2022年高二数学-空间向量与立体几何测试题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高二数学空间向量与立体几何测试题第卷（选择题，共50 分）一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在下列命题中：若a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若a、b 所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量 a、b、c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（）A0 B.1 C. 2 D. 3 2在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量1D A、1D C、11CA是（）A有相同起点的向量B等

2、长向量C共面向量D不共面向量3若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0（）Anm/BnmCnmnm也不垂直于不平行于 ,D 以上三种情况都可能4已知 a（2，1，3） ，b（ 1，4，2） ，c（7，5，） ，若 a、b、c 三向量共面，则实数等于（）A. 627 B. 637 C. 647 D. 6575直三棱柱 ABC A1B1C1中，若CAa，CBb，1CCc， 则1A B（）A.abc B. abc C. abc D. abc6已知a+b+c0，|a| 2，|b| 3，|c| 19，则向量a与b之间的夹角ba,为（）A30B45C 60D以上都不对7若a、b均为非零向量， 则

3、|a bab是a与b共线的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8已知 ABC的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC边上的中线长为（）A2 B3 C 4 D5 9已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（）A15 B5 C 3 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载EMGDCBA10已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点 Q在直线 OP上运动，则当QA QB取得最小值

4、时，点Q的坐标为（）A1 3 1(, )2 4 3B1 2 3(,)2 3 4C 4 4 8(, )3 3 3D4 4 7(,)3 3 3第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11 若 A(m 1， n1,3) ， B(2m , n, m 2n) ， C(m 3, n3,9) 三点共线，则 m +n= 1212、若向量1, ,2 ,2, 1,2ab，,a b夹角的余弦值为89，则等于_. 13在空间四边形 ABCD 中， AC和 BD为对角线，G为ABC的重心， E是 BD上一点， BE 3ED ，以AB，AC，AD为基底，则GE14 已 知

5、 a,b,c是 空 间两 两 垂 直 且 长度 相 等 的 基 底 ， m=a+b,n=b-c, 则 m,n 的 夹 角为。15. 在三角形 ABC 中， A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量 n与平面 ABC 垂直， 且| m |=21,则 n 的坐标为。16. 已 知 向 量a=(+1,0,2) ，b=(6,2-1,2),若a|b,则与的 值 分 别是 . 三、解答题 （本大题共 5小题, 满分70分）17(12 分) 已知空间四边形ABCD 的对边 AB与 CD ，AD与 BC都互相垂直，用向量证明： AC与 BD也互相垂直B A D C 精选学习资料 -

6、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载18 （14 分） ）如图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是 DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系（1）写出 A、B1、E、D1的坐标；（2）求 AB1与 D1E所成的角的余弦值19 （14 分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点（1）求证： EF 平面 PAD ；（2）求证： EF CD ；（3）若PDA 45 ，求 EF与平面 ABCD 所成的角的大小精选学习资料 - - - - - - - - -

7、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载20 （15 分）在正方体1111DCBAABCD中，如图、分别是1BB，的中点，（1）求证：FD1平面 ADE ；2）cos1,CBEFzyxFED1C1B1A1DCBA21 （15 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD ，DCPD，E是 PC的中点，作PBEF交 PB于点 F. （1）证明PA平面 EDB ；（2）证明 PB平面 EFD ；（3）求二面角D-PB-C的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

8、 页，共 14 页学习必备欢迎下载x y z ABCDPF E空间向量与立体几何 (1) 参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 6 分，共 24 分）110 122 13ADACAB4331121 14 6015。 （2，-4，-1 ） ， （-2 ，4，1） 16。1 15 2，. 三、解答题（本大题共5 题，共 76 分）17证明：0,CDABCDAB . 又CACBAB，0)(CDCACB即CDCACDCB. 0,BCADBCAD

9、. 又CACDAD，0)(BCCACD即BCCABCCD. 由+得：0BCCACDCA即0BDCA.BDAC. 18 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) AB1 (0, - 2, 2) ，ED1 (0, 1, 2) |AB1 | 22 ，|ED1 | 5 ，AB1 ED1 0242, cos AB1 ，ED1 AB1 ED1 |AB1 | |ED1 |22251010 AB1与 ED1所成的角的余弦值为101019证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设 AB 2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0) ，B(

10、2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0) ，D(0, 2 b, 0) ，P(0, 0, 2c) E 为 AB 的中点，F 为 PC的中点 E( a, 0, 0)，F ( a, b, c) (1) EF(0, b, c)，AP(0, 0, 2c)，AD(0, 2 b, 0) EF12(APAD) EF与AP、AD共面又 E平面 PAD EF 平面 PAD (2) CD( - 2a, 0, 0) CDEF( - 2a, 0, 0) (0, b, c) 0 CD EF (3) 若PDA 45 ，则有 2b2c，即 bc，EF (0, b, b) ，AP (0, 0, 2b) cosEF，AP 2

11、b22b2b22EF，AP 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载AP 平面 AC ，AP 是平面 AC的法向量 EF与平面 AC所成的角为： 90EF，AP 45 20解：建立如图所示的直角坐标系， （1）不妨设正方体的棱长为1，则 D （0，0，0） ，A（1，0，0） ，1D（0，0，1） ，E（1，1，21） ，F（0，21，0） ，则FD1（0，21，1） ，AD（1，0，0） ，AE（0，1，21） ，则DAFD10，AEFD10，DAFD1，AEFD1. FD1平面 ADE. （）1B

12、（1，1，1） ，C（0，1，0） ，故1CB （1，0，1） ，EF（ 1，21，21） ，1CBEF102123，2341411EF，21CB，则 cos2322323,111CBEFCBEFCBEF. 150,1CBEF. 21解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点 . 设.DCa(1) 证明：连结 AC ，AC交 BD于 G.连结 EG. 依题意得( ,0,0),(0,0,),(0,)2 2a aA aPaE底面 ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，故点 G的坐标为(,0)2 2a a且( ,0,),(,0,).22aaPAaaEG2PAEG. 这表明EGPA. 而 EG平

13、面 EDB且 PA平面 EDB ，PA平面 EDB 。(2) 证明：依题意得( , ,0),( , ,)B a aPBa aa。又(0,),2 2a aDE故022022aaDEPBPBDE , 由已知 EFPB ，且,EFDEE所以 PB平面 EFD. (3) 解：设点 F的坐标为000(,),xyzPFPB 则000(,)( , ,)xyzaa aa从而000,(1) .xa ya za所以00011(,)(,() ,() ).2222aaFExyzaaa由条件 EFPB 知，0PBPE即22211()()0,22aaa解得13。点 F 的坐标为2(,),3 33a aa且2(,),(,)

14、.3 66333a aaaaaFEFD03233222aaaFDPB, 即 PBFD ，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 . 691892222aaaaFDPE且aaaaFDaaaaPE369499,6636369222222zyxFED1C1B1A1DCBAGABCDPyxzEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载2.16cos.2|66.63aFE FDEFDFEFDaa3EFD, 所以，二面角 CPC D的大小为.3江苏省海安高级中学期末复习测试空间向量与立体几何 (2) 姓名班级第卷（选

15、择题，共50 分）一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 A、B、C三点不共线，对平面ABC 外的任一点 O ，下列条件中能确定点M与点 A、B、C一定共面的是（）AOCOBOAOMBOCOBOAOM2COCOBOAOM3121D OCOBOAOM3131312 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点(,)Pxyz， 那 么 下 列 说 法 正 确 的 是（）A点p关于x轴对称的坐标是1,pxy zB点p关于 yoz平面对称的坐标是2,pxyzC点 p 关于 y 轴对称点的坐标是3,pxy zD点

16、 p 关于原点对称点的坐标是4,pxyz3已知向量 a（1，1，0） ，b（ 1，0，2） ，且 k ab 与 2 ab 互相垂直，则 k 的值是（）A.1 B.51 C.53 D.57精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载4已知空间四边形ABCD ，M 、G分别是 BC 、CD的中点，连结 AM 、AG 、MG ，则 AB +1()2BDBC等于（）A.AG B. CG C. BC D.21BC5在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M和 N分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线A

17、M与CN所成角的余弦值是（）A52 B52 C53 D10106已知向量(0,2,1)a，( 1,1, 2)b，则a与b的夹角为（）A. 0 B. 45 C. 90 D. 1807已知点1,3, 4p，且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面， xoy平面上的射影的坐标依次为111,x y z，222,xyz和333,xy z，则（）A2221230 xyz B.2222310 xyzC. 2223120 xyz D.以上结论都不对8、 已知 点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C为 线段 AB 上 一点 ， 且3| |ACAB, 则点 的 坐 标 是( ) A.71 5(,)22 2

18、 B.3(, 3,2)8 C.107(, 1, )33 D.57 3(,)22 29、设 A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0,0ADACADABACAB则BCD是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定10、已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB 、AD的中点， GC 平面 ABCD ，且 GC 2，则点B到平面EFG的距离为（）A. 1010 B.11112C.53 D.1 第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、 - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载FED1C1B1A1DCBAzyxSBCDA11、若(1,1,0),( 1,0, 2),abab则同方向的单位向量是 _. 12已知 S是ABC所在平面外一点， D是 SC的中点，若BDxAByACzAS，则 xyz13、已知2,4,2, ,26axbyaab，若且，则 xy的值为。14、 已知向量 a 和 c 不共线， 向量 b0， 且()()ab c bc a， dac， 则,d b15 已 知 三 角 形 的 顶 点 是(1, 1,1)A，(2,1, 1)B，( 1, 1, 2)C， 这 个 三 角 形 的 面 积是。16 （如图）一个

20、结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于 1，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。三、解答题 （用向量方法求解下列各题, 共 70 分）17、在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别为 DD1和 BB1的中点（1）证明： AEC1F是平行四边形；（2）求 AE和 AF之间的夹角的余弦；（3）求四边形 AEC1F 的面积18如图，四边形 ABCD 是直角梯形， ABC BAD 90，SA 平面 ABCD ， SAAB BC 1，AD 12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

21、- - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载（1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦；（2）求平面 SAB和平面 SCD 所成角的余弦19、如图，在底面是菱形的四棱锥PABC 中， ABC=600，PA=AC= a，PB=PD=a2, 点 E 在PD上，且 PE:ED=2:1. （I ）证明 PA 平面 ABCD ；（II ）求以 AC为棱， EAC与 DAC 为面的二面角的大小；（）在棱 PC上是否存在一点F，使 BF/ 平面 AEC ？证明你的结论 . D P B A C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

22、14 页学习必备欢迎下载EzyxC1B1A1DGCBA20如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90侧棱 AA12，D 、E分别是 CC1与 A1B的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD 的重心 G （1）求 A1B与平面 ABD所成角的大小（2）求 A1到平面 ABD的距离21.P 是平面 ABCD 外的点，四边形 ABCD 是平行四边形，2, 1, 4 ,AB4,2,0 ,AD1,2, 1AP. （1）求证： PA平面 ABCD. （2）对于向量111222(,),(,)ax y zbxyz，定义一种运算：()abc12323131213221332

23、1x y zx y zx y zx y zx y zx y z， 试计算()ABADAP的绝对值 ; 说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算()ABADAP的绝对值的几何意义（几何体 P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13底面积高）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载空间向量与立体几何 (2) 参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D D D A B C A C C B 二、填空题（本

24、大题共4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11 （0，15，25） 12 0 13 1,-3 149015。1101| | sin22ABCSABACA 16。61AC三、解答题（本大题共6 题，共 76 分）17 （1）略（2）15（3）262sa18 （1）63（2）6319 （）证明因为底面 ABCD 是菱形， ABC=60 ，所以 AB=AD=AC=a，在PAB中，由 PA2+AB2=2a2=PB2知 PA AB. 同理， PA AD ，所以 PA 平面 ABCD. （）解作 EG/PA 交 AD于 G ，由 PA 平面 ABCD. 知 EG 平面 ABCD. 作 GH AC于 H

25、，连结 EH ，则 EH AC ，EHG 即为二面角的平面角 . 又 PE : ED=2 : 1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30（）解法一以 A为坐标原点，直线AD 、AP分别为 y 轴、z 轴，过 A点垂直平面 PAD的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0 ,21,23(),0,0 ,0(aaCaaBA).31,32,0(),0,0(),0,0(aaEaPaD所以).0,21,23(),31,32,0(aaACaaAE).,21,23(),0,0(aaaPCaAP).,21,

26、23(aaaBP设点 F是棱 PC上的点，,10),21,23(其中aaaPCPF则),21,23(),21,23(aaaaaaPFBPBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载).1 (),1(21),1(23(aaa令AEACBF21得.311,341,1.31)1(,3221)1 (21,23) 1(2322112211即aaaaaaa解得.23,21,2121即21时，.2321AEACBF亦即， F 是 PC的中点时，BF、AC、AE共面. 又 BF平面 AEC ，所以当 F 是棱 PC的中

27、点时， BF/ 平面 AEC. 20(14 分) 解： （1）连结 BG ，则 BG是 BE在面 ABD的射影，即 A1BG是 A1B与平面 ABD所成的角 . 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设 CA=2 a，则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D （0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G （31,32,32aa）. ) 1 ,2,0(),32,3,3(aBDaaGE，032322aBDGE，解得 a=1. ),31,34,32(),2,2,2(1BGBA372131323/14|cos111BGBABGBABGA. A1B与平面 ABD 所成角是37arcc

28、os. （2）由（1）有 A（2，0，0） ，A1（2，0，2） ，E（1，1，1） ，D（0，0，1）0)0, 1, 1()2,0 ,0(001, 1()1 , 1 , 1(1EDAAEDAE，），ED平面 AA1E，又 ED 平面 AED. 平面 AED 平面 AA1E，又面 AED 面 AA1E=AE ，点 A在平面 AED 的射影 K在 AE上. 设AEAK，则)2,(11AKAAKA由01AEKA，即02，解得32. )34,32,32(1KA, 即63291694941KA即点 A1到平面 AED的距离为632. 21. 解： （1）(2,1, 4) ( 1,2, 1)2( 2)40AP ABAPABAPAB即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载( 1,2, 1) (4, 2,0)4400AP ADAPADPAADADABCD即面（2）348,105ABADAPAB AD又cosV1sin163ABADAB ADAP猜测：ABADAP在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页