)假设 f(x) 有两个不同零点?1,?2且?1 ?2求证： ?1?2 013. 已知函数 f( x) =alnx-?2(aR)令 g(x) = f(x) + ax,g(x)在(0,3)单调递增求a 范围 ;当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与轴交于A(?1,0)B(?2,0) 且0 ?1 0, 0 且 满足 +

12、= 1证明 :?(?1+ ?2) 1 时讨论 f(x) 的单调性，并确定其极值;假设对 ?x ?, ?2都有 f(x) 4lnx,求 k 范围 ;假设 ?1?2且 f(?1) = f( ?2)证明： ?1?2 0)讨论 f(x)的单调性 ;f(x) 的极值点为 ?假设存在 ?1,?2(0, +)且?1?2求证 : ?1+ ?2 2?;16. 已知函数 f( x) = ?2- 1 + ?( 1 - ? ), (aR);讨论 f(x)的单调性 ; 假设 f(x) 存在两个极值点?1,?2，?1?(?2)?1;17. 已知函数 f( x) = x + alnx 与 g(x)=3 -?在(1,1)处有

13、相同切线；假设 y=2(x+n) 与 y=f(x) 图象有两个交点,求 n 范围；假设 F( x) = 3 (x -?2) +?2? ( ? ) - 2? ( ? ) 有两个极值点 ?1,?2， ?1 ?2证明：F( ?2) ?2- 1；18. 已知函数 g(x) = -a?2+ (2 - ?)? + ?, (aR)讨论 f(x)的单调性 ;假设 f(x)=g(x)+(a+1) ?2- 2? 有两个不同零点?1,?2, 证明： ?(?1+?22) 0;19. 已知函数 g( x) = x ?(2-?) ?, (aR);讨论 g(x)的单调性 ;假设f(x)=lng(x) -a?2与 y=m,(

14、mR)图象有两个交点A、B,线段 A、B 中点为 ? ，证明：?(?) 0;20. 已知函数 f( x) = a?32-?-23图象的一条切线为x 轴；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页求 a 值；令 g(x)=|? ( ? ) + ?(?)|假设存在不同?1,?2满足 g(?1) = g(?2),证明 : ?1?2 121. 已知函数F(x)与 f(x)=lnx 关于直线y=x 对称；假设 xf(x) ax - 1对?x (0, +)恒成立 ,求 a 最大值；设 f(x) ?F(x) = 1在 (1,+ )的实根为

15、 ?，m(x) = ?( ? ) (1?) 假设在区间(1,+)上存在 m(?1) = m(?2),求证：?1+?22 ?22已知函数 f(x) = ?-12?2-?, (aR)；假设函数f(x) 的图象在x=0 处的切线方程为y=2x+b, 求 a,b的值假设函数f(x)在 R 上单调递增，求实数a 的取值范围；如果函数g(x)=f(x)-(a-12)?2恰有两个不同的极值点?1,?2,证明 :?1+?22 ln2a;23已知函数 f(x) = ?2-(a-2)x-alnx (aR)；讨论 f(x)的单调性 ;设函数 g( x) = -?3- ?2+ ? -?24假设 ?, (0, a】使得

16、 |? (? ) -?(?) | 024. 已知函数 f( x) =?+1+ ? (?,? 为常数 ) ，在 x = 1 处的切线方程为x + y -2 = 0假设 ?x 1?,1使得对 ?t 12,2上 f(x) ?3- ?2-2? + 2恒成立求实数a 的取值范围；假设 g(x)=f(x) -ax-2?+1 (a R) 有两个不同零点?1,?2,求证： ?1?2 ?2;25已知函数 f(x) = -?2- ? + 2?;当 a 3时讨论 y=f(x) 在12,+上的单调性；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页y=f(x) 有两个不同零点?1,?2,且?1 ?2求证： ?(?1+2?23) 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页