2022年高中数学解题技巧复习教案集合的概念与运算 .pdf

《2022年高中数学解题技巧复习教案集合的概念与运算 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学解题技巧复习教案集合的概念与运算 .pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一讲集合的概念与运算【考点透视】1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2了解空集和全集的意义. 3了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合4解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|x P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有 A=或 A两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】题型 1 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集

2、合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合 M=y|y=x2 1,x R,N=y|y=x1,x R ，则 M N= （ ）A（ 0，1），（ 1，2）B（0，1），（ 1，2） C y|y=1, 或 y=2 Dy|y 1思路启迪：集合M、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对 (x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2 1(x R)，y=x1(x R)的值域，求M N 即求两函数值域的交集解： M=y|y=x2 1,xR=y|y 1 ， N=y|y=x 1,xR=y|y R M N=y|y 1y|yR=y|y 1,应选 D点评：本题求M N ，经常发生解方程组21,1.yxyx0

3、,1,xy得1,2.xy或从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M、N 的元素是数而不是点，因此M、 N 是数集而不是点集 集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x2 1、 y|y=x21,xR 、 (x,y)|y=x2 1,x R ，这三个集合是不同的例 2.若 P=y|y=x2,x R ， Q=y|y=x2 1,xR ，则 PQ 等于（）APBQ CD不知道思路启迪： 类似上题知P 集合是 y=x2（x R）的值域集合， 同样 Q 集合是 y= x21 （ xR）的值域集合，这样PQ 意义就明

4、确了解：事实上， P、 Q 中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2 1 的值域，由 P=y|y0,Q=y|y 1，知 QP，即 PQ=Q应选 B例 3. 若 P=y|y=x2,x R ，Q=(x ，y)|y=x2,x R ，则必有（）AP Q=BPQ CP=Q DPQ 思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q集合是 y=x2,x R 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物解：正确解法应为：P 表示函数y=x2 的值域， Q 表示抛物线y=x2 上的

5、点组成的点集，因此 P Q=应选A例 4 若032| 1|22xxxBxxA，则BA= （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页A3 B1 CD1 思路启迪：|1,1 |1,3,1 .Ax xxBx xxAB，解：应选 D点评：解此类题应先确定已知集合题型 2集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例 5. 若 A=2 ，4,a32a2a7,B=1,a1,a22a2,12(a

6、2 3a8),a3a23a7，且 A B=2 ，5 ，则实数 a的值是 _解答启迪： AB=2 ，5，a32a2a7=5,由此求得a=2 或a=1 A=2,4,5 ，集合 B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当a=1 时，a22a2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1当a=1 时， B=1,0,5,2,4 ，与 A B=2，5 相矛盾，故又舍去a=1当a=2 时， A=2 ，4， 5,B=1,3,2,5,25 ，此时 A B=2，5，满足题设故a=2 为所求例 6. 已知集合A=a,ab, a2b ，B=a,ac, ac2 若 A=B ，则 c 的值是 _思路启迪

7、： 要解决 c的求值问题， 关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式解：分两种情况进行讨论（1）若ab=ac 且a2b=ac2，消去 b 得：aac22ac=0，a=0 时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0 c22c1=0，即 c=1，但 c=1 时， B 中的三元素又相同，此时无解（2）若ab=ac2 且a2b=ac，消去 b 得： 2ac2aca=0， a0 ， 2c2c1=0，即 (c1)(2c1)=0，又 c1 ，故 c=12点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验

8、和修正例 7.已知集合 A=x|x2 3x2=0,B=x|x2 axa1=0 ， 且 AB=A ， 则 a的值为 _思路启迪：由AB=ABA而推出 B 有四种可能，进而求出a的值解： AB=A ，,BA A=1 ，2 ， B=或 B=1 或 B=2 或 B=1 ，2若 B=，则令 0 得aR 且a2 ，把 x=1 代入方程得aR，把 x=2 代入方程得a=3综上a的值为 2 或 3点评：本题不能直接写出B=1 ，a1，因为a1 可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况题型 3要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，

9、是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视 反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去例 8.设集合A=a|a=3n 2,nZ ，集合B=b|b=3k 1,kZ ，则集合A、 B 的关系是_解：任设aA，则a=3n2=3(n1)1(n Z)， nZ, n1Z.aB,故AB又任设bB，则b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ, k1Z. bA，故BA由、知A=B 点评：这里说明

10、aB 或 b A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理例 9 若 A、B、C 为三个集合，CBBA，则一定有（）A . CAB .ACC .CAD . A考查目的 本题主要考查集合间关系的运算. 解：由ABBC知，,ABB ABCABC，故选 A. 例 10设集合1,2A,则满足1,2,3AB的集合 B 的个数是（）A . 1 B .3 C .4 D . 8 考查目的 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：1,2A，1,2,3AB，则集合 B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合1,2A的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224个 .故选

11、 C. 例 11记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x的解集为Q（I）若3a，求P；（II ）若QP，求正数a的取值范围思路启迪：先解不等式求得集合P和Q解：（ I）由301xx，得13Pxx（II ）1102Qx xxx由0a，得1Pxxa，又QP，所以0a，即a的取值范围是(2)，题型 4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然， 空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误例 12. 已知A=x|x2 3x 2

12、=0,B=x|ax2=0 且 AB=A ，则实数a组成的集合C 是_解：由 x23x 2=0 得 x=1 或 2当 x=1 时，a=2，当 x=2 时，a=1这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合， 实际上， B=时，仍满足 AB=A ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页当a=0 时， B=，符合题设，应补上，故正确答案为C=0 ，1，2 例 13已知集合|1Axxa ，2540Bx xx若AB，则实数a的取值范围是思路启迪：先确定已知集合A 和 B解：|111 ,Axxax axa+25404,1 .B

13、x xxx xx14,11.23.aax故实数a的取值范围是(2 3)，例 14. 已知集合A=x|x2 (m2)x1=0,xR ，若AR=，则实数m 的取值范围是_思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于 x 的实系数一元二次方程x2(m 2)x1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由AR=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围解：由 AR=又方程 x2(m2)x1=0 无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，2240,20,mm或=(m2)240解得 m 0或 4m 4点评：此题容易发生的错误是由AR=只片面地推出方程只有两个负根

14、（因为两根之积为 1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言例 15.已知集合A=x|x2 3x100，集合B=x|p 1x2p1若 BA，则实数p的取值范围是 _解：由 x23x 100 得 2x5欲使 BA，只须2133.215ppp p 的取值范围是3p3上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设应有：当B时，即 p12p 1p2 由 BA 得： 2p 1 且 2p15 由 3p3 2 p3.当 B=时，即 p12p1p2由、得： p3 点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过

15、程中要全方位、多角度审视问题题型 5要注意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解例 16.设全集 U=x|0 x0 ，求 AB 和 AB解： A=x|x2 5x60=x|6x1 ，B=x|x2 3x0=x|x0 如图所示， A B=x| 6x1 x|x0=R A B=x|6 x 1 x|x0=x| 6x 3，或 0 x 1 点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果例18.设 A=x| 2x1 ， B=x|x2 ax b 0 ，已

16、知AB=x|x 2 ，A B=x|1x 3，求a、 b的值思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答解：如图所示，设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B 覆盖住集合 x| 1x 2，且 AB=x|1x 3根据二次不等式与二次方程的关系，可知1 与 3 是方程 x2axb=0 的两根，a=(13)=2， b=(1) 3=3点评： 类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果【专题训练】一.选择题 : 1设 M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10) ，则 a 与 M 的关系是（）A、a=M B、Ma C、aM D、

17、Ma 2已知全集U=R，A=x|x-a|2，B=x|x-1| 3 ，且 A B=，则a的取值范围是（）0，2 B、（ -2，2）C、（ 0，2 D、（ 0， 2）3已知集合M=x|x=a2-3a+2，aR ，N=x|x=b2-b ， bR ，则 M，N 的关系是（）MN B、MN C、 M=N D、不确定4设集合A=x|x Z 且-10 x-1，B=x|x Z，且 |x|5 ，则 AB 中的元素个数是（）A、11 B、10 C、 16 D、15 5集合 M=1 ， 2，3，4，5的子集是（）A、15 B、16 C、 31 D、32 6. 集合 M=x|x=42kx,kZ,N=x|x=42k,k

18、Z, 则( ) A. M=N B. MN C. MN D. M N=7. 已知集合A=x|x2 4mx2m 6=0,xR ，若 AR ，求实数m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页8 命题甲：方程x2mx 1=0 有两个相异负根；命题乙：方程4x2 4(m 2)x1=0 无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围9. 已知集合A=x| 2x7,B=x|m+1x2m1 且 B,若 AB=A ，则 ( ) A. 3m4 B. 3m4C.2m4 D.22 使命题乙成立的条件是：2=16(m2)2160，

19、 1m3 集合 B=m|1m2 m|m1或 m 3=m|m3；若为（ 2），则有： BCRA=m|1m3 m|m2=m|1m2;综合（ 1）、（ 2）可知所求m 的取值范围是 m|1m 2，或 m 39.D 解析 : AB=A ， BA,又 B, 12171221mmmm，即 2m4. 10.C 11.D 12.B 13.D 14.B 二.填空题 : 15.；16. 7 ；17. ,1,2, 1,2； 18.-1. 三.解答题 : 19. a1 或a-1，提示：画图. 208,16,pq或20,10,pq或14,40.pq21解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征M、N 均

20、为数集，不 能 误 认 为 是 点 集 ， 从 而 解 方 程 组 。 其 次 要 化 简 集 合 ， 或 者 说 使 集 合 的 特 征 明 朗化 M=y|y=x2+1 ，xR=y|y 1 ，N=y|y=x+1 ，xR=y|y R MN=M=y|y 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页22解：化简条件得A=1 ，2，AB=BBA根据集合中元素个数集合B 分类讨论， B=，B=1 或2 ，B=1 ，2 当 B=时， =m2-85或24. 解：13Ax xx或，ABR. 13xx中元素必是B 的元素 . 又34ABxx,34xx中的元素属于B, 故133414Bxxxxx或. 而20Bx xaxb. -1,4 是方程20 xaxb的两根，a=-3,b=-4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页