2022年高中数学上学期知识点总结 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一章集合与函数概念课时一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3.集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由 HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例： a,b,c

2、 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类 ：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例： x|x2=5

3、5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 课时二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集。记作：BA（或 B）注意：BA有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载

4、（2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB 或 BA 2“相等”关系： A=B (5 5，且 5 5，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB,且 A B 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 或若集合AB，存在 xB 且 x A，则称集合A 是集合 B 的真子集。如果AB, BC ,那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合

5、的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n -1 个真子集， 2n -1 个非空子集， 2n -2 个非空真子集课时三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B的交集 记作 AB （读作 A交 B），即 AB=x|xA，且 xB由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集 记作：AB（读作 A 并 B），即AB =x|xA，或 xB)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于A 的元素组成的

6、集合，叫做 S 中子集 A 的补集 （或余集）记作ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2性质A A=A A =A B=BA A BA A BB AUA=A AU=A AUB=BUA AUBAUBB (CuA) (CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A B) AU(CuA)=U A (CuA)=S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载课时四：函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个

7、数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，x A（ 1）其中， x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、值域、对应法则3、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示4 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代

8、表性，可以反应定义域的特征。5、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称 y=-f(x) 2）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称 y=f(-x) 3）函数 y=f(x) 关于原

9、点对称 y=-f(-x) 2映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f（对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式

10、是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （ 2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域 ：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四

11、则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备 ) 课时六：1值域: 先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；(2)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(3)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。(4)分离常数法课时七1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表

12、达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、 g 的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性(局部性质 )及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(

13、x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. （2）如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性， 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定

14、义法：1 任取 x1，x2 D，且 x1x2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）(B)图象法 (从图象上看升降) (C) 复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 课时

15、九：函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；2 确定 f( x)与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0

16、 ，则 f(x) 是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，则 f(x)是奇函数（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)= 1 来判定 ; (3)利用定理

17、，或借助函数的图象判定 . 课时十、函数最值及性质的应用1、函数的最值1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x) 在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x) 在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值f(b)；2、函数的奇偶性与单调性奇函

18、数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0 作比较，作商法是与1 作比较。4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0 ，但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0 ）。指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1. 根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时 ，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数

19、，表示为；当为偶数时 ，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质：(1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2)3. 分数指数幂的意义：；注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载1. 指数函数概念 ：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

20、2. 指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算1. 对数的定义(1) 若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数 . (2) 负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2. 几个重要的对数恒等式：，. 3. 常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中). 4. 对数的运算性质精选学习资料 - - - - - - -

21、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：知识点四：对数函数及其性质1. 对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

22、 13 页学习必备欢迎下载知识点五：反函数1. 反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子. 如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2. 反函数的性质(1) 原函数与反函数的图象 关于直线对称 .(2) 函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3) 若在原函数的图象上，则在反函数的图象上 . (4) 一般地， 函数要有反函数则它必须为单调函数.3. 反函数的求法(1) 确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2) 从原函数式中反解出；(3) 将改写成，并注明反函数的定义域.

23、知识点六：幂函数1. 幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数 . 2. 幂函数的性质(1) 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象. 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限( 图象关于轴对称 ) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2) 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3) 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数. 如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴. (4) 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数. 当(

24、 其中互质，和) ，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5) 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方. 高中数学必修 4 知识点第一章三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几

25、象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在 y 轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载PxyAOMT3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，

26、则角的弧度数的绝对值是lr6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 7、 若扇形的圆心角为为弧度制， 半径为r， 弧长为 l ， 周长为 C ，面积为 S，则lr，2Crl ，21122Slrr8、 设是 一 个 任 意大 小的 角 ，的 终边 上 任 意 一 点的 坐 标 是, x y ， 它与 原 点 的 距 离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： sin， cos， tan11、同角三角函数的基本关系：221 sincos12

27、222sin1cos,cos1 sin；sin2tancossinsintancos,costan12、函数的诱导公式：1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin， coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin， coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（

28、纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象14、函数sin0,0yx的性质：振幅：

29、；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk在 2,2kkk上 是增函数；在2,2kk在,22kk函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载k上是增函数；在32,222kkk上是减函数k上是减函数k上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页