2022年高中数学必修一函数大题 2.pdf

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1、高中函数大题专练、已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kR。试求不等式的解集A；对于不等式的解集A，假设满足AZB其中Z为整数集。试探究集合B能否为有限集？假设能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；假设不能，请说明理由。、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数。 对任意的0, 1x，总有( )0f x； 当12120 ,0,1xxxx时，总有1212()()()f xxf xf x成立。已知函数2( )g xx与( )21xh xa是定义在0, 1上的函数。1试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；2假设函数(

2、 )h x是G函数，求实数a的值；3在 2的条件下 ，讨论方程(21)( )xgh xm ()mR解的个数情况。3. 已知函数|212)(xxxf. 1假设2)(xf，求x的值；2假设0)()2(2tmftft对于2, 3t恒成立，求实数m的取值范围 . 4. 设函数)(xf是定义在R上的偶函数 . 假设当0 x时，11,( )0,f xx0;0.xx1求)(xf在(,0)上的解析式 . 2请你作出函数)(xf的大致图像 . 3当0ab时，假设( )( )f af b，求ab的取值范围 .4假设关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解， 求,b c满足的条件 . 5已知函数(

3、)(0)|bf xaxx。1假设函数( )f x是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；2当2b时，假设不等式( )f xx在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；3对于函数( )g x假设存在区间, ()m nmn，使, xm n时，函数( )g x的值域也是, m n，则称( )g x是, m n上的闭函数。假设函数( )f x是某区间上的闭函数，试探求,a b应满足的条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页6、 设bxaxxf2)(， 求满足以下条件的实数a的值： 至少有一个正实数b， 使函数)(xf的

4、定义域和值域相同。7对于函数)(xf，假设存在Rx0，使00)(xxf成立，则称点00(,)xx为函数的不动点。1已知函数)0()(2abbxaxxf有不动点 1，1和 -3 ，-3 求a与b的值；2假设对于任意实数b，函数)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，求a的取值范围；3假设定义在实数集R 上的奇函数)(xg存在有限的n个不动点，求证：n必为奇数。8设函数)0(1)(xxxxf，的图象为1C、1C关于点 A2， 1的对称的图象为2C，2C对应的函数为)(xg. 1求函数)(xgy的解析式；2假设直线by与2C只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 9设定义在),0(上的函

5、数)(xf满足下面三个条件：对于任意正实数a、b，都有()( )( )1f a bf af b；(2)0f；当1x时，总有( )1f x. 1求)21() 1(ff及的值；2求证：), 0()(在xf上是减函数 . 10 已知函数)(xf是定义在2,2上的奇函数， 当)0,2x时，321)(xtxxft为常数 。 1求函数)(xf的解析式； 2当6, 2t时，求)(xf在0 ,2上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想)(xf在2,0上的单调递增区间不必证明；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页 3当9t时，证明：函数

6、)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。11. 记函数272xxxf的定义域为A，Rabaxbxxg,012lg的定义域为B，1求A：2假设BA，求a、b的取值范围12、 对于在,a b上有意义的两个函数( )fx与( )g x，如果对任意的 , xab，均有1)()(1xgxf，则称( )f x与( )g x在,a b上是接近的，否则称( )f x与( )g x在,a b上是非接近的.现在有两个函数( )log (3 )tf xxt与1( )log ()(01)tg xttxt且，现给定区间2,3tt. (1) 假设12t，判断( )fx与( )g x是否在给定区间上接近；(2) 假

7、设( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上都有意义，求t的取值范围；(3) 讨论( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上是否是接近的. 13集合 A是由具备以下性质的函数)(xf组成的：(1) 函数)(xf的定义域是0,)；(2) 函数)(xf的值域是 2,4)；(3) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究以下两小题：判断函数1( )2(0)fxxx，及21( )46 () (0)2xfxx是否属于集合A？并简要说明理由对于I 中你认为属于集合A的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任意的0 x总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论1

8、4、设函数f(x)=ax2+bx+1a,b 为实数 ,F(x)=)0()()0()(xxfxxf1假设 f(-1)=0且对任意实数x 均有 f(x)0成立，求 F(x) 表达式。2在 1的条件下 , 当 x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数 , 求实数 k 的取值范围。3 理设m0,n0,a0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0 。15函数 f(x)=baxx(a，b 是非零实常数)，满足 f(2)=1 ，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标

9、系中，求定点A( 3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离 |AP|的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页函数大题专练答案、已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kR。试求不等式的解集A；对于不等式的解集A，假设满足AZB其中Z为整数集。试探究集合B能否为有限集？假设能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；假设不能，请说明理由。解： 1当0k时，(,4)A；当0k且2k时，4(,4)(,)Akk；当2k时，(,4)(4,)A； 不单独分析2k时的情况不扣分当0k时，4(

10、,4)Akk。（2） 由 1知：当0k时，集合B中的元素的个数无限；当0k时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。因为44kk，当且仅当2k时取等号，所以当2k时，集合B的元素个数最少。此时4,4A，故集合3, 2, 1,0,1,2,3B。、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数。 对任意的0, 1x，总有( )0f x； 当12120 ,0,1xxxx时，总有1212()()()f xxf xf x成立。已知函数2( )g xx与( )21xh xa是定义在0, 1上的函数。1试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；2假设函数( )h x是G

11、函数，求实数a的值；3在 2的条件下 ，讨论方程(21)( )xgh xm ()mR解的个数情况。解： 1 当0,1x时，总有2g xx0( )，满足，当12120,0 ,1xxxx时，22221212121212g xxxx2x xxxg xg x()()()，满足2假设a1时，h 0a10( )不满足，所以不是G函数；假设a1时，h x( )在x0 1 , 上是增函数，则h x0( )，满足由1212h xxh xh x()()()，得1212xxxxa 21a 21a 21，即12xxa 121 211()()，因为12120 ,0,1xxxx所以1x02112x02111x与2x不同时

12、等于1 11xx021 211()()11xx1a121 21()()当12xx0时，11xx11121 21min()()()a1，综合上述：a1 3根据知：a=1，方程为xx42m，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页由x02110 x1得x0 1 , 令x2t1 2 , ，则2211mttt24()由图形可知：当m0 2 , 时，有一解；当m02(, )( ,)时，方程无解。. 已知函数|212)(xxxf. 1假设2)(xf，求x的值；2假设0)()2(2tmftft对于2, 3t恒成立，求实数m的取值范围

13、. 解 1当0 x时，0)(xf；当0 x时，xxxf212)(. 由条件可知2212xx，即012222xx，解得212x. 02x，21log2x. 2当2, 1t时，0212212222tttttm，即121242ttm. 0122t，122tm. 22, 3,1265,17tt，故m的取值范围是17,). . 设函数)(xf是定义在R上的偶函数 . 假设当0 x时，11,( )0,f xx0;0.xx1求)(xf在(,0)上的解析式 . 2请你作出函数)(xf的大致图像 . 3当0ab时，假设( )( )f af b，求ab的取值范围 .4假设关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7

14、 个不同实数解， 求,b c满足的条件 . 解 1当(,0)x时，11( )()11f xfxxx. 2)(xf的大致图像如下： . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页4321-1-4-22463因为 0ab，所以( )( )f af b2211111111112ababab，22ababab解得ab的取值范围是(1,). 4由 2 ，对于方程( )f xa，当0a时，方程有3 个根；当01a时，方程有 4 个根，当1a时，方程有2 个根；当0a时，方程无解 . 15 分所以，要使关于x的方程0)()(2cxbfx

15、f有 7 个不同实数解，关于)(xf的方程0)()(2cxbfxf有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。所以0,( )(0,1)cfxb，即10,0bc. 已知函数( )(0)|bf xaxx。1假设函数( )f x是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；2当2b时，假设不等式( )f xx在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；3对于函数( )g x假设存在区间, ()m nmn，使, xm n时，函数( )g x的值域也是, m n，则称( )g x是, m n上的闭函数。假设函数( )f x是某区间上的闭函数，试探求,a b应满足的条件。解： 1 当(0,)x时，( )

16、bfxax设12,(0,)x x且12xx， 由( )fx是(0,)上 的 增 函 数 ， 则12()()f xf x121212()()()0b xxf xf xx x由12xx，12,(0,)x x知12120,0 xxx x，所以0b，即(0,)b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页2当2b时，2( )|f xaxx在(1,)x上恒成立，即2axx因为22 2xx，当2xx即2x时取等号，2(1,)，所以2xx在(1,)x上的最小值为22。则22a（3）因为( )|bf xax的定义域是(,0)(0,)，设(

17、)f x是区间, m n上的闭函数，则0mn且0b（4）假设0mn当0b时，( )|bfxax是(0,)上的增函数，则()( )f mmf nn，所以方程baxx在(0,)上有两不等实根，即20 xaxb在(0,)上有两不等实根，所以212124000abxxaxxb，即0,0ab且240ab当0b时 ，( )|bbf xaaxx在(0,)上 递 减 ， 则( )( )f mnf nm， 即0banambmnbamn，所以0,0ab假设0mn当0b时，( )|bbf xaaxx是(,0)上的减函数，所以()( )f mnf nm，即0banambmnbamn，所以0,0ab、设bxaxxf2)

18、(，求满足以下条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数)(xf的定义域和值域相同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页解： 1假设0a，则对于每个正数b，bxxf)(的定义域和值域都是),0故0a满足条件 2 假 设0a， 则 对 于 正 数b，bxaxxf2)(的 定 义 域 为D,0,ab，但)(xf的值域,0A，故AD，即0a不合条件； 3假设0a，则对正数b，定义域,0abDabxf2)(max，)(xf的值域为2,0ab，abab2420aaaa综上所述：a的值为 0 或4对于函数)(xf，假设存在Rx

19、0，使00)(xxf成立，则称点00(,)xx为函数的不动点。1已知函数)0()(2abbxaxxf有不动点 1，1和 -3 ，-3 求a与b的值；2假设对于任意实数b，函数)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，求a的取值范围；3假设定义在实数集R 上的奇函数)(xg存在有限的n个不动点，求证：n必为奇数。解： 1由不动点的定义：0)(xxf，0) 1(2bxbax代入1x知1a，又由3x及1a知3b。1a，3b。2对任意实数b，)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程0)(xxf总有两个相异的实数根。0)1(2bxbax中04)1(2abb，即0

20、1)24(2bab恒成立。故04)24(21a，10a。故 当10a时 ， 对 任 意 的 实 数b， 方 程)(xf总 有 两 个 相 异 的 不 动点。 .13)(xg是 R上的奇函数，则0)0(g， 0， 0是函数)(xg的不动点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页假设)(xg有异于 0，0的不动点),(00 xx，则00)(xxg。又000)()(xxgxg，),(00 xx是函数)(xg的不动点。)(xg的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，所以有k2个kN ，加上原点，共有12kn个。即n必为奇数设函

21、数)0(1)(xxxxf，的图象为1C、1C关于点 A2，1的对称的图象为2C，2C对应的函数为)(xg. 1求函数)(xgy的解析式；2假设直线by与2C只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 解 1设),(vup是xxy1上任意一点，uuv1设 P关于 A2，1对称的点为yvxuyvxuyxQ2424),(代入得4124142xxyxxy);,4()4,(412)(xxxxg2联立,094)6(4122bxbxxxyby004)94(4)6(22bbbbb或,4b1当0b时得交点 3，0 ；2当4b时得交点 5，4. 9设定义在),0(上的函数)(xf满足下面三个条件：对于任意正实数a、

22、b，都有()( )( )1f a bf af b；(2)0f；当1x时，总有( )1f x. 1求)21() 1(ff及的值；2求证：), 0()(在xf上是减函数 . 解 1取 a=b=1，则(1)2 (1) 1.(1) 1fff故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页又11(1)(2)(2)()122ffff. 且(2)0f. 得：1()(1)(2)11122fff 2设,021xx则：222111111()()()()()()1xxf xf xfxf xff xxx1()f x21()1xfx依1,01221xx

23、xx可得再依据当1x时，总有( )1f x成立，可得21()1xfx即0)()(12xfxf成立，故), 0()(在xf上是减函数。10 已知函数)(xf是定义在2,2上的奇函数， 当)0,2x时，321)(xtxxft为常数 。 1求函数)(xf的解析式； 2当6, 2t时，求)(xf在0 ,2上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想)(xf在2,0上的单调递增区间不必证明； 3当9t时，证明：函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。解： 12,0 x时，0 ,2x， 则3321)(21)()(xtxxxtxf， 函数)(xf是定义在2,2上的奇函数，即xfxf，321xtxxf，

24、即321)(xtxxf，又可知00f，函数)(xf的解析式为321)(xtxxf，2,2x；2221xtxxf，6,2t，0,2x，0212xt，2783212121332222222txtxtxxtxxf，2221xtx，即36,322txtx)0,236(t时，ttf962min。猜想)(xf在2,0上的单调递增区间为36,0t。39t时，任取2221xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页0212221212121xxxxtxxxfxf，xf在2,2上单调递增， 即2,2ffxf，即42 ,24ttxf，9

25、t，1442,1424tt，42,2414tt，当9t时，函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。11. 记函数272xxxf的定义域为A，Rabaxbxxg,012lg的定义域为B，1求A：2假设BA，求a、b的取值范围解： 1,32,0230272xxxxxxA，2012axbx，由BA，得0a，则aorxbx12，即,21,baB，012320ab6021ba。12 对于在,a b上有意义的两个函数( )f x与( )g x，如果对任意的 , xab，均有1)()(1xgxf，则称( )f x与( )g x在,a b上是接近的，否则称( )f x与( )g x在,a b上是非

26、接近的.现在有两个函数( )log (3 )tf xxt与1( )log ()(01)tg xttxt且，现给定区间2,3tt. (1) 假设12t，判断( )fx与( )g x是否在给定区间上接近；(2) 假设( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上都有意义，求t的取值范围；(3) 讨论( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上是否是接近的. 解： 1当12t时，1231( )( )log ()()22f xg xxx1221log (1)4x令1221( )log (1)4h xx，当5 7,2 2x时，12( )log 6, 1h x即|( )( )| 1fxg x，( )

27、f x与( )g x是否在给定区间上是非接近的. 4 分(2) 由题意知，0t且1t，230tt，20tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页01t 4 分(3)22|( )( ) | |log (43 ) |tf xg xxtxt假设( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上是接近的，则有22|log (43) | 1txtxt221log (43 )1txtxt * 令 Gx=22log (43)txtxt，当01t时，2,3tt在2xt的右侧，即 Gx=22log (43)txtxt，在2,3tt上为减

28、函数，max( )log (44 )tG xt，min( )log (96 )tG xt所以由 *式可得01log (44 )1log (96 )1ttttt，解得957012t因此，当957012t时，( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上是接近的；当95712t时，( )f x与( )g x在给定区间2,3tt上是非接近的 . 14 分13集合 A是由具备以下性质的函数)(xf组成的：(1) 函数)(xf的定义域是0,)；(2) 函数)(xf的值域是 2,4)；(3) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究以下两小题：判断函数1( )2(0)fxxx，及21( )46 () (

29、0)2xfxx是否属于集合A？并简要说明理由对于I 中你认为属于集合A的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任意的0 x总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论解：1函数2)(1xxf不属于集合A. 因为1( )fx的值域是 2,), 所以函数2)(1xxf不属于集合A.( 或1490,(49)54xf当时，不满足条件.) xxf)21(64)(2(0)x在集合 A中, 因为 : 函数2( )fx的定义域是0,)； 函数2( )fx的值域是 2,4)； 函数2( )fx在0,)上是增函数20)41()21(6) 1(2)2()(xxfxfxf，)1(2)2

30、()(xfxfxf不等式对于任意的0 x总成立14、设函数f(x)=ax2+bx+1a,b 为实数 ,F(x)=)0()()0()(xxfxxf1假设 f(-1)=0且对任意实数x 均有 f(x)0成立，求 F(x) 表达式。2在 1的条件下 , 当 x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数 , 求实数 k 的取值范围。3 理设m0,n0,a0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页解： 1f(-1)=0 1ab由 f(x)0 恒成立知 =b2-4a=(a+1)

31、2-4a=(a-1)20 a=1 从而 f(x)=x2+2x+1 F(x)=)0() 1()0()1(2xxxx，2由 1可知 f(x)=x2+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1，由于 g(x) 在2,2上是单调函数 ,知 -222k或-222k，得 k-2 或 k6 ，3f(x)是偶函数，f(x)=f(x)，而 a0)(xf在,0上为增函数对 于F(x)， 当x0时 -x0 ， F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)， 当x0 ，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x) 是奇函数且F(x) 在，0上为增函数，m0,n-n0 知 F(m)F(-n

32、) F(m)-F(n) F(m)+F(n)0 。15函数 f(x)=baxx(a，b 是非零实常数)，满足 f(2)=1 ，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A( 3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离 |AP|的最小值。解 (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2，又 x=0 一定是方程baxx=x 的解，所以bax1=1 无解或有解为0，假设无解，则ax+b=1 无解，得 a=0，矛盾，假设有解为0，则 b=1，所以 a=21。(2)f(x)=

33、22xx，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立，取x=0 ， 则f(0)+f(m 0)=4 ， 即22mm=4 ， m= 4( 必 要 性 ) ， 又m= 4时 ，f(x)+f( 4 x)=24)4(222xxxx= =4 成立 (充分性 ) ，所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立，(3)|AP|2=(x+3)2+(22xx)2，设 x+2=t，t0， 则|AP|2=(t+1)2+(tt4)2=t2+2t+2t8+216t=(t2+216t)+2(tt4)+2=(t t4)2+2(tt4)+10=( t t4+1)

34、2+9，所以当 tt4+1=0 时即 t=2171，也就是x=2175时， |AP| min = 3 。16、已知函数xmxxxf11log2)(2是奇函数。1求m的值；2请讨论它的单调性，并给予证明。解 1)(xf是奇函数，0)()(xfxf；即0)11log2()11log2(22xmxxxmxx，解得：1m，其中1m舍 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页经验证当1m时，)1 , 00 , 1(11log2)(2xxxxxf确是奇函数。2先研究)(xf在 0， 1内的单调性，任取x1、x2 0，1 ，且设 x10，即)(xf在 0， 1内单调递减；由于)(xf是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数)(xf在 1，0内单调递减。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页