2022年高中数学知识点和公式基本 .pdf

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1、名师精编优秀资料高中数学公式大全、高考数学解题方法思路总结高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:UxAxC A,UxC AxA.AA?2 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个. 6 四种命题的相互关系( 下图 ): （原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. ）原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非充要条件：(1) 、pq，则 P是 q 的充分条件，反之，q是 p 的必要条件；（2） 、pq，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3) 、p p ，且qp，则

2、P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P是 q 的既不充分又不必要条件。8 函数的奇偶性： （注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数9 函数的周期性：定义： 对函数 f（x） ，若存在 T0，使得 f（x+T ）=f（x） ，则就叫f（x）是周期函数，其中，T 是 f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1) 、f（x+T）= - f（x） ，此时周期为2T ；（2） 、 f

3、（x+m） =f（x+n） ，此时周期为2mn；(3) 、1()( )f xmf x，此时周期为2m 。10 常见函数的图像：k0y=kx+boyxa0y=ax2+bx+coyx0a11y=axoyx0a11y=logaxoyx11 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是2bax; 两个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 12 分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa（0,am nN，且1n）

4、. （2）11mnmnmnaaa（0,am nN，且1n）. （3）()nnaa. （4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 13 指数式与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN. 指数性质：(1) 1、1ppaa；（2） 、01a（0a）； (3) 、()mnmnaa(4) 、(0, ,)rsrsaaaar sQ；(5) 、mnmnaa；指数函数：(1) 、(1)xya a在定义域内是单调递增函数；（2） 、(01)xyaa在定义域内是单调递减函数。注：指数 函数图象都恒过点（0，1）对数性质：(1) 、logloglog ()aaaMNM

5、N； （2） 、logloglogaaaMMNN；(3) 、loglogmaabmb；(4) 、loglogmnaanbbm；(5) 、log 10a(6) 、log1aa；(7) 、l o gabab对数函数：(1) 、log(1)ayx a在定义域内是单调递增函数；（2） 、log(01)ayxa在定义域内是单调递减函数；注：对数 函数图象都恒过点（1， 0）(3) 、l og0,( 0, 1),(1,axa xa x或(4) 、log0(0,1)(1,)axax则或(1,)(0,1)ax则14 对数的换底公式 :logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N).

6、对数恒等式：logaNaN(0a, 且1a,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0N). 15 对数的四则运算法则: 若 a0，a1，M 0， N 0，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编优秀资料(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR; (4) loglog( ,)mnaanNN n mRm。16 平均增长率的问题（负增长时0p） ：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总

7、产值y，有(1)xyNp. 17 等差数列：通项公式：（1）1(1)naand，其中1a为首项， d 为公差， n 为项数，na为末项。（ 2）推广：()nkaank d（ 3）1(2)nnnaSSn（注 ：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（ 1）1()2nnn aaS；其中1a为首项， n 为项数，na为末项。（ 2）1(1)2nn nSnad（ 3）1(2)nnnSSan（注 ：该公式对任意数列都适用）（ 4）12nnSaaa（注 ：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；注： 若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p

8、 成等差。（2） 、若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列。（3） 、na为等差数列，nS为其前 n 项和，则232,mmmmmSSSSS也成等差数列。（4） 、,0pqpqaqapa 则；（5）1+2+3+n=2)1(nn等比数列：通项公式：（1）1*11()nnnaaa qqnNq，其中1a为首项， n 为项数， q 为公比。（2）推广：n knkaaq（3）1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）1(2)nnnSSa n（注：该公式对任意数列都适用）（2）12nnSaaa（注：该公式对任意数列都适用）精选学习资料 - - - - - - - - -

9、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料（3）11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq常用性质：（1） 、若 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；注： 若,mnpaa a是的等比中项，则有2mnpaaan、m、p 成等比。（ 2） 、若na、nb为等比数列，则nnab为等比数列。20 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=cossin，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincos

10、ab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ). 23 二倍角公式及降幂公式sin 2sincos22tan1tan. 2222cos2cossin2cos112sin221tan1tan. 22tantan21tan. sin 21cos2tan1cos2sin 2221cos21cos2sin,cos2224 三角函数的周期公式函数sin()yx， x R 及函数cos()yx， x R(A, ,为常数，且A 0) 的周期2|T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0) 的周期|T. 三角函数的图像：-11y=sinx-223

11、/2 /2-3 /2- /2oyx-11y=cosx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx25 正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）. 2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC:sin:sin: sina b cABC26 余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC. 27 面积定理：（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、c 边上的高） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优

12、秀资料（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 2,2abcSrrabc斜边内切圆直角内切圆28 三角形内角和定理：在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 29 实数与向量的积的运算律: 设、 为实数，那么：(1) 结合律： ( a)=( ) a; (2) 第一分配律：( +) a=a+a; (3) 第二分配律：(a+b)= a+b. 30a与b的数量积 (或内积 ) ：ab=|a|b|cos。31 平面向量的坐标运算：(1) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)

13、xxyy. (2) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy. (3)设 A11(,)x y，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. (4) 设a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212()x xy y. 32 两向量的夹角公式：121222221122cos| |x xy ya babxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy). 33 平面两点间的距离公式：,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).

14、 34 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则：a|bb=a12210 x yx y. （交叉相乘差为零）ab (a0)ab=012120 x xy y. （对应相乘和为零）35 线段的定比分公式： 设111(,)P x y，222(,)P xy，( ,)P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. 36 三角形的重心坐标公式： ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则 ABC的重心的坐标是123123(,

15、)33xxxyyyG. 37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料（2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 38 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）, a

16、 bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）bababa. （5）22222ababababab( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) 。42 斜率公式：2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 44 夹角公式：(1)2121tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) 直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2. 45 1l到2l的角公式：(1)212 1tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k) 直线12ll时，直线l1到

17、 l2的角是2. 46 点到直线的距离：0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程cossinxarybr. （4）圆的直径式方程1212()() ()()0 x x x xy yy y( 圆的直径的端点是11( , )Ax y、22( , )B x y). 48 点与圆的位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ; dr点P在圆上 ;

18、 dr点P在圆内 . 49 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ： 直 线0CByAx与 圆222)()(rbyax的 位 置 关 系 有 三 种(22BACBbAad): 0相离rd;0相切rd;0相交rd. 50 两圆位置关系的判定方法: 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料ddd相离外切相交内切内含r1+r2r2-r1od条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121

19、rrd; 无公切线内含210rrd. 51 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba. 52 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc；1221|tan2F PFPF PFSc yb。53 椭圆的的内外部: （1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22

20、221(0)xyabab的外部2200221xyab. 54 椭圆的切线方程: (1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 55 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa， 准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离 ( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.焦半径公式2

21、1| ()| |aPFe xaexc，22| () | |aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb。56 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料(3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . (4) 焦

22、点到渐近线的距离总是b。57 双曲线的切线方程: (1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. (2)过双曲线22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）双曲线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 58 抛物线pxy22的焦半径公式: 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 59 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(

23、,)24bacbaa； （2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya. 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或222221211212(1)()4|1tan| 1tABkxxxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，2121212|()4xxxxx x. 61 证明直线与平面的平行的思考途径: （1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 62 证明直线与平面垂直的思考途径: （1）转

24、化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算：设a123(,)a aa，b123(,)b b b则：(1) ab112233(,)ab ab ab；(2) ab112233(,)ab ab ab；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编优秀资料(3) a1

25、23(,)aaa ( R)；(4) ab1 12 233a ba ba b；65 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则1 1223 3222222123123cos,a ba ba ba baaabbb. 66 异面直线间的距离：|CD ndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离 ). 67 点B到平面的距离：|AB ndn（n为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段）. 68 球的半径是R，则其体积343VR, 其表面积24SR69 球的组合体： (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体

26、对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a( 正四面体高63a的14), 外接球的半径为64a( 正四面体高63a的34). 70 分类计数原理（加法原理）：12nNmmm.分步计数原理（乘法原理 ） ：12nNmmm. 71 排列数公式：mnA=) 1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn) 规定1! 0.72 组合数公式：mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnm

27、n(nN*，mN，且mn). 组合数的两个性质:(1)mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1. 规定10nC.73 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，. 2012( )()nnnf xaxbaa xa xa x的展开式的系数关系：76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：( )(1).kkn knnP kC PP77 数学期望：1122nnEx Px Px P数学期望的性质（1）()( )E abaEb. （2）若( ,)B n p, 则Enp. (3

28、)若服从几何分布, 且1()( ,)kPkg k pqp，则1Ep.78 方差：2221122nnDxEpxEpxEp标准差：=D. 方差的性质：(1)2D aba D；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编优秀资料(2 ）若( ,)B n p，则(1)Dnpp. (3)若服从几何分布 , 且1()( ,)kPkg k pqp，则2qDp.方差与期望的关系：22DEE. 79 正态分布密度函数：22261,26xfxex，式中的实数 ，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2( ,)N，取值小于x

29、的概率：xFx. 12201xxPxxPxxxP81 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义：函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 82 几种常见函数的导数：(1) 0C（C为常数） .(2) 1()()nnxnxnQ.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；1(log)logaaxex. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 83 导数的运算法则：（1）()uvuv.（ 2）()uvu vuv.（3）2()(0)uuvuvvvv

30、. 85 复数的相等：,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）86 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 87 复平面上的两点间的距离公式：22122121|()()dzzxxyy（111zxy i，222zxy i）. 88 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，若240bac, 则21,242bbacxa; 若240bac, 则122bxxa; 若240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页