2022年高考数学总复习------排列组合与概率统计 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高考数学总复习- 排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. 排列与组合的主要公式排列数公式：)1() 1()!(!mnnnmnnAmn(m n)Ann=n! =n(n 1)(n 2) .21. 组合数公式：12) 1()1()1()!( !mmmnnnmnmnCmn

2、(mn).组合数性质：mnnmnCC(m n). nnnnnnCCCC22101314202nnnnnnCCCCC2.二项式定理 二项式定理(a +b)n =C0nan +C1nan1b+ +Crnanrbr+ Cnnbn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有 n+1 项，第 r+1 项是 Tr+1 =Crnanrbr. 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项 Tr+1=Crnanrbr(r=0,1, n)叫做二项展开式的通项公式。 二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“ 等距离 ” 的两个二项式系数相等，即 Crn= Crnn(r=0,1,2,n).若 n 是偶数，则中间项

3、(第12n项)的二项公式系数最大，其值为C2nn；若 n 是奇数，则中间两项 (第21n项和第23n项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C21nn= C21nn. 所有二项式系数和等于2n，即 C0n+C1nC2n+ +Cnn=2n. 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载即 C0n+C2n+ =C1n+C3n+ =2n1. 3.概率（1）事件与基本事件：:SSS随机事件在条件 下, 可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件 : 在条件 下, 一定不会

4、发生的事件确定事件必然事件 : 在条件 下, 一定会发生的事件基本事件： 试验中不能再分的最简单的“ 单位 ” 随机事件； 一次试验等可能的产生一个基本事件； 任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化（3）互斥事件与对立事件：（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“ 等可能发生的有限个基本事件” 的概率模型几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（

5、面积或体积）成比例两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：()AP A包含的基本事件的个数基本事件的总数几何概型的概率计算公式：( )AP A构成事件的区域长度 (面积或体积 )试验全部结果构成的区域长度( 面积或体积 )两种概型概率的求法都是“ 求比例 ” ，但具体公式中的分子、分母不同（6）概率基本性质与公式事件A的概率( )P A的范围为：0()1P A互斥事件A与B的概率加法公式：()( )()P ABP AP B对立事件

6、A与B的概率加法公式：()()1P AP B（7）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是pn(k) = Cknpk(1 p)nk.实际上，它就是二项式(1 p)+pn的展开式的第k+1 项. 事件定义集合角度理解关系互斥事件事件A与B不可能同时发生两事件交集为空事件A与B对立，则A与B必为互斥事件；事件A与B互斥，但不一是对立事件对立事件事件A与B不可能同时发生，且必有一个发生两事件互补精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载（ 8）独立重复试验与二项

7、分布一般地， 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验注意这里强调了三点： （1）相同条件；（2）多次重复； （3）各次之间相互独立；二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为()(1)(0 1 2)kknknP XkC ppkn， ， ，此时称随机变量X服从二项分布，记作()XB np，并称p为成功概率4、统计（1）三种抽样方法简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回我们在抽样调查中用的是不放回抽

8、取简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2， ，9 这十个数字的数表随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样系统抽样的操作步骤：

9、第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当Nn（为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，Nkn；当Nn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数能被 n 整除，这时Nkn；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则抽取样本 通常是将l加上间隔k 得到第 2个编号 ()lk ，将 ()lk 加上 k，得到第 3 个编号(2 )lk ，这样继续下去，直到获取整个样本分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层； 在各层中按

10、层在总体中所占比例进行简单随机抽样分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载用样本

11、频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤画样本频率分布直方图的步骤：求全距 决定组距与组数 分组 列频率分布表画频率分布直方图茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为211()niisxxn 有时也用标准差的平方 方差来代替标准差，两者实质上是一样的（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系在本章中

12、， 我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程 通常我们使用散点图， 首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图 然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器（4）求回归直线方程的步骤：

13、第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nniiiiix yx yx，；第二步：计算回归系数的a，b，公式为1112211()()()nnniiiiiiinniiiinx yxybnxxaybx，；第三步：写出回归直线方程ybxa（4）独立性检验22列联表： 列出的两个分类变量X和Y，它们的取值分别为12,x x和12,yy的样本频数表称为2 2列联表 1分类y1 y2 总计x1 ababx2 cdcd总计acbdabcd构造随机变量22()()()()n adbcKab cdac bd（其中nabcd）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 4 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载得到2K的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果2.706k，就有0090的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果3.841k就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果6.635k就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果低于2.706k，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系【典型例题】考点一： 排列组合【方法解读 】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步对“ 组合数 ” 恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用 “ 直接法 ” 还是用 “ 间接法 ” 解组合题，其前提是“

15、 正难则反 ” ；2、解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。分步处理： 对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步， 再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。插空法： 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件

16、的元素按要求插入排好的元素之间。捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“ 捆绑 ” 为一个大元素，然后再与其余“ 普通元素 ”全排列，最后再“ 松绑 ” ，将特殊元素在这些位置上全排列。穷举法： 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。【命题规律 】 排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。例1. （ 2010 天 津 ） 如 图 ， 用 四 种 不 同 颜 色 给 图 中 的A,B,C,D,E,F 六个点涂色， 要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）A.288 种B.264 种C.240 种D.

17、168 种【提示】 (1)B,D,E,F 用四种颜色， 则有441 124A种涂色方法；(2)B,D,E,F 用三种颜色， 则有3344222 1 2192AA种涂色方法；(3)B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A种涂色方法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载所以共有24+192+48=264 种不同的涂色方法。故选B 例 2、某校开设10 门课程供学生选修，其中A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（B ）A120 B9

18、8 C63 D56 【提示】分两类：第一类A，B，C 三门课都不选，有37C35 种方案；第二类A，B，C 中选一门，剩余7 门课中选两门，有13C27C63 种方案故共有356398 种方案故选B 例 3、某班新年联欢会原定的6 个节目已排成节目单，开演前又增加了3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(A) A504 B210 C336 D120 【提示】三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7,8,9 种方法，插法种数为7 8 9504 或9966AA504.故选 A 考点二： 二项式定理【内容解读 】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一

19、些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；【命题规律 】历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理 及其系数性质， 会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。例 4、设88018(1),xaa xa x则0,18,a aa中奇数的个数为（）A2 B3 C4 D5 解：由题

20、知)8,2, 1 ,0(8iCaii，逐个验证知18808CC，其它为偶数，选A。例 5、组合数 Crn（n r1 ，n、rZ）恒等于（）Ar+1n+1Cr-1n-1B(n+1)(r+1)Cr-1n-1Cnr Cr-1n-1DnrCr-1n-1解：由11!(1)!()!(1)!(1)(1)!rrnnnnnnCCrnrrrnrr.例 6、在)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载

21、解：本题可通过选括号 （即 5 个括号中4 个提供x，其余 1 个提供常数） 的思路来完成。故含4x的项的系数为( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)15.例 7、若 (x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解 ：因为1()2nxx的展开式中前三项的系数0nC、112nC、214nC成等差数列，所以02114nnnCCC，即2980nn，解得：8n或1n（舍） 。88 218811()( )22rrrrrrrTC xC xx。 令824r可 得 ，2r， 所 以4x的 系 数 为2281( )72C，故选 B。考点三 ：

22、概率【内容解读 】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、 独立事件的概率、事件在 n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、 离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。【命题规律 】（ 1）概率统计试题的题量大致为2 道，约占全卷总分的6 -10，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文

23、教育的精神。例 8、在平面直角坐标系xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。解： 如图：区域 D 表示边长为4 的正方形ABCD 的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此214416P。答案16点评 ：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。例 9、从编号为1,2, ,10的 10 个大小相同的球中任取4 个，则所取4 个球的最大号码是 6 的概率为(A)184(B)121(C)25(D)35解：35410121CPC，故选 B。点评 ：本小题主要考查组合的基本知识及

24、等可能事件的概率。例 10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18 的 18 名火炬手 .若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成3 为公差的等差数列的概率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载（A）511（B）681（C）3061（D）4081解：基本事件总数为31817 163C。选出火炬手编号为13(1)naan，11a时，由1,4,7,10,13,16可得 4 种选法；12a时，由2,5,8,11,14,17可得 4 种选法；13a时，由3,6,9,12,15,18可得

25、 4 种选法。4441.17 16 368P点评： 本题考查古典概型及排列组合问题。例 11、某一批花生种子，如果每1 粒发牙的概率为45,那么播下 4 粒种子恰有2 粒发芽的概率是（）A.16625B. 96625C. 192625D. 256625解：独立重复实验4(4,)5B，22244196(2)55625P kC例 12、某射击测试规则为：每人最多射击3 次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1 i(1 2 3)i，分，3 次均未击中目标得0 分已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响（）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学

26、期望解： （）设该射手第i次击中目标的事件为(1 2 3)iA i， 则( ) 0 . 8( ) 0 . 2iiP AP A，()()()0.20.80.16iiiiP A AP A P A（）可能取的值为0，1，2，3的分布列为00.0081 0.03220.163 0.82.752E. 例 13、随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检， 其中有一等品126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品4 件已知生产1 件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、 2 万元、1 万元，而1 件次品亏损2 万元设1 件产品的利润（单位：万元）为0 1 2 3 P0.008 0.032 0.16

27、 0.8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载（ 1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望） ；（3）经技术革新后， 仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，则三等品率最多是多少？解：的所有可能取值有6， 2， 1， -2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P20(1)0.1200P，4(2)0.02200P故的分布列为：6 2 1 -2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （ 2）

28、60.6320.2510.1( 2)0.024.34E（ 3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1 件产品的平均利润为( )60.72(10.70.01)( 2)0.014.76(00.29)E xxxx依题意，( )4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x所以三等品率最多为3%考点四 ：统计【内容解读 】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤 会用三种抽样方法从总体中抽取样本会用样本频率分布估计总体分布会用样本数字特征估计总体数字特征会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。【命题规律 】（ 1）概率统计试题的题量

29、大致为2 道，约占全卷总分的6 -10，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。例 14、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗 Y(吨标准煤 )的几组对照数据3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于 x的线性回归方程Y=b

30、x+a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 (2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值： 325+43+54+64 5=66.5) 解：(1)散点图略 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载视力4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 0.1 0.3 组距频率(2)4166.5iiix y, 463x y, 42186iix, 2481x由所提供的公式可得0.7b0.35

31、a,故所求线性回归方程为0.70.35yx10分(3)100(0.71000.35)29.65吨 . 例 15、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名进校学生的视力情况， 得到频率分布直方图,如图 .已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列na的前四项，后6 组的频数从左到右依次是等差数列nb的前六项()求等比数列na的通项公式 ; （ )求等差数列nb的通项公式；()若规定视力低于5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小 . 解：由题意知：10.1 0.1 1001a，20.30.1 1003.a数列na是等比数列，公比213,aqa1113nnn

32、aa q. 123aaa=13, 126123100()87bbbaaa，数列nb是等差数列，设数列nb公差为d，则得，1261615bbbbd1615bd87，2741ab，5d，nbn532=12312340.91100aaabbbb, (或=5610.91100bb) 答:估计该校新生近视率为91%. 例 16、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

33、19 页优秀学习资料欢迎下载日期1月 10日2月 10日3月 10 日4月 10日5月 10日6 月 10 日昼夜温差x( C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2 组 ,用剩下的4 组数据求线性回归方程 ,再用被选取的2 组数据进行检验. ()求选取的2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(5 分) ()若选取的是1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据 ,求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa； (6 分) ()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超

34、过2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3 分) (参考公式 : 1122211()(),()nniiiiiinniiiix ynx yxxyybaybxxnxxx) 解：()设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有15 种情况 ,每种情况都是等可能出现的其中 ,抽到相邻两个月的数据的情况有5 种所以31155P(A)( )由数据求得11,24xy由公式求得187b再由307aybx所以y关于x的线性回归方程为183077yx()当10 x时,1507y, 150|22|27；同样 , 当6x时,787y, 78|14

35、| 27所以 ,该小组所得线性回归方程是理想的. 四、复习建议1. 对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的联系与区别. 2. 复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力 . 3. 注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法. 4、注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法， 独立性检验的方法及其应用问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11

36、 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载【模拟演练】计数原理部分：1.(2010 湖南)在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A10 B.11 C.12 D.15 【提示】与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110 有两个对应位置上的数字相同有24C6 （个）第二类 : 与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有14C4 （个）第三类 : 与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同有04C1 （个）与信息

37、 0110 至多有两个对应位置上的数字相同信息有6+4+1=11 故选 B 2只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(C) A6 个B9 个C18 个D 36 个【提示】由题意知，1,2,3 中必有某一个数字重复使用2 次第一步确定谁被使用2 次，有 3种方法； 第二步把这2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有 3 种方法； 第三步将余下的2 个数放在四位数余下的2 个位置上，有2 种方法故共可组成3 3 218 个不同的四位数故选C 3(2011 淮阴一模 )已知集合M1， 2,3 ，N 4,5,6， 7，从两个集

38、合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(D) A18 B10 C 16 D14 【提示】 M 中的元素作点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2 2个，在第二象限的点共有1 2 个 N 中的元素作点的横坐标，M 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2 2 个， 在第二象限的点共有2 2 个 所求不同的点的个数是2 21 22 22 214(个).故选 D 4.(2010本溪模拟 )如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC 与正三棱柱ABC A1B1C1组合而成，现用3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C

39、1不涂色 )，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_12_种提示：先涂三棱锥PABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有13C12C11C12C3 2 1 212 种不同的涂法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载5设集合A1,2,3,4 ，m，nA，则方程221xymn表示焦点在x 轴上的椭圆有(D) A6 个B8 个C12 个D16 个【提示】因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m4 时， n1,2,3；当 m3 时，n1,2；当 m2 时， n1.即满足条件的椭圆共有3216 个故选

40、 D 6有不同的语文书9 本，不同的数学书7 本，不同的英语书5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有(C) A21 种B315 种C143 种D153 种【提示】111111597795143CCCCCC故选 C 6从 5 位同学中选派4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2 人参加，星期六、星期日各有1 人参加，则不同的选派方法共有(B) A40 种B60 种C100 种D120 种【提示】由题意可列式为42254260()C CA种故选 B 7 （ 2010 全国卷 1 理）某校开设A 类选修课3 门， B 类选择课4 门，一位同学从中共

41、选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( A ) A .30 种B.35 种C.42 种D.48 种【提示】用间接法33374330CCC种,故选 A 8 （ 2010广东）为了迎接20XX 年广州亚运会，某大楼安装5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同 记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中， 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮， 而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（C ）A、 1205 秒B.1200 秒C.1195 秒D.1190 秒

42、【提示】每次闪烁时间5 秒，共 5 120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共 5 （120-1）=595s总共就有600+595=1195s故选 C 9 （ 2010全国卷 1）某学校开设A 类选修课3 门， B 类选修课4 门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种30 .(用数字作答 ) 【提示】可分以下2 种情况 :(1)A 类选修课选1 门 ,B 类选修课选2 门,有1234C C种不同的选法;(2)A类选修课选2 门,B 类选修课选1 门有2134C C种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C+2134181230C C种. 10“ 渐升

43、数 ” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 458） ，若把四位 “ 渐升数 ” 按从小到大的顺序排列，则第30 个数为1359 . 【 提 示 】渐 升 数 由 小 到 大 排 列 ， 形 如的 渐 升 数 共 有 ：6+5+4+3+2+1=21 （个） ，如 123 ，个位可从4，5，6，7，8，9 六个数字选一个，有6 种等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载形如的渐升数共有5 个；形如的渐升数共有4 个，故此时共有21+5+4=30 个，因此从小到大的渐升数的第30 个必为 1

44、 359，所以应填1 359. 11用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙 )，要求在四个区域中相邻(有公共边界 )的区域不用同一颜色(1)若 n6，则为甲图着色的不同方法共有_480_种；(2)若为乙图着色时共有120 种不同方法，则n_5_. 【提示】 (1)由分步乘法计数原理，对区域按顺序着色，共有 6 5 4 4480 种方法(2)与第 (1)问的区别在于与相邻的区域由2 块变成了3 块同样利用分步乘法计数原理，得 n(n1)(n2)(n 3) 120.所以 (n23n)(n23n2)120， 即(n23n)22(n23n)12 100，所以 n23n100，n23n12

45、0(舍去 )，解得 n 5，n 2(舍去 )12如图所示， 在 A，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落， 则可能导致电路不通今发现 A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_13_种【提示】每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1 个或多个焊接点脱落，问题比较复杂 但电路通的情况却只有3 种，即 2 或 3 脱落或全不脱落因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24313 种情况13现有高一四个班学生34 人，其中一、二、三、四班各7 人、 8 人、 9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同

46、的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解： (1)分四类，第一类，从一班学生中选1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选1人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选1人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选1人，有 10 种选法，所以，共有不同的选法N78 910 34(种)(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N7 8 9 105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页优秀学

47、习资料欢迎下载从一班、二班学生中各选1 人，有 7 8 种不同的选法；从一、三班学生中各选1 人，有 7 9 种不同的选法，从一、四班学生中各选1 人，有 7 10 种不同的选法；从二、三班学生中各选1 人，有 8 9 种不同的选法；从二、四班学生中各选1 人，有 8 10 种不同的选法；从三、四班学生中各选1 人，有 9 10 种不同的选法，所以共有不同的选法N7 87 97 108 98 109 10431(种)概率统计部分：1在一所有1000 名学生的学校中随机调查了100 人，其中有85 人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1 人，上学之前吃过早餐的概率是（）A0.85 B0.085

48、C0.1 D850 2一布袋中有红球8 个， 白球 5 个和黑球12 个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1 球不是黑球的概率为（）A825B15C1225D13253某商店举办有奖销售活动，购物满100 元者发兑奖券一张，在10000 张奖券中，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖100 个，若某人购物满100 元，那么他中一等奖的概率是（）A1100B11000C110000D111100004如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）A25B310C320D155军军的文具盒中

49、有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（）A56B13C15D166甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得1 分；乙学生抛出一正一反得1 分那么各抛掷100 次后他们的得分情况大约应为（）A甲 25 分，乙 25分B甲 25 分，乙 50 分C甲 50 分，乙 25分D甲 50 分，乙 50 分二、填空题1口袋中放有3 只红球和11 只黄球， 这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

50、 -第 15 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载任取一只球，取到黄球的概率是_2 一个口袋中有4 个白球， 1 个红球， 7 个黄球搅匀后随机从袋中摸出1 个是白球的概率是 _320XX 年 5 月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、 34、30、32、 31，这组数据的中位数是_. 4为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：区域1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量 (mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 则该县这10 个区域降雨量的众数为_(mm) ；平均