2022年学而思高中完整讲义直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆学生版 2.pdf

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1、1椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12|F F）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，2(0)Fc，且222cab22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，2(0)Fc，且222cab3椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究） ：范围：axa，byb；对称性：以 x轴、 y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，；长轴与短轴：焦点所在的对

2、称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e， e越趋近于 1，椭圆越扁；反之， e越趋近于0，椭圆越趋近于圆My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0f xy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：板块一 .直线与椭圆

3、(1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0f xy，由0()0AxByCf xy，消去y（或消去x）得：20axbxc若0a，24bac，0相交；0相离；0相切若0a，得到一个一次方程：C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离

4、公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为11()()xyxy，则弦长公式为2212121|11ABkxxyyk两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxx xaaaa（0） 6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发， 利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题【例 1】 直线2ykx与椭圆2213xy交于不同两

5、点A和B， 且1O A OB（其中O为坐标原点），求k的值【例 2】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点 (02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和 Q 求k的取值范围；设椭圆与x 轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB， ，是否存在常数k，使得向量 OPOQ 与 AB 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由典例分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页【例 3】已知1m，直线2:02ml xmy，椭圆222:1xCym，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点当直线 l 过右焦点2F 时，求直线

6、l 的方程；设直线 l 与椭圆 C 交于A，B两点，12AF F，12BF F的重心分别为G ，H若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数m的取值范围OxyBA【例 4】已知椭圆222210 xyabab短轴的一个端点0, 3D，离心率12e过D作直线l与椭圆交于另一点M ，与 x轴交于点 A（不同于原点O） ，点 M 关于 x轴的对称点为N，直线DN交 x轴于点 B 求椭圆的方程；求OAOB的值yxDMNBAO【例 5】 已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(022)F，且离心率e满足：24e33， ， 成等比数列求椭圆方程； 是否存在直线l ，使 l 与椭圆交于不同的两点M、 N ，且

7、线段MN 恰被直线12x平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由【例 6】 直线 ykxb与椭圆2214xy交于A、B两点，记AOB的面积为S，求在001kb，的条件下，S的最大值；当2AB，1S时，求直线AB的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页【例 7】已知椭圆的中心在原点O，焦点在 x 轴上，点( 2 3,0)A是其左顶点，点C在椭圆上且0,| |AC COACCO求椭圆的方程；若平行于CO 的直线 l 和椭圆交于,MN 两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l 的方程【例 8】 如

8、图， 点A是椭圆22221(0)xyabab短轴的下端点 过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BPx轴，9AB AP若B点坐标为 (01)， ，求椭圆方程；若B点坐标为 (0) t， ，求t的取值范围PAByxO【例 9】已 知 椭 圆C的 焦 点 是10,3F，20,3F， 点 P 在 椭 圆 上 且 满 足124PFPF 求椭圆 C 的标准方程； 设直线:220lxy与椭圆 C 的交点为A，B）求使PAB的面积为12的点P的个数；）设M为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OMOAOBR ，求22的值【例 10】已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63若原点到直线0

9、 xyb的距离为2 ，求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为45 的直线 l 和椭圆交于,A B 两点i）当 |3AB，求 b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M，若OMOAOB，求实数,满足的关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页【例 11】已知椭圆2222:10 xyMabab的左右焦点分别为122, 0 ,2, 0FF在椭圆 M 中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标3 , 1， AB 所在直线的斜率为33求椭圆M的方程；当ABC 的面积最大时，求直线AB的方程OyxF2F1CBA【例 12】已知椭圆C的中心

10、在原点， 焦点在 x轴上，左右焦点分别为1F，2F， 且12|2F F，点31 ,2在椭圆C上求椭圆 C 的方程；过1F 的直线 l 与椭圆 C 相交于A、B两点， 且2AF B 的面积为1227，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程【例 13】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在 x轴上，离心率为12，且点31 ,2在该椭圆上求椭圆 C 的方程；过椭圆C 的左焦点1F 的直线 l 与椭圆 C 相交于A、B两点，若AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线 l 相切的圆的方程【例 14】椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5求椭圆 C 的

11、方程；设过点D(0, 4)的直线l与椭圆C交于,EF两点，O为坐标原点， 若OEF为直角三角形，求直线l 的斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页【例 15】已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点31,2M，过点2, 1P的直线l与椭圆C相交于不同的两点,AB求椭圆 C 的方程；是否存直线l ，满足2PA PBPM？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由【例 16】已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F，2F，离心率22e，右准线方程为2x求椭圆的标准方程； （准线方

12、程2axc）过点1F 的直线 l 与该椭圆交于M， N 两点，且222263F MF N，求直线 l 的方程【例 17】设椭圆22221xyab(0)ab的左、右焦点分别为1F、2F， 离心率22e， M 、N是直线l：2axc上的两个动点，且120F MF N若12| |2 5F MF N，求a、 b 的值证明：当 |MN取最小值时，12F MF N 与12FF 共线yxOF2F1NM【例 18】已知椭圆22:14yC x，过点03M，的直线l与椭圆C相交于不同的两点A 、B 若 l 与x轴相交于点N ，且A是 MN 的中点，求直线l 的方程；设P为椭圆上一点，且OAOBOP（ O 为坐标原

13、点），求当3AB时，实数的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页【例 19】已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，右焦点2(0)Fc，到上顶点的距离为2，若26ac 求此椭圆的方程；点A是椭圆的右顶点，直线yx与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内） ，又P、 Q 是此椭圆上两点， 并且满足120|NPNQFFNPNQ， 求证：向量 PQ 与 AM共线【例 20】一束光线从点1( 1 0)F， 出发，经直线l ： 230 xy上一点P反射后，恰好穿过点2(1 0)F，求点1F 关于直

14、线 l 的对称点1F的坐标；求以1F 、2F 为焦点且过点P的椭圆 C 的方程；设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于A、B两点，点 Q 为线段AB上的动点，且不为A、B，求点 Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标【例 21】已知直线220 xy经过椭圆2222:10 xyCabab的左顶点A 和上顶点D 椭圆C的右顶点为 B 点S是椭圆C上位于 x轴上方的动点， 直线AS，BS与直线10:3lx分别交于MN，两点求椭圆 C 的方程；求线段 MN 的长度的最小值当线段 MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由lNMDBSyxOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页