2022年锐角三角比的意义教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载D B C CA 25.1 （1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 2、能根据正切、余切概念正确进行计算. 3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的 . 六、教学过程设计一、情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度. （演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10 米远处， 目测旗杆的

2、顶部，视线与水平线的夹角为34 度，并已知目高为1 米然后他很快就算出旗杆的高度了. 你想知道小明怎样算出的吗？1. 观察(1) 在 RtABC中， C=90o，A=30o，BC=35m, 求 CB . (2) RtABC ，使 C=90o， A=45o，计算 A的对边与邻边比. 2. 思考通过上面的计算，你能得到什么结论？ 说明 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3讨论一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻

3、边的比是否也是一个定值？二、学习新课 1概念辨析如图： Rt ABC 与 RtABC，C=DCA =90， A=，那么CABC与ACDC有什么关系 ? 结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值. 如图， 在 Rt ABC中，A 、 B、C所对的边分别记为a、b、c. 在 RtABC中， C=90，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做 A的正切 . 记作 tanA. 板书： tanA ba的邻边的对边AA在 RtABC中， C=90，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做 A的余切 . 记作 cotA. 精选学习资料 - - - - - - -

4、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页学习必备欢迎下载板书： cotA AA的的ba 2例题分析例题 1. 在 RtABC中， C=900， AC=3,BC=2,求 tanA 和 tanB 的值 . 解：在 RtABC中，AC=3,BC=2 tanA=32ACBC tanB=23BCAC. 例题 2. 在 RtABC中， C=900，BC=4 ，AB=5 ，求 cotA 和 cotB 的值 . 解：在 RtABC中，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2BC=4,AB=5, AC=3452222BCAB. cotA=43BCAC cotB=34ACBC. 3问题

5、拓展在上题中，在同一个直角三角形中，A 的正切和余切有怎样的数量关系？B 是 A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ 说明 在 RtABC中， A+ B=90：则有 tanA cotA=1 tanA=Bcot1 tanB=Acot1三、巩固练习1 如图，在直角 ABC中，C90o， 若 AB 5，AC 4，则 cotA（）A35 B45 C34D432 在 ABC中， C=90， BC=2 ，tanA=23，则边 AC的长是 ( ) C B A A B C A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28

6、 页学习必备欢迎下载A13 B3 C43 D5 四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值. 五、作业布置练习册 25.1 （1）七、教学设计说明通过实际问题的引入，引起学生思考问题. 将实际问题抽象为数学的图形，激发学生探讨问题的积极性，用从特殊到一般的方法让学生领会到在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值. 使学生在探究时体会到探究数学结论的过程和乐趣，增加学习数学的积极性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

7、 - - - -第 3 页，共 28 页学习必备欢迎下载BB C C A 25.1 （2）锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 二、教学目标设计 1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、了解 同一个锐角正 弦与余弦之间的 关系，正切与正弦、余弦的关系 .三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 六、教学过程设计一、情景引入1. 观察 (1)在 RtABC中， C=90o，A=30o， BC

8、=35m, 求 AB . (2) RtABC ，使 C=90o，A=45o，计算 A的对边与斜边的比. 2. 思考通过上面的计算，你能得到什么结论？ 说明 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21. 3讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课 1 概念辨析如图： RtABC与 RtABC ， C=DCA =90o， A=，那么BABC与ABCB有什么关系 ? 结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的

9、大小如何，A的对边与斜边的比是一个固定值. 如图，在RtABC中， A、 B、 C所对的边分别记为a、b、c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页学习必备欢迎下载0 1 2 3 1 2 3 4 X Y P Q 在 Rt ABC中， C=90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正弦 . 记作 sinA. 板书： sinA ca的斜边的对边AA；在 Rt ABC中， C=90，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余弦 . 记作 cosA. 板书： cosAcb的斜边的邻边AA；2例题分析例题 1 （1）如图 , 在中

10、，, 求 sinB ，cosB的值 . 解：在中22BCABACAB=6， BC=3AC=36=3sinB=2163ABAC=22；cosB=222163ABBC. （2）在 RtABC中, C=90,BC=6,sinA=53, 求 cosA 和 tanB 的值 . 解: , . 又, . 例题 2. 在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求 OP与 x 轴正半轴的夹角的正切、正弦、和余弦的值. 解：过点P向 x 轴引垂线，垂足为点Q，则OPQ=900. 由点 P的坐标为（ 3，4）得 OQ=3,QP=4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

11、 -第 5 页，共 28 页学习必备欢迎下载在 RtOPQ 中， OP=.5432222PQOQtan=34OQPQ, sin=54OPPQ cos=53OPOQ. 3. 问题拓展1. 从定义可以看出sin A与cosA 有什么关系？sinB与cosA呢？满足这种关系的A与B又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A与cosA的关系吗？再试试看tan A与sin A和cosA存在特殊关系吗？（1）若90AB, 那么sin A=cosB或sin B=cosA; （2）22sincos1AA; （3）sintancosAAA. 三、巩固练习1.在中， C90， a，b，c 分别是 A、

12、 B、 C的对边，则有（）ABCD2. 在中， C90，如果那么的值为（）ABCD3、如图： P是的边 OA上一点，且P 点的坐标为（ 3，4）， 则 sin_. 四、课堂小结1、 使学生了解一个锐角的正弦( 余弦 ) 值与它的余角的余弦( 正弦 ) 值之间的关系2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页学习必备欢迎下载练习 25.1 （ 2）七、教学设计说明通过复习，用类比的方法让学生发现这样一个事实：在直角三角形中，当锐角A的度

13、数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边（邻边）与斜边的比是一个固定值. 在练习中带领学生主动发现总结规律，得出同一个锐角正弦与余弦之间的关系、正切与正弦、余弦的关系 . 在巩固练习中，加深对问题的理解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.2 求锐角三角比的值一、教学内容分析能推导并熟记30、 45、60角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30、 45、 60角的三角比的运算式二、教学目标设计能推导并熟记 30、45、60角的 三角函数值，并 能根据这些值 说出对应的

14、锐角 度数； 能熟练计算含 有 30、45 、60角的三 角函数的运算式 .三、教学重点及难点熟记 30、 45、 60角的三角比值，能熟练计算含有30、 45、 60角的三角比的运算式； 30、 45、 60角的三角比值的推导过程. 六、教学过程设计一、情景引入问题：（1）还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30 =21,sin45 =22. （2）你还能推导出sin60 的值及30、 45、 60角的其它三角函数值吗？3讨论画 30、 45、 60的直角三角形, 分别求 sin 30 、cos45、 tan60 的值 . 归纳结果304560sinA cosA tanA 二、学

15、习新课1例题分析求下列各式的值：（1）(cos60 )2 + (cos45 )2 +sin30 sin45 ；（2） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页学习必备欢迎下载解 （1）原式 =221212()()222221111422（ 2）原式 = 3 问题拓展（1）8)30tan60(cos2（2）2)145(sin230tan3121 说明 本题主要考查特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值 . 易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误. 三、巩固练习求下列各式的值：(1)sin3

16、0+cos30；(2)sin30 sin45 ；(3)tan60 +2sin45 -2cos30 ；(4)45tan30cos2330sin2；(5)60cot60tan30cos30cot45sin30sin22. 四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30、 45、 60角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30、 45、 60角的三角比的运算式. 五、作业布置练习 25.2 七、教学设计说明由特殊锐角三角形的性质联系锐角三角比的概念，带领学生主动发现总结30、45、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

17、 页，共 28 页学习必备欢迎下载60角的三角比值，在巩固练习中，培养学生熟练计算含有30、 45、 60角的三角比的运算式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.3 （1）解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式. 从而能提高学生分析问题和解决问题的能力.二、教学目标设计1. 理 解直角三角形 中五个元素的关 系，会运用勾股定理， 直 角三角形的两 个锐角互余及锐 角

18、三角 函数解直角三 角形2. 通过综合运用 勾股定理，直角三角 形的两个锐角互余及锐角三角函 数解直角三角形 ，逐步形 成分析问题、 解决问题的能力 3渗透数形 结合的数学思 想，养成良好的 学习习惯三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用六、教学过程设计一、情景引入 1 观察引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10 米处折断倒下，树顶落在离数根24 米处 . 问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为22241026 ， 26 1036 所以，大树在折断之前的高为36 米. 2思考1在三角

19、形中共有几个元素？2直角三角形ABC中， C=90 ，a、b、c、 A、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 3 讨论复习师白： RtABC的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？总结：直角三角形的边与角之间的关系(1) 两锐角互余A B 90；(2) 三边满足勾股定理a2 b2 c2；(3) 边与角关系sinA cosBac，cosA sinB bc，tanA cotB ab，cotA tanB ba. 二、学习新课 1概念辨析师白：我们已掌握RtABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素( 至少有一个是边) 后，就可求出其余的元素定义：我们把由已知元素求出所

20、有末知元素的过程，叫做解直角三角形. 2例题分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页学习必备欢迎下载例题 1 在 RtABC中， C=900， B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角. 分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系， 再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切. 解： A+ B=900 A=900 B=900380=520 cosB=caC=Bacos=15.1038cos80tanB=ab

21、b=atanB=8tan380 6.250 例题 2 在 RtABC中， C=900， c=7.34 ，a=5.28 ，解这个直角三角形. 分析： 本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论. 解：在 Rt ABC中， C=900， a2b2c2 b=099. 528.534.72222acsinA=7193.034.728.5ca A=460 B=900 A900460=440. 说明 我们已掌握Rt ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素( 至少有一个

22、是边) 后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情3问题拓展例题 3 如图，东西两炮台A、B相距 2000 米，同时发现入侵敌舰C，炮台 A测得敌舰C在它的南偏东40的方向，炮台B测得敌舰 C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到 l 米). 分析：本题中，已知条件是什么?(AB2000 米，CAB 90CAD 50) ，那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢?求 BC的长呢 ?显然， AC是直角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC的长可以用正切，也可以用余切. 讲解后让学生思考以下问题：(

23、1) 在求出后，能否用勾股定理求得BC ；(2) 在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC. 说明 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个2000 B C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页学习必备欢迎下载锐角，若知道一条边和一个锐角，可以. 利用边角关系求出其他的边与角. 所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1) 已知两条边，求其他边和角. (2

24、) 已知一条边和一个锐角，求其他边角三、巩固练习1、课本 P73练习 1、22、由下列条件解题：在RtABC中， C=90：（1）已知 a=4， b=8，求 c( c=54)（2）已知 b=10， B=60，求 a，c（3）已知c=20， A=60，求 a，b四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角. 五、作业布置练习册 25.3 （1）七、教学设计说明为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个

25、元素求其他元素的情境中. 再通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识. 3320,3310ca10,310ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.3 （2）解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后， 到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉. 二、教学目标设计1进一步运 用勾股定理、 锐角三角比解非 直角三角

26、形2通过综 合运用锐角三 角比解三角形， 逐步形成分析问题、解决问题的 能力三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法六、教学过程设计一、情景引入 1 复习1、求下列各直角三角形中字母的值2、在 ABC中， C为直角， b=2，a=6，解这个三角形3、在 ABC中， C为直角，且b=20，B=350，解这个三角形（精确到0.1 ） 2思考在一般的三角形中，如果已知适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？ 3讨论在一般的三角形中，已知几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课 1例题分析例题 1 在等腰三角形ABC中，已知AB=A

27、C, A=45,BC=6, 求它的腰长和底角. 分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长解：在 ABC中，B= C= 21(1800- A) = 21（1800-450）=67.50=67030过点 A作 AD BC ，垂足为点D A C B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页学习必备欢迎下载 AB AC

28、，BD=21BC=216=3 在 Rt ABD中cosB=ABBDAB=839.70367cos3cos0BBD所以，这个等腰三角形的腰长约为7839，底角为 67030. 思考：本题如果作腰上的高，能解ABC吗？试一试：在等腰三角形中，已知AB AC 5，BC 6，求它的顶角和底角例题 2 在 ABC中， AC=9 ，AB=8.5， A=38, 求 AC边上的高及 ABC的面积分析：为了利用A的三角比，所以作出AC或 AB边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积. 解：过点B作 BD AC ，垂足为D. 在 Rt ABD中， sinA=ABBD， BD AB sinA=8.

29、5 sin38 5.233 S ABC=21AC BD=2195.233 23.55 所以， AC边上的高约为5233， ABC的面积约为2355. 2问题拓展例 题3 如 图 ， 在 ABC 中 , A=30,tanB=23,AC=23, 求 AB 分析：本题可以过点C作 AB边的垂线，把A 和 B作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题. 教师引导学生解答. 说明 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题. 就是要把握好转化的技巧.三、巩固练习1、课本 25.3 （2）2、已知等腰ABC中， AB=AC=13 ，BC=10 ，求顶角 A的四

30、个三角比值3、已知在直角梯形ABCD 中，上底 CD=4 ， 下底 AB=10 ， 非直角腰BC=34， 则底角 B= ；4、如图所示，已知：在ABC中， A=60， B=45，AB=8.求： ABC的面积 ( 结果可保留根号). A C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页学习必备欢迎下载四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题 今后， 我们还要善于用数学知识解决实际问题五、作业布置练习册 25.3 （2）七、教学设计

31、说明本课时的内容是利用解直角三角形的知识解决一般三角形的计算问题，解决问题的关键是如何转化并综合利用直角三角形的有关知识. 所以，先安排了一个等腰三角形的问题，再安排一个不等边三角形的问题，最后一个例题的意图是为了和中考衔接.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.4 （1）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举了解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题. 让学生感受数学与生活的紧密联系，提高数学问题实际化的能力，领会数学思想.二、教学目标设计1掌握仰角、俯角概念；2在用解直角三角形的知识解

32、决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力. 三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题. 六、教学过程设计一、引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验, 再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义. 说明 从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性. 二、学习新课1概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 说明 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与

33、铅垂线所成的角. 2例题分析例题 1 如图，在地面上离旗杆BC底部 10 米的 A 处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为52，已知测角仪AD的高为 1.5 米，求旗杆 BC的高（精确到0.1 米） . 分析结合图形已知旗杆与地面是垂直的，从测角仪D 处作 DEAB，可以得到一个Rt DCE ，利用直角三角形中的已知元素, 可以求出 CE ，从而求得BC. 解 从测角仪 D处作 DE AB ，交 BC于点 E. 根据题意，可知DE=AB=10 （米）， BE=AD=1.5 （米）， CDE=52 . 在 RtDCE中 ,tan CDE=DECE，得水平线视线视线仰角俯角铅垂线h精选学习资料 - -

34、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页学习必备欢迎下载CE=DE tan CDE=10 tan52 12.80( 米). 则 BC=BE+CE 1.5+12.80 14.3( 米). 答: 旗杆 BC的高约为14.3 米. 例题 2 如图 , 甲乙两幢楼之间的距离CD等于 40 米, 现在要测乙楼的高 BC(BC CD),所选观察点A在甲楼一窗口处,ADBC.从 A 处测得乙楼顶端B的仰角为 32, 底部 C的俯角为 25. 求乙楼的高度( 精确到 1米 ). 解 从观察点 A处作 AE CD,交 BC于点 E. 根据题意 , 可知AE

35、=CD=40( 米), BAE=32 , CAE=25 . 在 RtABE中 ,tan BAE=AEBE，得BE=AE tan BAE=40 tan32 25.0( 米). 在 RtACE中 ,tan CAE=AECE，得CE=AE tan CAE=40 tan25 18.7( 米). 则 BC=BE+CE 25.0+18.7=43.744( 米). 答: 乙楼的高度约为44 米. 说明 在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素. 同时在学生审题时，强调注意题后对结果精确度的要求，培养严

36、谨的学习态度. 三、巩固练习1. 在离旗杆20 米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5 米，那么旗杆的高为米（用含 的三角比表示） 2. 在距地面100 米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30和 60，则塔高为 _米; 3. 已知：如图，建筑物AB高为 200 米，从它的顶部A看另外一建筑物CD的顶部 C和底部 D，俯角分别为30和 45，求建筑物 CD的高A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页学习必备欢迎下载4如图 , 线段 AB 、CD分别表示甲、 乙两幢楼 ,

37、从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角 =30, 从乙楼底部D测得甲楼顶部A的仰角 =60 . 已知甲楼的高 AB=24米, 则乙楼的高CD为多少米 ? 5如图， AB和 CD是同一地面上的两座相距36 米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45，楼底D的俯角为30求楼CD的高 (结果保留根号). 四、课堂小结1知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水平线的夹角；2认真分析题意， 在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题；3按照题目中的精确度进行计算，五、作业布置练习册：习题25.4 （1）七、教学设计说明解直角三角形的应用问题, 关键是由实际问题向数学问题

38、的转化过程. 课堂教学时可以分为二个阶段：一是依据实际问题中相关的几何图形让学生明确仰角、俯角的概念,二是根据实际问题中的条件要求学生正确的画出相关的几何图形，然后用解直角三角形的知识求解. 学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步把数和形结合起来，提高了分析问题和解决问题的能力. A B C D 36A BD4530C(第 5 题图) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.4 （2）解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，

39、然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的. 二、教学目标设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，提高分析问题、 解决问题的能力，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识. 三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题. 六、教学过程设计一、情景引入1说一说请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置. 2思考如图，以A 为观测中心，分别指出点B、C、 D、E各点所处的方向. 说明 通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活”，

40、体验数学的价值. 二、学习新课1概念辨析回顾方位角2例题分析例题 1 如图，在港口A的南偏东52方向有一小岛B，一艘船以每小时24 千米的速度从港口A出发，沿正东方向航行，20 分钟后，这艘船在 C处且测得小岛B在船的正南方向. 小岛 B与港口 A相距多少千米（精确到0.1 千米）？解: 根据题意 ,可知 CAB=90 -52 =38 , ACB=90 ,AC=246020=8( 千米). 在 RtABC中 ,cos CAB=ABAC，得10东南西A B C E 1545北D A C B 北南523030精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

41、第 20 页，共 28 页学习必备欢迎下载AB=CABACcos=o38cos810.2( 千米 ). 答: 小岛 B与港口 A相距约 10.2 千米 . 例题 2 如图 , 为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C两点， 对岸岸边有一块石头A. 在 ABC中, 测得 C=62,B=49,BC=33.5 米, 求河宽 (精确到 0.1 米). 解: 过点 A作 AD BC,垂足为点D,河宽就是 AD的长 . 在 RtABD中 ,cotB=ADBD，得BD=AD cotB=ADcot49 . RtACD中,cotC=ADCD，得CD=AD cotC=ADcot62 , 因为 BD+CD=BC，所

42、以 AD cot49 + ADcot62 =33.5 则 AD=0062cot49cot5 .3323.9( 米). 答: 河宽约为23.9 米. 3问题拓展1. 某海防哨所发现距离它400 海里的北偏西30A处有一艘船，该船正向东方向航行，经过 3 分钟到达哨所东北方向的B处. 求这船的速度是多少？2. 某条道路上通行车辆限速为60 千米 /时, 在离道路50 米的点 P处建一个监测点, 道路的 AB段为监测区 . 在 ABC中, 已知 A=45 , B=30, 车辆通过AB段的时间在多少秒以内时 , 可认定为超速( 精确到 0.1 秒 )? 说明 在例题分析讲解的基础上进行问题的拓展, 可

43、以增强对知识点的理解, 起到巩固作用 . 三、巩固练习1一艘轮船向正东方向航行，上午9 时测得它在灯塔P 的南偏西30方向，距离灯塔 120 海里的 M处，上午11 时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页学习必备欢迎下载2. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭. 近日， A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300 千米的 B 处，以千米 / 小时的速度向东偏南30的 BF方向移动，距沙尘暴中心200 千米的范

44、围是受沙尘暴严重影响的区域（如图）. (1) 通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2) 计算 A市受沙尘暴影响的时间. 四、课堂小结今天学习了什么, 你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4 （2）七、教学设计说明本节课教学时要强调根据实际问题中的条件, 要求学生正确的画出相关的几何图形，将实际问题转化为数学问题, 然后再运用解直角三角形的知识求解. 学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步体会了数和形的结合，提高了分析问题和解决问题的能力. AB北东精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22

45、 页，共 28 页学习必备欢迎下载25.4 （3）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节教材内容主要是坡度有关概念，以及利用直角三角形边角关系，解决生产及生活中有关坡度的实际应用问题.二、教学目标设计 1 理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；2形成分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识，感悟数学来源于实践又作用于实践体验数学的价值. 三、教学重点及难点1、学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题；2、掌握坡度的意义，强调坡度i 的表示形式1m 六、教学过程设计一、情景引入1观察同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条

46、残疾人通道？2思考我们知道，残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2 米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4 米，那么你知道该通道的坡角吗？ 说明 从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性. 二、学习新课 1 概念辨析如图，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比） ，记作 i ，即 i=Lh. 坡度通常写成1:m 的形式，如i=1 1.5 坡面与水平面的夹角叫做坡角, 记作 . 坡度 i 与坡角 之间的关系 : i=Lh=tan . 2例题分析例题 1 大楼前残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通

47、道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4 米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到 1 ，其他近似数取四位有效数字）.提问：AB表示什么？题中数据3.2 米、0.4 米各表示什么量？如何求i ？解 过点 A作水平线l ，再作 BC l, 垂足为点C. 根据题意 , 可知 AB=3.2 米,BC=0.4 米 . 在 RtABC中 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页学习必备欢迎下载AC=22BCAB=224.02.33.175( 米). i=175.34 .0ACBC1:7.938. tanA=1

48、75.34.0ACBC0.1260 ， A 711. 答: 残疾人通道的坡度约为1：7.938 ，坡角约为711. 实际生活中 , 在修路、挖河、开渠等设计图纸上, 都需要注明斜坡的倾斜程度, 使用着坡度 . 例题2 如图 ( 图中单位 : 米), 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD, 路基顶宽 BC为 2.8 米 ,路基高为 1.2 米, 斜坡AB的坡度 i=1:1.6. (1) 计算路基的下底宽( 精确到 0.1 米); (2) 求坡角 ( 精确到 1) 解 分别过点 B、C作 BE AD 、CFAD ，垂足分别为点 E、F. 根据题意，可知BE=1.29( 米),AE=DF,EF=

49、BC=2.8( 米). 在 RtABE中 , 6.11AEBE，AE=1.6BE=1.61.2=1.92 （米） . (1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF =21.92+2.8=6.646.6( 米) (2) 设坡角为 , 则 i=tan=6.11=0.625, 32. 答: 路基下底宽约为6.6 米, 坡角约为32 . 3问题拓展有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB CD, 斜坡 AD的坡度 i1=11.2, 斜坡 BC的坡度 i2=10.8, 大堤顶宽 DC为 6 米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断2.8 1.2 A B C D E F 精选学习资料

50、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页学习必备欢迎下载面为梯形DCFE, EFDC, 点 E、F 分别在 AD 、BC的延长线上（如图）. 当新大堤顶宽EF为3.8 米时 ,大堤加高了几米? 说明 对例题进行变式练习, 有助于学生对坡度的真正理解，更好地巩固所学的知识，掌握添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题的方法. 由于坡度问题计算过程很繁琐，可以通过展示学生解题过程, 师生共同点评分析, 然后教师再示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力. 三、巩固练习1如 图，防 洪大堤的横断面是梯形，坝高AC