2022年高二数学练习卷两平面的平行的判定和性质 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载典型例题一例 1： 已知正方体1111-DCBAABCD求证： 平面/11DAB平面BDC1证明：1111-DCBAABCD为正方体，BCAD11/，又BC1平面BDC1，故/1AD平面BDC1同理/11BD平面BDC1又1111DBDAD， 平面/11DAB平面BDC1说明：上述证明是根据判定定理1 实现的本题也可根据判定定理2 证明，只需连接CA1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离典型例题二例 2：如图，已知/，aA，A/a求证：a证明： 过直线a作一平面，设1a，b/ba /1又/aba/在同一个平面内过同一点A有两条直线1,aa与直线b平行a与1a重合，即a精

2、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载说明： 本题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交已知： 如图，/，Al求证：l与相交证明： 在上取一点B，过l和B作平面，由于与有公共点A，与有公共点B与、都相交设a，b/ba/又l、a、b都在平面内，且l和a交于Al与b相交所以l与相交典型例题四例 4：已知平面/，AB，CD为夹在a，间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点求证：/EF，/EF证明： 连接AF并延长交于GFCDAGAG，CD确定平

3、面， 且AC，DG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载/，所以DGAC /，GDFACF，又DFGAFC，DFCF， ACFDFGFGAF又BEAE，BGEF /，BG故/EF同理/EF说明： 本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理典型例题六例 6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为1A、1B、1C、1D，且1A、1B、1C、1D互不重合，也无三点共线求证： 四边形1111DCBA是平行四边形证明： 1AA，1DD11/ DDAA不妨设1AA和1DD确定平面同理1BB和1CC确定

4、平面又11/ BBAA，且1BB/1AA同理/AD又AADAA1/又11DA，11CB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载1111/CBDA同理1111/DCBA四边形1111DCBA是平行四边形典型例题七例 7设直线l、m，平面、，下列条件能得出/的是（） Al，m，且/l，/mBl，m，且ml /Cl，m，且ml /D/l，/m，且ml /分析： 选项 A 是错误的，因为当ml /时，与可能相交选项B 是错误的，理由同 A选项 C 是正确的，因为l，lm/，所以m，又m，/选项D 也是错误的，

5、满足条件的可能与相交答案： C 说明： 此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八例 8设平面平面， 平面平面， 且、分别与相交于a、b，ba/ 求证：平面/平面分析： 要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载证明： 在平面内作直线PQ直线a，在平面内作直线MN直线b平面

6、平面，PQ平面，MN平面，MNPQ /又pa /，QaPQ，NbMN，平面/平面说明： 如果在、内分别作PQ，MN，这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、内，如果直接在、内作a、b的垂线，就可推出MNPQ /由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出 “线线平行” 、 “线面平行” ，最后得到 “面面平行”，最后得到“面面平行” 其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要典型例题九例 9如图所示， 平面/平面，点A、C，点DB、，aAB是、的公垂线，CD是斜线若bBDAC，cCD，M、N分别是AB和CD的中点，(1)求证：/MN；(2)求MN的长分析： （1）要证/MN，取AD

7、的中点P，只要证明MN所在的平面/PMN为此证明/PM，/PN即可 (2)要求MN之长， 在CMA中，CM、CN的长度易知，关键在于证明CDMN，从而由勾股定理可以求解证明： (1)连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PNM是AB的中点，BDPM /又BD，/PM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载同理N是CD的中点，ACPN /AC，/PN/，PPMPN，平面/PMNMN平面PMN，/MN(2)分别连结MC、MDbBDAC，aBMAM21，又AB是、的公垂线，90DBMCAM，ACMRtB

8、DMRt，DMCM，DMC是等腰三角形又N是CD的中点，CDMN在CMNRt中，22222421cabCNCMMN说明： (1)证“线面平行” 也可以先证 “面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3)面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 _分析： 按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解： 设a、b是平面内两条相交直线(1)若a、b都在平面内，a、

9、b与平面所成的角都为0，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑(2)若a、b都与平面相交成等角，且所成角在)90,0(内；a、b与有公共点，这时与相交若a、b都与平面成90角，则ba/，与已知矛盾此种情况不可能(3)若a、b都与平面平行，则a、b与平面所成的角都为0，内有两条直线与平面平行，这时/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载综上，平面、的位置关系是相交或平行典型例题十一例 11试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知：平面A，求证： 过A有且只有一个平面/分析： “有且只

10、有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可证明： 在平面内任作两条相交直线a和b，则由A知，aA，bA点A和直线a可确定一个平面M，点A和直线b可确定一个平面N在平面M、N内过A分别作直线aa /、bb /，故a、b是两条相交直线，可确定一个平面a，a，aa /，/a同理/b又a，b，Aba，/所以过点A有一个平面/假设过A点还有一个平面/，则在平面内取一直线c，cA，点A、直线c确定一个平面，由公理 2 知：m，n，cm/，cn/，又mA，nA，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面只有一个所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平

11、行典型例题十二例 12已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点， 且SCSBSA，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载系，并给予证明分析 1：如图，观察图形，即可判定/SG平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线怎样证明FHSG/？只需证明H是CG的中点证法 1：连结CG交DE于点H，DE是ABC的中位线，

12、ABDE /在ACG中，D是AC的中点，且AGDH /，H为CG的中点FH是SCG的中位线，SGFH /又SG平面DEF，FH平面DEF，/SG平面DEF分析2： 要证明/SG平面DEF，只需证明平面SAB /平面DEF，要证明平面DEF /平面SAB，只需证明DFSA/，EFSB/而DFSA/，EFSB/可由题设直接推出证法 2：EF为SBC的中位线，SBEF /EF平面SAB，SB平面SAB，/EF平面SAB同理：/DF平面SAB，FDFEF，平面SAB /平面DEF，又SG平面SAB，/SG平面DEF典型例题十三例 13如图， 线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于

13、C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若9PA，12AB，12BQ，ACF的面积为72，求BDE的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载分析： 求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积解： 平面AFQAF，平面BEQAF，又/，BEAF /同理可证：BDAC/，FAC与EBD相等或互补，即EBDFACsinsin由BEFA/，得212412QAQBAFBE，AFBE21由ACBD /，得：73

14、219PBPABDAC，ACBD37又ACF的面积为72，即72sin21FACACAFEBDBDBESDBEsin21FACACAFsin372121FACACAFsin2167847267BDE的面积为 84 平方单位说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题 注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行典型例题十四例 14 在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离分析： 通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和b是两条异面直线，则过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面我们知道，空间两条异

15、面直线，总分别存在于两个平行平面内因此， 求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决具体解法可按如下几步来求：分别经过BD和CB1找到两个互相平等的平面；作出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载两个平行平面的公垂线；计算公垂线夹在两个平等平面间的长度解： 如图，根据正方体的性质，易证：1111111/DCBBDACDBADBBD平面平面连结1AC，分别交平面BDA1和平面11DCB于M和N因为1CC和1AC分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，BDAC由三垂

16、线定理：BDAC1，同理：DAAC111AC平面BDA1，同理可证：1AC平面11DCB平面BDA1和平面11DCB间的距离为线段MN长度如图所示：在对角面1AC中，1O为11CA的中点，O为AC的中点aACNCMNAM333111BD和CB1的距离等于两平行平面BDA1和11DCB的距离为a33说明： 关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：转化为线面距设a、b是两条异面直线，作出经过b而和a平行的平面，通过计算a和的距离，得出a和b距离，这样又回到点面距离的计算；转化为面面距，设a、b是两条异面直线，作出经过b而和a平行的平面，再作出经过a和b平行的平面，通过计算、之间的距离得

17、出a和b之间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载典型例题十五例 15正方体1111DCBAABCD棱长为a，求异面直线AC与1BC的距离解法 1： （直接法）如图：取BC的中点P，连结PD、1PB分别交AC、1BC于M、N两点，易证：MNDB /1，ACDB1，11BCDBMN为异面直线AC与1BC的公垂线段，易证：aDBMN33311小结： 此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大解法 2： （转化法）如图：/AC平面BCA11，AC与1BC的距

18、离等于AC与平面BCA11的距离，在1OBORt中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，aOB22，aOO1，aBO231，aBOOBOOOE3311小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载解法 3： （转化法）如图：平面1ACD/平面BCA11，AC与1BC的距离等于平面1ACD与平面BCA11的距离1DB平面1ACD，且被平面1ACD和平面BCA11三等分；所求距离为aDB33311小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4： （构造函数法）如图

19、：任取点1BCQ，作BCQR于R点，作ACPK于K点，设xRC，则xaQRBR，KRCK，且222CRCKKR2222121xCRKR则222)(21xaxQK2223131)32(23aaax，故QK的最小值，即AC与1BC的距离等于a33小结： 这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离解法 5： （体积桥法）如图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载当求AC与1BC的距离转化为求AC与平面BCA11的距离后，设C点到平面BCA11的距离为

20、h，则1111BCCABCACVV222131)2(4331aaah，ah33即AC与1BC的距离等于a33小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到说明： 求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离（线面转化法） 也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面， 两平行平面的距离就是两条异面直线距离 （面面转化法）

21、 (3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求典型例题十六例 16如果/，AB和AC是夹在平面与之间的两条线段，ACAB，且2AB，直线AB与平面所成的角为30，求线段AC长的取值范围解法 1：如图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载作AD于D，连结BD、CD、

22、BCBDAB，DCAC，222BCACAB，在BDC中，由余弦定理，得：022cos222222CDBDBCACABCDBDBCCDBDBDCAD，ABD是AB与所在的角又/，ABD也就等于AB与所成的角，即30ABD2AB，1AD，3BD，12ACDC，24ACBC，01324131222ACACAC，即：31102AC332AC，即AC长的取值范围为,332解法 2：如图：ACABAC必在过点A且与直线AB垂直的平面内设l，则在内，当lAC时，AC的长最短，且此时ABCABACtan33230tanAB而在内，C点在l上移动，远离垂足时，AC的长将变大，从而332AC，即AC长的取值范围是

23、,332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载说明： (1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习(2)解法1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC长的不等式，再通过解不等式得到AC长的范围，此方法以运算为主(3)解法2 从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC是连结异面直线AB和l上两点间的线段，所以AC是AB与l的公垂线段时，其长最短典型例题十七例 17如

24、果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行已知：/，/，求证：/分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线证明一： 如图，假设、不平行，则和相交和至少有一个公共点A，即A，A/，/，A于是，过平面外一点A有两个平面、都和平面平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。/证明二： 如图，在平面内任取

25、一点A，过A点作直线l与相交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载/，l与也相交/，l与也相交过l作两相交平面分别与交于直线1m、1n，且与2m、2n，交于直线3m、3n/，31/ mm/，32/ mm21/ mm1m，2m，/1m同理/1n又Anm11，1m、1n，/证明三： 如图，任作直线l，/，l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载/，l/说明： 证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证

26、明典型例题十八例 18如图，已知a、b是异面直线， 求证：过a和b分别存在平面和， 使/分析： 本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行这样过a和b分别有平面与另一条线平行那么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的和？证明： 在直线a上任取一点P，过P点作直线bb /故过a和b可确定一平面记为，在直线b上任取一点Q过Q点作直线aa /同理过b和a可确定一平面，记为aa /，a，/a同理/ba，b，Qba/说明： 由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中所以两异面直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证a和b的公垂线段垂直于两平行平面） 本卷由 100 测评网整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页