2022年国考备考“数量关系”常用数学公式汇总 .pdf

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1、20XX年国考备考“数量关系”常用数学公式汇总一、 （2、4、8）整除及余数判定基本法则一个数能被2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或 5）整除；一个数能被4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或 25）整除；一个是能被8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或 125）整除。一个数被2（或 5）除得的余数，就是其末一位数被2（或 5）除得的余数。一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数被4（或 25）除得的余数。一个数被8（或 125）除得的余数，就是其末三位数被8（或 125）除得的余数。二、 （3、9）整除及余数判定基本法则一个数能被3 整除，当且仅当其

2、各位数字和能被3 整除；一个数能被9 整除，当且仅当其各位数字和能被9 整除；一个数能被3 除得的余除，就是其各位数字和被3 除得的余数； ；一个数能被9 除得的余数，就是其各位数字和被9 除得的余数。三、整除与余数问题1、被除数除数=商余数（ 0余数除数）；2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；余同：一个数除以4余1，除以 5余1，除以 6 余1，则取 1，表示为 60n+1；和同：一个数除以4余3，除以 5余 2，除以 6 余1，则取 7，表示为 60n+7；差同：一个数除以4余1，除以 5余 2，除以 6 余3，则取 -3，表示为 60n-3；四、奇偶特征1、二个奇数之和/ 差

3、为偶数，二个偶数之和/ 差为偶数，一奇一偶之和/ 差为奇数；2、两个数的和/ 差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/ 差为偶数，则它们奇偶相同；3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。五、基础代数公式1. 平方差公式： （a b） （a-b ） a2-b22. 完全平方公式： （ab )2a22abb2 3. 完全立方公式： （ab)3=（ab） (a2ab+b2) 4. 立方和差公式：a3+b3=(ab)(a2+ab+b2) 5. amanam n amanam n (am)n=amn (ab)n=anbn六、等差数列1. nS2)(1naan na1+21n

4、(n-1)d ；2. naa1（ n1）d；3. 项数 n daan11；4. 若 a,b,c成等差数列，则：2ba+c；5. 若 m+n=k+i，则：mnkiaaaa；6. 前 n 个奇数： 1，3，5，7，9，（ 2n-1）之和为2n（其中： n 为项数， a1为首项， an为末项， d 为公差，nS为等差数列前n 项的和）七、等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页1. 11nnaa q；2. nSqqan111）（q1）3. 若 a,b,c成等比数列，则：b2 ac；4. 若 m+n=k+i，则： aman

5、=akai ；5. nmaaq(m-n)（其中： n 为项数， a1为首项， an为末项， q 为公比，nS为等比数列前n 项的和）八、不等式1. 一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中：21,242bbacxa（b2-4ac0）根与系数的关系：x1+x2=-ab， x1x2=ac2. 2abab（a、b+R，当且仅当a=b 时取等号 ）3. abba222（a、 bR）4.33abcabc(a 、b、c+R，当且仅当a=b=c 时取等号 )5. 一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。6. 两项分母列项公式：)(ammb=(m1

6、am1)ab三项分母裂项公式：)2)(amammb=)(1amm)2)(1amam ab2九、基础几何公式1. 勾股定理： a2+b2=c2( 其中： a、b 为直角边， c 为斜边 ) 常用勾股数直角边3 6 9 12 15 5 10 7 8 直角边4 8 12 16 20 12 24 24 15 斜边5 10 15 20 25 13 26 25 17 2. 面积公式：正方形2a长方形ba三角形cabahsin2121梯形hba)(21圆形R2 平行四边形ah扇形0360nR23. 表面积：正方体 62a长方体)(2acbcab圆柱体 2r22rh 球的表面积4R24. 体积公式正方体3a长

7、方体abc圆柱体 Shr2h 圆锥31r2h 球334R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l，则它的侧面积：S侧rl；6. 图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： (1)所有对应角度不发生变化； (2)所有对应 长度 变为 原来的 m倍； (3)所有对应 面积 变为 原来的 m2倍 ； (4)所有对应 体积 变为 原来的 m3倍 。7. 几何最值型：(1) 平面图形中，若周长一定 ，越接近与圆 ，面积越大 。(2) 平面图形中，若面积一定 ，越接近于圆 ，周长

8、越小 。 (3)立体图形中，若表面积一定 ，越接近于球 ，体积越大 。 (4)立体图形中，若体积一定 ，越接近于球 ，表面积越大 。十、工程问题 1、核心思想：转化归一或最小公倍数 2、基础公式：工作量工作效率工作时间；工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率；总工作量各分工作量之和；十一、几何边端问题 1、方阵问题：(1) 实心方阵 ：方阵总人数（外圈人数4+1）2=N2 最外层人数（最外层每边人数1） 4 (2) 空心方阵： 方阵总人数（最外层每边人数- 层数）层数4无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8 人。 (3)实心长方阵：总人数=M N 外圈人数 =2M+

9、2N-4 (4) 方阵：总人数=N2 外圈人数 =4N-4例：有一个3 层的中空方阵，最外层有10 人，问全阵有多少人？解： （103） 34 84（人）2、排队型： 假设队伍有N人， A排在第 M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人3、爬楼型： 从地面爬到第N层楼要爬（ N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬NM层。十二、利润问题1、利润销售价（卖出价）成本；利润率成本利润成本销售价成本成本销售价1；销售价成本（1利润率）；成本利润率销售价1。2、利息本金利率时期；本金本利和（1+利率时期） 。本利和本金利息本金（1+利率时期） =期限利率）（本金1；月利率 =年利率 12；月利率

10、12=年利率。例：某人存款2400 元，存期 3 年，月利率为102（即月利1 分零 2 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？”2400（ 1+102 36） =2400 13672 =3281 28（元）十三、排列组合1、解答排列、 组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用 “组合” ；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页2、排列公式 ：Pmnn（n1） （n2）（ nm 1） ， （m n） 。56737A组

11、合公式： Cmn PmnPmm（规定0nC 1） 。12334535c3、相邻问题 -捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；不邻问题 -抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。十四、概率问题1、概率 =满足条件的情况数/总的情况数2、总体概率 =满足条件的各种情况概率之和；3、分步概率 =满足条件的每个步骤概率之积。4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。十五、年龄问题1、年龄问题的三大规律：（1）两人的年龄差是不变的；（2）两人年龄的倍数关系是变化的量；（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；2、关键是年龄差不变；（1）几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄（

12、2）几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十六、边端问题1、基本思想：牢记各类题型当中的“1 关系” ，是解答“边端问题”的关键。2、基础公式：（1）单边线形植树：棵数总长间隔 1；总长 =（棵数 -1 ）间隔（2）单边环形植树：棵数总长间隔；总长 = 棵数间隔（3）单边楼间植树：棵数总长间隔 1；总长 =（棵数 +1）间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2 倍。（5）剪绳问题：对折 N次，从中剪M刀，则被剪成了（2NM 1）段。十七、行程问题1、平均速度型：平均速度21212vvvv2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度 +小速度）相遇时间追及问题：追击距离=（大速度小速度）追及时

13、间背离问题：背离距离=（大速度 +小速度）背离时间3、流水行船型：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速。顺流行程 =顺流速度顺流时间=（船速 +水速）顺流时间逆流行程 =逆流速度逆流时间=（船速水速）逆流时间4、火车过桥型：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度 =（桥长 +车长）过桥时间5、环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度 +小速度）相遇时间同向运动：环形周长=（大速度小速度）相遇时间6、扶梯上下型：扶梯级数 =( 人速 +扶梯速度 ) 顺行运动所需时间=人走的级数 +扶梯运行级数( 顺行 ) 精选学习资料 - - - - -

14、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页扶梯级数 =( 人速 - 扶梯速度 ) 逆行运动所需时间=人走的级数 - 扶梯运行级数( 逆行 ) 7、队伍行进型：对头队尾：队伍长度=（u人+u队）时间 ( 人和队伍同向而行) 队尾对头：队伍长度=（u人u队）时间（人和队伍反向而行）8、典型行程模型：等距离平均速度：21212uuuuu（12uu、分别代表往、返速度）等发车前后过车核心公式：发车时间间隔：2ttttt迎面后面迎面后面无动力顺水漂流：漂流所需时间=顺逆顺逆tttt 2（其中 t顺和 t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）十八、钟表问题基本常识：

15、钟面上按“分针”分为60 小格，时针的转速是分针的121，分针每小时可追及1211。时针与分针一昼夜重合22 次，垂直 44 次，成 180o 22 次。钟表一圈分成12 格，时针每小时转一格（300） ，分针每小时转12 格（ 3600）时针一昼夜转两圈（7200） ，1 小时转121圈（ 300） ；分针一昼夜转24 圈， 1 小时转 1 圈。钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。追及公式 ：00111TTT；T 为追及时间， T0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。十九、容斥原理1、两集合标准型：满足条件I 的个数 +满足条件II

16、的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数。 2 、三集合标准型：|A BC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|B C|-|A C|+|A BC| 3、三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答 (1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 (2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 (3)标数时，注意由中间向外标记4、三集合整体重复型：三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。假如满足三个条件的元素数量分别为A 、B、C，总量为 M ，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为 y，三者都不满足的条件为p，则有： A BC= A+B+C-x-2y=M-p 。二

17、十、牛吃草问题核心公式： y=(N-x)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X。注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃 W亩草时”， N用WM代入，此时N代表单位面积上的牛数。二十一、弃九推断在整数范围内的、三种运算中，可以使用此法1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页2、计算时如有数字不在0-8 之间，通过加上或减去9 或 9 的倍数达到0-8 之间。3、将选项除以9 留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。备注：弃九法不用考虑数字

18、当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9 余数是 0，另外一个就不再需要计算了。二十二、乘方尾数口诀： “底数留个位，指数末两位除以4 留余数（余数为0 则看作 4） ” 。二十三、除以“7”乘方余数核心口诀注：只对除数为7 的求余数有效 1、底数除以7 留余数 2、指数除以6 留余数（余数为0 则看作 6）注： “尾数”即除以10 之后的余数。二十四、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的AN倍，一个周期前应该是当时的A1。二十五、溶液问题 1 、溶液 =溶质 +溶剂浓度 =溶质溶液溶质=溶液浓度溶液 =溶质浓度 2、浓度分别为

19、a% 、b% 的溶液，质量分别为M 、 N ，交换质量L 后浓度都变成c% ，则NMNbMac%NMMNL 3、混合稀释型溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为原浓度次数)1(a溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为原浓度次数)11(a二十六、调和平均数1、调和平均数公式：21212aaaaa2、等价钱平均价格核心公式：21212ppppp（P1、P2分别代表之前两种东西的价格）3、等溶质增减溶质核心公式：313122rrrrr（其中 r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）二十七、同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”1、余同：“一个数除

20、以4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1” ，则取 1，表示为60n+1”2、和同：“一个数除以4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1” ，则取 7，表示为60n+7”3、差同：“一个数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3” ，则取 -3，表示为60n-3”选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。注意： n 的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。二十八、星期日期问题平年与闰年判断方法年共有天数2 月天数平年不能被 4 整除365 天28 天精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

21、- -第 6 页，共 8 页闰年可以被 4 整除366 天29 天星期推断：一年加 1 天；闰年再加1 天。大月与小月包括月份月共有天数大月1、 3、5、7、8、10、12 31 天小月2、 4、6、9、11 30 天注意： 星期每 7 天一循环；“隔 N天”指的是“每（N+1)天” 。二十九、循环周期问题核心提示：若一串事物以T为周期，且A T=Na，那么第 A项等同于第a 项。三十、典型数列前N项和 1、1123(1)2nn n 2、2135(21)nn 3 、2462(1)nn n（）4、22221123(1)(21)6nn nn三十一、常用平方、立方及多次方数平方数底数1 2 3 4

22、5 6 7 8 9 10 11 平方1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 底数12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平方144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 底数23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 平方529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 立方数底数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 立方1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 三十二、质数、合数1 既不是质

23、数也不是合数1、 20 以内的质数包括：2、3、5、7、 11、13、17 和 19；20 以内的合数包括：4、6、8、9、10、12、 14、15、16、18 和 20。2、典型形似质数分解91=713 111=337 119=717 133=719 117=9 13 143=1133 147=721 153=713 161=723 171=919 187=1117 209=1911 1001=71113 三十三、常用“非唯一”变换 1、数字 0 的变换 :)0(00NN 2 、数字 1 的变换：)0()1(1120aaNN 3、特殊数字变换：244216236842642493812816

24、4225639825126233279729251032421024精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页4、个位幂次数字：124241382812939三十四、比赛问题N 支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2 个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2 。三十五、乘船过河问题核心公式： M 个人过河，船上能载N 个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1 次， （分子、分母分别减“ 1”是因为需要1个人划船，如果需要n 个人划船就要同

25、时减去n） 。三十六、正四面体常用参数侧/ 底面高：aADPD23侧/底面面积：243a底面内切圆半径：aDO63高：aPO36体积：3122a截面 ADP面积：242a底面外接圆半径：64a三十七、页码问题1、 三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字 /3+36；2、对多少页出现多少1 或 2 的公式如果是 X千里找几，公式是 1000+X003 如果是 X百里找几，就是100+X02，X有多少个0 就多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000 或者 100 一类的了，比如， 7000 页中有多少3 就是 1000+7003=3100( 个) 2

26、0000 页中有多少6 就是 20004=8000 ( 个) 提示：如3000 页中有多少3，就是 3003+1=901，请不要把3000 的 3 忘了三十八、图色公式公式： (大正方形的边长的3次方 )(大正方形的边长2)的3次方。三十九、抽屉原理最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；四十、其他问题1、空瓶换酒型（N 即是每 N瓶换 1 瓶中的 N，式子的结果只取整数部分）；2、分割求解型将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。 3 、青蛙跳井问题完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米) 例如：青蛙从井底向上爬，井深10 米，青蛙每跳上5 米，又滑下4 米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6) 单杠上挂着一条4 米长的爬绳， 小赵每次向上爬1 米又滑下半米来， 问小赵几次才能爬上单杠?(7) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页