2022年高中数学-3.2.2函数模型的应用实例学案-新人教A版 .pdf

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1、精品资料欢迎下载32.2 函数模型的应用实例 学习目标 1. 会利用已知函数模型解决实际问题.2. 能建立函数模型解决实际问题 预习导引 1解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：( 一) 审题； ( 二 )建模； (三) 求模； ( 四) 还原这些步骤用框图表示如图：2数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例 1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有

2、一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x) 表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强) ，x表示提出和讲授概念的时间( 单位：min) ，可有以下的公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载f(x) 0.1x22.6x43，0 x10，59，10 x16，3x 107，16x30.(1) 开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2) 开讲后 5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些

3、？(3) 一个数学难题， 需要 55 的接受能力以及13 min 时间， 老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解(1) 当 0 x10 时，f(x) 0.1x22.6x43 0.1(x13)259.9. 故f(x) 在(0,10 上单调递增，最大值为f(10) 0.1 ( 3)259.9 59；当 16x30 时，f(x) 单调递减，f(x) 316 107 59. 因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力( 值为 59) ，并维持6 min. (2)f(5) 0.1 (5 13)259.9 59.9 6.4 53.5 ，f(20) 320 1074753.

4、5 f(5) 因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些(3) 当 0 x10 时，令f(x) 55，则0.1 (x 13)2 4.9 ，(x13)249. 所以x20 或x6. 但 0 x10，故x6. 当 16x30 时，令f(x) 55，则 3x10755. 所以x17 13. 因此，学生达到( 或超过 )55 的接受能力的时间为17 13611 13 13(min) ，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题规律方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实

5、际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题( 即数学模型 ) 予以解答，求得结果第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答跟踪演练1 统计表明，某

6、种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y( 升) 关于行驶速度x( 千米 / 时) 的函数解析式可以表示为：y112 800 x3380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米当汽车以40 千米 / 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？解当x 40时 ， 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了10040 2.5(小 时 ) ， 要 耗 油112 80040338040 8 2.5 28.75( 升) ，即当汽车以40 千米 / 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75 升要点二建立函数模型解决实际问题例 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况

7、在一般情况下，大桥上的车流速度v( 单位：千米 / 时) 是车流密度x( 单位：辆 / 千米 ) 的函数当桥上的车流密度达到200 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米 / 时研究表明：当20 x200 时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1) 当 0 x200 时，求函数v(x) 的表达式；(2) 当车流密度x为多大时，车流量 ( 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/ 时 )f(x)xv(x) 可以达到最大，并求出最大值( 精确到 1 辆 / 时) 解(1) 由题意：当0 x20 时，v(x) 60；当 20 x2

8、00 时，设v(x) axb，再由已知得200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故函数v(x) 的表达式为v(x) 60，0 x20，13x，20 x200.(2) 依题意并由 (1) 可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载f(x) 60 x，0 x20，13xx，20 x200.当 0 x20 时，f(x) 为增函数，故当x20 时，其最大值为6020 1 200 ；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x) 13x22003x13(x2200 x) 13(x100)210

9、0003，所以当x100 时，f(x)在区间 20,200上取得最大值10 0003. 综上，当x 100 时，f(x) 在区间 0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333 辆/ 时规律方法根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M( 亿元 ) 和N( 亿元 ) ，它们与投资额t( 亿元 ) 的关系有经验公式：M13t，N16t，今该公司将用3 亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿

10、元(1) 写出y关于x的函数表达式；(2) 求总利润y的最大值解(1) 当甲项目投资x亿元时，获得利润为M13x( 亿元 ) ，此时乙项目投资(3 x) 亿元，获得利润为N16(3 x)( 亿元 ) ，则有y13x16(3 x) ，x0,3 (2) 令xt，t0 ，3 ，则xt2，此时y13t16(3 t2) 16(t1)223. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载t0 ，3 ，当t1，即x 1 时，y有最大值为23. 即总利润y的最大值是23亿元1. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量

11、成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A310 元 B 300 元C390 元 D 280 元答案B 解析由图象知，该一次函数过(1,800) ，(2,1 300)，可求得解析式y500 x300(x0)，当x0 时，y300. 2小明的父亲饭后出去散步，从家中走20 分钟到一个离家900 米的报亭看10 分钟报纸后，用 20 分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( ) 答案D 3某种细胞分裂时，由1 个分裂成2 个， 2 个分裂成4 个，现有2 个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( ) A

12、y2x B y2x1Cy2x D y2x1答案D 解析分裂一次后由2 个变成 22 22个，分裂两次后42 23个，分裂x次后y2x1个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载4长为 3，宽为 2 的矩形， 当长增加x，宽减少x2时，面积达到最大， 此时x的值为 _答案12解析S(3 x)(2 x2) x22x26 12(x12)2498，x12时，Smax498. 1. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1) 利用给定的函数模型解决实际问题；(2) 建立确定性的函数模型解决实际问题；(3) 建立拟合

13、函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化一、基础达标1某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm ，觉得有点累， 就休息了一段时间，想想路途遥远， 有些泄气， 就沿原路返回骑了bkm(ba)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( ) 答案C 解析由题意可知，s是关于时间t的一

14、次函数，所以其图象特征是直线上升由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升2国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载运送距离x(km)0 x500500 x1 0001 000 x1 500邮资y( 元 )5.006.007.00如果某人在西安要快递800 g 的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( ) A5.00 元 B 6.00 元 C 7.00 元 D

15、8.00 元答案C 解析由题意可知，当x 1 200 时，y7.00 元3某机器总成本y( 万元 ) 与产量x( 台) 之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为25 万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A30 B 40 C 50 D 60 答案C 解析设安排生产x台，则获得利润f(x) 25xyx2100 x (x 50)22 500. 故当x50 台时，获利润最大4 根 据 统 计 ， 一 名 工 人 组 装 第x件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 ： 分 钟 ) 为f(x) cx，xA，cA，xA(A，c为常数 ) 已知工人组装第4 件产品用时30 min

16、 ，组装第A件产品用时 15 min ，那么c和A的值分别是 ( ) A75,25 B 75,16 C60,25 D 60,16 答案D 解析由题意知，组装第A件产品所需时间为cA15，故组装第4 件产品所需时间为c430，解得c 60. 将c 60 代入cA15，得A16. 5某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P1 0005x110 x2，Qaxb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150 吨时利润最大，此时每吨的价格为40 元，则有 ( ) Aa45，b 30 B a30，b 45 Ca 30，b 45 D a 45，b 30 答案A 精选学习资料 -

17、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载解析设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则yxQPxaxb 1 000 5x110 x21b110 x2(a5)x1 000(x0) 由题意知，当x150 时，y取最大值，此时Q40. a521b110150，a150b40，解得a45，b 30.6已测得 (x，y) 的两组值为 (1,2)， (2,5) ，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1. 若又测得 (x，y) 的一组对应值为(3,10.2)，则选用 _作为拟合模型较好答案甲解析对于甲：x3 时，y32110，对于乙

18、：x3 时，y8，因此用甲作为拟合模型较好7武汉市的一家报摊主从报社买进武汉晚报的价格是每份0.40 元，卖出的价格是每份0.50 元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08 元的价格退回报社在一个月( 以 30 天计算 ) 里，有 20 天每天可卖出400 份，其余10 天每天只能卖出250 份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数 ) 当x250 时，y0.1 30 x3x. 当 250 x400 时，y0.1 20 x0.1 10250 (x250)0.32

19、102x2503.2x800 1 050 1.2x. 当x400 时，y0.1 204000.1 10250(x400)0.3220 (x250)0.32108002506.4x2 560 3.2x800 9.6x4 410. 当x250 时，取x250，ymax3250 750( 元) 当 250 x400 时，取x 250，ymax750(元) 当x400 时，取x400，ymax570( 元 )故他应该每天从报社买进250 份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页

20、精品资料欢迎下载二、能力提升8衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：Vaekt. 已知新丸经过50 天后，体积变为49a. 若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为( ) A125 B 100 C 75 D 50 答案C 解析由已知，得49aae50k，ek49501. 设经过t1天后，一个新丸体积变为827a，则827aaekt1，827(ek)t149501t，t15032，t175. 9“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t 144lg1N90中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的

21、字数则当N40 时，t_( 已知 lg 2 0.301，lg 3 0.477) 答案36.72 解析当N 40 时，则t 144lg14090 144lg 59 144(lg 52lg 3)36.72. 10. 如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2) 与时间t( 月) 的关系yat，有以下几种说法：这个指数函数的底数为2；第 5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；浮萍从4 m2蔓延到 12 m2需要经过 1.5 个月；浮萍每月增加的面积都相等其中正确的命题序号是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品资料欢迎下

22、载答案解析由图象知，t2 时，y4，a24，故a2，正确当t5 时，y253230，正确，当y4 时，由 4 2t1知t12，当y12 时，由 122t2知t2log2122log23. t2t1log231.5 ，故错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，错误11在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫( 无债务 ) 致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600 元后，逐步偿还转让费( 不计息 ) 根据甲提供的资料有：这种消费品

23、的进价为每件14 元；该店月销量Q( 百件 ) 与销售价格P( 元) 的关系如下图所示；每月需各种开支2 000 元(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由题设得：LQ(P14)100 3 600 2 000. 由销量图易得：Q 2P50，14P20，32P40，20P26，代入式得L2PP5 600 ，14P20，32PP5 600 ，20P26，(1) 当 14P20 时，Lmax 450(元) ，此时P19.5( 元) ；当 20P26 时，Lmax1 2503( 元)

24、 ，此时P613( 元) 故当P19.5( 元) 时，月利润余额最大，最大余额为450 元(2) 设可在n年后脱贫，依题意有12n450 50 000 58 0000，解得n20.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载即最早可望在20 年后脱贫三、探究与创新12物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta) 12ht，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期 现有一杯用88热水冲的速溶咖啡，放在24的房间中，如果咖啡降温到40需要 2

25、0 min ，那么降温到35时，需要多少时间？解由题意知 40 24(88 24)12h20，即1412h20，解得h10. 故T24(88 24)1210t. 当T35 时，代入上式，得3524 (88 24)1210t，即1210t1164. 两边取对数，用计算器求得t25.因此，约需要25 min ，可降温到35.13 今年冬季， 我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、 交通安全等带来了严重影响经研究， 发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染 已知过滤过程中废气的

26、污染物数量P( 单位： mg/L) 与过滤时间t( 单位： 小时 ) 间的关系为PP0ekt(P0，k均为非零常数， e为自然对数的底数) ， 其中P0为t0 时的污染物数量 若经过 5小时过滤后还剩余90% 的污染物(1) 求常数k的值；(2) 试计算污染物减少到40% 至少需要多少时间( 精确到 1 小时，参考数据： ln 0.2 1.61 ，ln 0.3 1.20 ，ln 0.4 0.92 ，ln 0.5 0.69 ，ln 0.9 0.11.) 解(1) 由已知，当t0 时，PP0；当t5 时，P90%P0. 于是有 90%P0P0e5k. 解得k15ln 0.9(或 0.022) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载(2) 由(1) 得，知PtP0.9In510e. 当P40%P0时，有 0.4P0tP0.9In510e. 解得tln 0.415ln 0.9 0.92154.600.1141.8 2. 故污染物减少到40% 至少需要42 小时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页