2022年高三数学熟悉的扩充与复数的引入单元测试题及答案解析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第三章测试(时间： 120分钟，满分： 150分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列命题正确的是 () A复数的模是正实数B虚轴上的点与纯虚数一一对应C相等的向量对应着相等的复数D实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数解析复数的模可能为 0，故 A 项错虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B 项错复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C 项正确实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故 D 项错答案C 2下列命题：复数abi 不是实数；若 (x24)(x23x2)i

2、是纯虚数，则实数x 2；若复数 zabi，则当且仅当b0时，z为虚数其中正确的命题有 () A0 个B1 个C2 个D3 个解析中没有说明 a，bR，所以当 b0 时，abi 可能是实数；中当 x2 时，不正确；中没有说明a，bR，所以不正精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载确；因此三个命题都不正确答案A 3 若 n是大于 2000的奇数， 则复数 (1i1i)2n(1i1i)2n的值是 () A2 B2 C2 或2 D0 解析(1i1i)2n(1i1i)2n(2i2i)n(2i2i)n(1)n(1)

3、n2(1)n. n 是大于 2000 的奇数，原式2. 答案B 4复数 za a2a1(a22a3)i(aR)为纯虚数，则 a 的值为() Aa0 Ba0 且 a1 Ca0 或 a2 Da1 或 a3 解析依题意得a a2a10，a22a30，解得 a0，或 a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载答案C 5复数12i234i的值是() A1 B1 Ci Di 解析12i234i34i34i1. 答案A 6已知 z 是纯虚数，z21i是实数，那么 z等于() A2i Bi Ci D2i 解析设 z

4、bi(bR，且 b0)，则z21i2bi1i2bi 1i1i 1i12(2b)(2b)i z21iR， 2b0，b2， z2i. 答案D 7已知 i 为虚数单位， a 为实数，复数 z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为 M，则“ a1”是“点 M 在第四象限”的 () A充分而不必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析复数 z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，在复平面内 z 的对应点 M 在第四象限的充要条件是a20，a20.即2a2.

5、故“a1”是“点 M 在第四象限 ”的充分而不必要条件答案A 8复数 zi1i在复平面上对应的点位于() A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 zi1ii 1i1i1i12(i1)1212i，复数 z的对应点在第一象限答案A 9复数32i23i32i23i() A0 B2 C2i D2i 解析32i23i32i23ii 23i23ii 23i23iii2i. 答案D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载10定义运算abcdadbc，则符合条件11zzi42i的复数 z为() A3i B13

6、i C3i D13i 解析依题意知，11zziziz42i， z(1i)42i， z42i1i(2i)(1i)3i. 答案A 11复数 zabi(a，bR)是方程 z234i 的一个根，则z等于() A1 2i B1 2i C12i 或12i D2i 或2i 解析若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁琐，本题可采用验证的方法 (12i)214i(2i)234i，z12i 或12i. 答案C 12对任意复数 zxyi(x，yR)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 () A|z z |2yBz2x2y2C|z z |2xD|z|x|y| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

7、总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载解析 zxyi，(x，yR)，则 z xyi，z z 2yi. |z z |2y|2y，故 A，C 项错又 z2x2y22xyix2y2，故 B 项错因此，正确答案为D. 答案D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 ) 13复数2i1i的共轭复数是 _解析2i1i2i1i1i1i3i23212i，共轭复数为3212i. 答案3212i 14若 z11i，z1 z22，则 z2_. 解析 z11i，z1 z22，z221i1i. z21i. 答案1i 15若复数 z1429i

8、，z269i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1z2)i 的实部是 _解析 (z1z2)i429i(69i)i(220i)i202i，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载 (z1z2)i 的实部是 20. 答案20 16i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z123i，则 z2_. 解析设 z123i 的对应点为 A，则 A 的坐标为 (2，3)，A 关于原点对称的坐标为B(2,3)，则 B 对应的复数为 z223i. 答案23i 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共

9、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17(10 分)要使复数 za2a6a22a15a24i 为纯虚数，实数a 是否存在？若存在求出a 的值；若不存在说明理由解若 z为纯虚数，则a2a60，a22a15a240，由解得 a3，或 a2，分别代入都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数 a. 18(12 分)复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是 3i，向量AC对应的复数是 24i，向量 BC对应的复数是 4i，求点 B对应的复数解AC对应的复数是 24i，BC对应的复数是 4i，又ABACBC，AB对应的复数为 (24i)(4i)23i. 精选学习资料 - - - -

10、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载又OA对应的复数是 3i，OBOAAB. OB对应的复数是 (3i)(23i)52i. 即点 B 对应的复数是 52i. 19(12 分)已知虚数 z 满足|z|2，且(za)2a，求实数 a. 解设 zxyi(x，yR，且 y0)，则(za)2(xyia)2(xa)2y22y(xa)i. 又(za)2a，|z|2，xa2y2a，2y xa 0，x2y22.解得 a1. 20(12 分)已知复数 z 满足|z|2，z2的虚部是 2，(1)求复数 z；(2)设 z，z2，zz2在复平面内的对应点

11、分别为A，B，C，求ABC的面积解(1)设 zabi(a，bR)，则 z2a2b22abi. 由题意得 a2b22，且 2ab2. 解得 ab1 或 ab1.z1i 或 z1i. (2)当 z1i 时，z22i，zz21i. A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，SABC12211. 当 z1i 时，z22i，zz213i，A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，SABC12211. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载故ABC 的面积为 1. 21(12 分)设 w1232i，(1)求证： 1

12、ww20；(2)计算： (1ww2)(1ww2)解(1)证明： w1232i，w2(1232i)2142(12)(32i)(32i)21432i341232i，1ww211232i1232i0. (2)由 1ww20 知，(w1)(1ww2)0，w310，w31. (1ww2)(1ww2) (2w2)(2w) 4w34. 22(12 分)设 z1，z2C，(1)求证： |z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2；(2)设|z1|3，|z2|5，|z1z2|6，求|z1z2|. 解(1)证明：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2|2|z1z2|2精选学习资料 -

13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载|(ac)(bd)i|2|(ac)(bd)i|2(ac)2(bd)2(ac)2(bd)22a22c22b22d22(a2b2)2(c2d2)，又 2|z1|22|z2|22(a2b2)2(c2d2)，故|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2. (2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2，62|z1z2|2232252. |z1z2|2683632. |z1z2|4 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页