2022年高考数学压轴题练习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载1抛物线 C的方程为，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 00)作斜率为 k1,k2的两条直线分别交抛物线C于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 两点 (P,A,B 三点互不相同 ) ，且满足. （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线 AB上一点 M ，满足，证明线段PM的中点在 y 轴上；（3）当=1 时，若点 P的坐标为（ 1， 1），求 PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围 . 答案为：21. （1）解：由抛物线C的方程 y=ax2(a0) 得，焦点坐标为（0,），准线方程为 y= （2）证明：设直线PA的方程为 yy0=k1(x x0). 直线

2、PB的方程为 y-y0=k2(x-x0) 点 P(x0,y0) 和点 A(x1,y1) 的坐标是方程组的解，将式代入式得ax2k1x+k1x0y0=0，于是 x1+x0=, 故 x1=x0 又点 P(x0,y0) 和点 B(x2,y2) 的坐标是方程组的解，将式代入式得ax2k2x+k2x0y0=0，于是 x2+x0=，故 x2=-x0由已知得， k2=k1，则 x2=k1x0 设点 M的坐标为（ xM, yM），由，则 xM=将式和式代入上式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载 xM=-x0，即 x

3、M+x0=0，所以，线段PM的中点在 y 轴上 . （3）解：因为点P(1, 1) 在抛物线 y=ax2上，所以 a=1，抛物线方程为y=x2. 由式知 x1=k11，代入 y= x2得 y1= (k1+1)2将=1 代入式得 x2=k11，代入 y=x2得 y2=(k11)2. 因此，直线 PA、PB 分别与抛物线C的交点 A、B的坐标为 A( k11, k122k11), B(k11, k12+2k11) 于是=(k1+2, k12+2 k1), =(2k1,4k1) =2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1) =2k1 (k1+2)(2k1+1) 因 PAB为钝角且 P、A、B三点互

4、不相同，故必有0，即 k1 (k1+2)(2k1+1)0, 求得 k1的取值范围为k1 2 或k10 又点 A的纵坐标 y1满足 y1= (k1+1)2，故当 k12 时， y10 ）相交于 A、B 两点。（）若点 N是点 C关于坐标原点 O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）19本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 . 解法 1：（）依题意，点N 的坐标为 N（0,-p）

5、,可设 A（x1,y1）,B（x2,y2），直线 AB的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得.22pkxypyx消去 y得 x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是21221xxpSSSACNBCNABN21221214)(xxxxpxxp.228422222kppkpp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载222min0pSkABN）时，（当. （）假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为为直与ACtO ,径的圆相交于点 P

6、、Q，PQ的中点为 H，则）点的坐标为（2,2,11pyxOPQHO2121)(2121pyxACPO22121py. ,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy),()2(1apaypa22)2(PHPQ=.)()2(42apaypa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载令02pa，得pPQpa此时,2为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线. 解法 2：（）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11

7、pkpkxxxxkxxkAB.21222kkp又由点到直线的距离公式得212kpd. 从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN）时，（当（）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a，则以 AC为直径的圆的方程为, 0)()(0(11yypyxxx将直线方程 y=a 代入得).(1)2(4)(4,0)(121112apaypayapaxyapaxxx则设直线 l与以 AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有. )()2(2)()2(41143apaypaapaypaxxPQ令pPQpapa此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py. 即抛物线的通径所在的直线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页