2022年高三数学专题复习-指数、对数函数 .pdf

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1、高三数学专题复习 -指数函数、对数函数问题指数函数、 对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. 难点磁场( )设 f(x)=log2xx11,F(x)=x21+f(x). (1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)假设 f(x)的反函数为f1(x),证明：对任意的自然数n(n3),都有 f1(n)1nn; (3)假设 F(x)的反函数 F1(x),证明：方程F1(x)=0 有惟一解 . 案例探究例 1已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B 两点，分别过点A、B 作 y

2、 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C、D 两点 . (1)证明：点C、D 和原点 O 在同一条直线上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标 . 级题目. 知识依托： (1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标 . 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法： 此题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标 . (1)证明：设点A、B 的横坐标分别为x1、x2,由题意知： x11,x21,则 A、B 纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B

3、在过点O 的直线上，所以228118loglogxxxx,点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1=2loglog818x=2logloglog,log38282218xxx3log8x2,所以 OC 的斜率： k1=118212log3logxxxx, OD 的斜率： k2=228222log3logxxxx，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知： log2x1=log8x2即： log2x1=31log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2得： x13log8x1=3x1log8x

4、1,由于 x11 知 log8x1 0, x13=3x1.又 x11,x1=3,则点 A 的坐标为(3，log83). 例 2在 xOy 平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n 点 Pn位于函数y=2000(10a)x(0a1)的图象上， 且点 Pn,点(n,0)与点 (n+1,0)构成一个以Pn为顶点的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页等腰三角形 . (1)求点 Pn的纵坐标bn的表达式；(2)假设对于每个自然数n,以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形

5、，求a 的取值范围；(3)设 Cn=lg(bn)(nN*),假设 a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列 Cn 前多少项的和最大？试说明理由. 级题目 . 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法： 此题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题. 解： (1)由题意知： an=n+21,bn=2000(10a)21n. (2)函数 y=2000(10a)x(0abn+1bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn

6、+1bn,即(10a)2+(10a)10,解得 a5(51).5(51)a10. (3)5(51)a10,a=7 bn=2000(107)21n.数列 bn 是一个递减的正数数列，对每个自然数n 2,Bn=bnBn1.于是当 bn1 时，BnBn1,当 bn1 时，BnBn1,因此数列 Bn 的最大项的项数n 满足不等式bn1 且 bn+11 时，函数y=logax 和 y=(1a)x的图象只可能是( ) 二、填空题3.()已知函数f(x)=)02()(log)0(22xxxx.则 f-1(x1)=_. 4.( )如图，开始时，桶1 中有 a L 水， t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=

7、aent,那么桶 2 中水就是y2=aaent,假设过 5 分钟时，桶1 和桶 2 的水相等，则再过 _分钟桶 1 中的水只有8a. 三、解答题5.( )设函数 f(x)=loga(x 3a)(a0且 a1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点 Q(x 2a,y)是函数 y=g(x)图象上的点 . (1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)假设当 x a+2,a+3时，恒有 |f(x)g(x)|1,试确定 a 的取值范围 . 6.( )已知函数f(x)=logax(a0 且 a1),(x(0,+),假设x1,x2(0,+),判断21f(x1)+f(x2)与 f(221xx)

8、的大小，并加以证明. 7.( )已知函数x,y 满足 x1,ya2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求loga(xy)的取值范围 . 8.( )设不等式2(log21x)2+9(log21x)+90 的解集为M，求当x M 时函数f(x)=(log22x)(log28x)的最大、最小值. 参考答案难点磁场解： (1)由xx110,且 2x 0得 F(x)的定义域为 (1，1)，设 1x1x21,则F(x2)F(x1)=(122121xx)+(11222211log11logxxxx) )1)(1()1)(1(log)2)(2(212122112xxxx

9、xxxx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页x2x10,2x10,2x20,上式第2 项中对数的真数大于1. 因此 F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1上是增函数. (2)证明：由y=f(x)=xx11log2得： 2y=1212,11yyxxx, f1(x)=1212xx,f(x)的值域为R， f-1(x)的定义域为R. 当 n3 时， f-1(n)1221111221112121nnnnnnnnnn. 用数学归纳法易证2n2n+1(n3),证略 . (3)证明： F(0)=21,F1

10、(21)=0, x=21是F1(xF1(x)=0 还有一个解x0(x021),则F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x021).这是不可能的，故F-1(x)=0 有惟一解 . 歼灭难点训练一、 1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 又 g(x)+h(x)=lg(10 x+1).即 g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 由得： g(x)=2x,h(x)=lg(10 x+1)2x. 答案： C 2.解析：当a1 时，函数y=logax 的图象只能在A 和 C 中选，又a1 时， y=(1a)x 为减函数 . 答案： B 二、 3.解析：容易求得f- 1(x)=) 1

11、(2)1(log2xxxx,从而：f1(x1)=).2(,2)2(),1(log12xxxx答案：)2(,2)2(),1(log12xxxx4.解析：由题意， 5 分钟后， y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=51lnt 分钟桶 1 中的水只有8a,则 y1=aen(5+t)=8a,解得 t=10. 答案： 10 三、 5.解： (1)设点 Q 的坐标为 (x,y ),则 x=x2a,y= y.即 x=x+2a,y=y. 点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上， y=loga(x+2a3a),即 y =logaax21,g(x)=logaax1. 精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页(2)由题意得x3a=(a+2)3a=2a+20;ax1=aa)3(10,又 a0 且 a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x 3a) logaax1|=|loga(x2 4ax+3a2)| |f(x)g(x)|1, 1 loga(x2 4ax+3a2) 1, 0 a 1, a+22a.f(x)=x2 4ax+3a2在 a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x2 4ax+3a2)在 a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)

13、=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组1)44(log1)69(log10aaaaa的解 . 由 loga(96a) 1 解得 0a12579,由 loga(44a)1 解得 0a54, 所求 a 的取值范围是0a12579. 6.解： f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x1,x2(0,+),x1x2 (221xx)2(当且仅当x1=x2时取“ =”号 )，当 a1 时，有 logax1x2 loga(221xx)2, 21logax1x2loga(221xx)，21(logax1+logax2)loga221xx, 即21f(x1)+f(x2

14、) f(221xx)(当且仅当x1=x2时取“ =”号 ) 当 0a1 时，有 logax1x2loga(221xx)2, 21(logax1+logax2)loga221xx,即21f(x1)+f(x2) f(221xx)(当且仅当x1=x2时取 “=”号 . 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即 (logax1)2+(logay 1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系uOv 内，圆弧 (u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系v=u+

15、k 有公共点，分两类讨论. (1)当 u0,v0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得1+3k2(1+2); (2)当 u0,v 0,即 0a1时， 同理得到 2(12) k13.x综上，当 a1 时， logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3；当 0a1 时， logaxy 的最大值为13，最小值为 222. 8.解： 2(21logx)2+9(21logx)+90 (221logx+3)(21logx+3)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页 321logx23. 即21log(21)321logx21log(21)23(21)23x(21)3,22x8 即 M= x|x 22,8 又 f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)2 1. 22x8,23log2x3 当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=1;当 log2x=3,即 x=8 时， ymax=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页