2022年选修4-4坐标系与全参数方程知识点总结材料及同步练习 .pdf

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1、实用文档文案大全1 坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyygg的作用下, 点 P(x,y) 对应到点(,)Px y, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景

2、 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径, 记为; 以极轴Ox为始边 , 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角, 记为.有序数对( , )叫做点 M的极坐标 , 记作( , )M. 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为0,可取任意实数 . 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为 (0, )(R). 和直角坐标不同 ,平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

3、页，共 19 页实用文档文案大全2 内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示;同时, 极坐标(, )表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 : (2) 互化公式 :设M是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是( , )x y, 极坐标是(, )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M直角坐标( , )x y极坐标(, )互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情

4、况下 , 由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角 . 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 ,半径为r的圆(02 )r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页实用文档文案大全3 圆心为( ,0)r,半径为r的圆2 cos ()22r圆心为( ,)2r,半径为r的圆2 sin(0)r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过点( ,)2a, 与极轴平行的直线sin(0)a注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,

5、即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 . 例如对于极坐标方程,点(,)44M可以表示为5(,2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式 ,其中, 只有(,)44的极坐标满足方程. 二、参数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页实用文档文案大全4 1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )

6、xf tyg t, 并且对于t的每一个允许值 , 由方程组所确定的点( , )M x y都在这条曲线上 , 那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数, x y的变数t叫做参变数 ,简称参数 , 相对于参数方程而言 ,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t,把它代入普通方程 ,求出另一个变数与参数的关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程 , 在参

7、数方程与普通方程的互化中 , 必须使,x y的取值范围保持一致 . 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示， 设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设( , )M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。精选学习资料

8、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页实用文档文案大全5 4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2） 。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来， 除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内

9、），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot(0,2 ).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypx p的参数方程为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程精选学习资料 - - - - - - -

10、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页实用文档文案大全6 经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M Muu uuu u r的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也

11、可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。选修 4-4 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题1若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（）A23 B 23C32 D 322下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

12、第 6 页，共 19 页实用文档文案大全7 A1(,2)2 B 3 1(,)4 2 C (2,3) D (1, 3)3将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（）A2yx B 2yx C 2(23)yxx D 2(01)yxy4化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（）A201yy2x或 B 1x C 201y2x或x D 1y5点M的直角坐标是( 1,3)，则点M的极坐标为（）A(2,)3 B (2,)3 C 2(2,)3 D (2, 2),()3kkZ6极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆二、填空题1

13、直线34()45xttyt为参数的斜率为 _ 。2参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为 _ 。3已知直线11 3:()24xtltyt为参数与直线2: 245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_ 。4直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为 _ 。5直线cossin0 xy的极坐标方程为 _ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页实用文档文案大全8 三、解答题1已知点( , )P x y是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0 xya恒成立，求

14、实数a的取值范围。2求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:2 30lxy的交点P的坐标，及点P与(1, 5)Q的距离。3在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120 xy的距离的最小值。数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 一、选择题1直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与( , )P a b之间的距离是（）A1t B 12 t C 12 t D 122t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页实用文档文案大全9 2参数方程为1()2xtt

15、ty为参数表示的曲线是（）A一条直线 B 两条直线 C 一条射线 D 两条射线3直线112()33 32xttyt为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为（）A(3, 3) B (3,3) C (3, 3) D (3,3)4圆5cos5 3 sin的圆心坐标是（）A4( 5,)3 B ( 5,)3 C (5,)3 D 5( 5,)35与参数方程为()2 1xttyt为参数等价的普通方程为（）A214y2x B21(01)4yx2xC21(02)4yy2x D 21(01,02)4yxy2x6直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A98 B

16、1404 C 82 D 934 3二、填空题1 曲线的参数方程是211()1xttyt为参数 ,t0， 则它的普通方程为 _ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页实用文档文案大全10 2直线3()14xattyt为参数过定点 _ 。3点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为 _ 。4曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为 _ 。5设()ytx t为参数则圆2240 xyy的参数方程为 _ 。三、解答题1参数方程cos (sincos )()sin (sincos )xy

17、为参数表示什么曲线？2点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。3已知直线l经过点(1,1)P, 倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页实用文档文案大全11 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 . 提高训练 C组 一、选择题1把方程1xy化为以t参数的参数方程是（）A1212xtyt B sin1sinxtyt C cos1cosxtyt D tan1tanxtyt2曲线

18、25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,) (,0)52、 B 11(0,) (,0)52、C(0,4) (8,0)、 D 5(0,) (8,0)9、3直线12()2xttyt为参数被圆229xy截得的弦长为（）A125 B1255C955 D 91054若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于（）A2 B 3C4 D 55极坐标方程cos20表示的曲线为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页实用文档文案大全12 A极点 B极轴C一条直线 D 两条相交直线

19、6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）Acos2 Bsin2C4sin()3 D 4sin()3二、填空题1已知曲线22()2xpttpypt为参数 , 为正常数上的两点,MN对应的参数分别为12,tt和，120tt且，那么MN=_ 。2直线22()32xttyt为参数上与点( 2,3)A的距离等于2的点的坐标是 _。3圆的参数方程为3sin4cos()4sin3cosxy为参数，则此圆的半径为 _ 。4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为 _ 。5直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_ 。三、解答题1分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos

20、21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：（1）为参数，t为常数； （2）t为参数，为常数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页实用文档文案大全13 2过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,MN，求PMPN的值及相应的的值。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题1D 233122ytkxt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页实用文档文案大全14 2B

21、 转化为普通方程：21yx，当34x时，12y3C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy4C 22(cos1)0,0,cos1xyx或5C 2(2,2),()3kkZ都是极坐标6C 2cos4sincos ,cos0,4sin,4sin或即则,2k或224xyy二、填空题154455344ytkxt2221,(2)416xyx22()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe352将1324xtyt代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB414直线为10 xy，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为1452

22、coscossinsin0,cos()0，取2三、解答题1解： （1）设圆的参数方程为cos1 sinxy，22cossin15sin()1xy51251xy（2）cossin10 xyaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页实用文档文案大全15 (cossin)12 sin()1421aa2解：将153xtyt代入2 30 xy得2 3t，得(12 3,1)P，而(1, 5)Q，得22(23)64 3PQ3解：设椭圆的参数方程为4cos2 3sinxy，4cos4 3sin125d4 54 5cos3sin32c

23、os()3553当cos()13时，min4 55d，此时所求点为(2, 3)。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 一、选择题1C 距离为221112ttt2D 2y表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx或，所以表示两条射线3D 2213(1)( 3 3)1622tt，得2880tt，12128,42tttt中点为11432333 342xxyy4A 圆心为55 3(,)225D 22222,11,1,0,011,0244yyxttxxtty而得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，

24、共 19 页实用文档文案大全16 6C 2222212122xtxtytyt，把直线21xtyt代入22(3)(1)25xy得222( 5)(2)25,720tttt212121 2()441ttttt t，弦长为12282tt二、填空题12(2)(1)(1)x xyxx111,1xttx而21yt，即221(2)1()(1)1(1)x xyxxx2(3, 1)143yxa，(1)4120yax对于任何a都成立，则3,1xy且322椭圆为22164xy，设( 6 cos ,2sin)P，26 cos4sin22 sin()22xy42xy22221sintan,cossin,cossin,co

25、scos即2xy52224141txttyt22()40 xtxtx，当0 x时，0y；当0 x时，241txt；而ytx，即2241tyt，得2224141txttyt三、解答题1解：显然tanyx，则222222111,coscos1yyxx2222112 tancossincossin2coscos221tanx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页实用文档文案大全17 即222222222111, (1)12111yyyyxxxxyyyxxxxx得21yyxxx，即220 xyxy2解：设(4cos,3sin

26、)P，则12cos12sin245d即12 2 cos()2445d，当cos()14时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。3解： （1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt1 22t t，则点P到,A B两点的距离之积为2新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 一、选择题1D 1xy，x取非零实数，而 A，B，C中的x的范围有各自的限制2B 当0 x时，25t，而12yt，即15y，得与y

27、轴的交点为1(0,)5；当0y时，12t，而25xt，即12x，得与x轴的交点为1(,0)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页实用文档文案大全18 3B 21512521155xtxtytyt，把直线122xtyt代入229xy得222(12 )(2)9,5840tttt2212121 281612()4()555ttttt t，弦长为1212555tt4C 抛物线为24yx，准线为1x，PF为(3,)Pm到准线1x的距离，即为45D cos20,cos 20,4k，为两条相交直线6A 4sin的普通方程为22(

28、2)4xy，cos2的普通方程为2x圆22(2)4xy与直线2x显然相切二、填空题114p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，121222MNp ttpt2( 3,4), 或( 1,2)222212(2 )( 2 )( 2) ,22tttt35由3sin4cos4sin3cosxy得2225xy422圆心分别为1(,0)2和1(0,)256，或56直线为tanyx，圆为22(4)4xy，作出图形，相切时，易知倾斜角为6，或56三、解答题1解： （1）当0t时，0,cosyx，即1,0 xy且；当0t时，cos,sin11()()22ttttxyeeee而221xy，即2222111(

29、)()44ttttxyeeee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页实用文档文案大全19 （2）当,kkZ时，0y，1()2ttxee，即1,0 xy且；当,2kkZ时，0 x，1()2ttyee，即0 x；当,2kkZ时，得2cos2sinttttxeeyee，即222cossin222cossinttxyexye得222222()()cossincossinttxyxyee即22221cossinxy。2解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得223(1sin)( 10 cos)02tt则1 22321sinPMPNt t所以当2sin1时，即2，PMPN的最小值为34，此时2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页