2022年高考数学一轮复习-第2章-函数、导数及其应用-第11节-导数与函数的单调性 .pdf

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1、缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里第十一节导数与函数的单调性 考纲 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数不超过三次) ( 对应学生用书第32 页 ) 基础知识填充 函数的导数与单调性的关系函数yf(x) 在某个区间内可导，则(1) 假设f(x) 0，则f(x) 在这个区间内是增加的；(2) 假设f(x) 0，则f(x) 在这个区间内是减少的；(3) 假设f(x) 0，则f(x) 在这个区间内是常数函数 知识拓展 1在某区间内f(x)0(f(x)0.( ) (2) 如果函数在某个区间内恒有f(x) 0，则函数f(x) 在此区间上没有

2、单调性( ) (3)f(x) 0 是f(x) 为增函数的充要条件( ) 答案 (1) (2) (3) 2f(x) x36x2的单调递减区间为( ) A(0,4) B (0,2) C(4 ，)D ( ， 0) Af(x) 3x2 12x3x(x4) ，由f(x)0 ，得 0 x0，故选项D正确故选 D ( 对应学生用书第32 页 ) 判断或证明函数的单调性已知函数f(x) ln xax2 (2 a)x. 讨论f(x) 的单调性 解f(x) 的定义域为 (0， ) f(x)1x2ax2a2x1ax1x. 假设a0，则f(x) 0. 所以f(x) 在(0 ， ) 上单调递增假设a0，则由f(x) 0

3、，得x1a，且当x 0，1a时，f(x)0，当x1a，时，f(x) 0. 所以f(x) 在 0，1a上单调递增，在1a，上单调递减综上所述，当a0 时，函数f(x) 在(0 ， ) 上单调递增；当a0 时，函数f(x) 在 0，1a上单调递增，在1a，上单调递减 规律方法 用导数证明函数f(x)在 (a，b)内的单调性的步骤一求：求f(x) ；二定：确认f(x) 在 (a，b) 内的符号；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里三结论：作出结论：f(x) 0 时为增函数；f(x)0

4、时为减函数易错警示： 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 变式训练1 (2016四川高考节选)设函数f(x) ax2aln x，g(x)1xeex，其中aR，e2.718为自然对数的底数(1) 讨论f(x) 的单调性；(2) 证明：当x1 时，g(x)0. 【导学号： 00090064】 解(1) 由题意得f(x) 2ax1x2ax21x(x0). 2 分当a0时，f(x)0时，由f(x) 0 有x12a，当x0，12a时，f(x)0，f(x) 单调递增 . 7 分(2) 证明：令s(x) ex1x，则s(x) ex1 1. 9 分当x1时，s(x)0，

5、所以 ex 1x，从而g(x) 1x1ex10. 12 分求函数的单调区间(2016天津高考节选) 设函数f(x) x3axb，xR，其中a，bR. 求f(x) 的单调区间 解由f(x) x3axb，可得f(x) 3x2A下面分两种情况讨论：当a0 时，有f(x) 3x2a0恒成立，所以f(x) 的单调递增区间为( ， ).5 分当a0 时，令f(x) 0，解得x3a3或x3a3. 当x变化时，f(x) ，f(x) 的变化情况如下表：x ，3a33a33a3，3a33a33a3，f(x)00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

6、 7 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所 以f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为3a3，3a3， 单 调 递 增 区 间 为，3a3，3a3，. 12 分 规律方法 求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x) 的定义域；(2) 求f(x) ；(3) 在定义域内解不等式f(x) 0，得单调递增区间；(4) 在定义域内解不等式f(x) 0，得单调递减区间 变式训练2 已知函数f(x) ( x22x)ex，x R，e 为自然对数的底数，则函数f(x) 的单调递增区间为_( 2，2) 因为f(x) ( x22x)ex，所以f(x) ( 2x

7、2)ex( x22x)ex( x22)ex. 令f(x) 0，即 ( x22)ex0，因为 ex0，所以x22 0，解得2x2，所以函数f(x) 的单调递增区间为( 2，2) 已知函数的单调性求参数已知函数f(x) x3axf(x) 在 R上为增函数，求实数a的取值范围 解因为f(x) 在( ， ) 上是增函数，所以f(x) 3x2a0 在 (， ) 上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为 3x20，所以只需a0.又因为a 0 时，f(x) 3x20，f(x) x31 在 R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为( ， 0 母题探究1 ( 变换条件 ) 函数f(x) 不变，假设f(x) 在区

8、间 (1 ， ) 上为增函数，求a的取值范围 解因为f(x) 3x2a，且f(x) 在区间 (1 ， ) 上为增函数，所以f(x) 0 在(1 ， ) 上恒成立，即3x2a0 在(1 ， ) 上恒成立，所以a3x2在(1 ， ) 上恒成立，所以a3，即a的取值范围为 ( ， 3 母题探究2 ( 变换条件 ) 函数f(x) 不变，假设f(x) 在区间 ( 1,1) 上为减函数，试求a的取值范围 解由f(x) 3x2a0在( 1,1) 上恒成立，得a3x2在( 1,1) 上恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页缘份让你

9、看到我在这里缘份让你看到我在这里因为 1x1，所以 3x23，所以aa的取值范围为 3 ， ) 时，f(x) 在( 1,1) 上为减函数 母题探究3 ( 变换条件 ) 函数f(x) 不变，假设f(x) 在区间 ( 1,1) 上不单调，求a的取值范围 解f(x) x3ax1，f(x) 3x2A由f(x) 0，得x3a3(a0)f(x)在区间 ( 1,1) 上不单调， 03a31，得 0a3，即a的取值范围为 (0,3) 规律方法 根据函数单调性求参数的一般方法(1) 利用集合间的包含关系处理：yf(x) 在(a，b) 上单调，则区间(a，b) 是相应单调区间的子集(2) 转化为不等式的恒成立问题

10、，即“假设函数单调递增，则f(x) 0；假设函数单调递减，则f(x) 0”来求解易错警示： (1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x (a，b) 都有f(x) 0，且在(a，b) 内的任一非空子区间上f(x) 不恒为0. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2) 函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了3a3(0,1) 来求解 变式训练3 已知函数f(x) ln x，g(x) 12ax22x(a0)(1) 假设函数h(x) f(x) g(x) 在1,4上是减少的，求a的取值范围；(2) 假设函数h(x) f(x) g(x) 存在单调递减区间，求a的取

11、值范围 . 【导学号： 00090065】 解(1)h(x) ln x12ax22x，x(0 ， ) ，所以h(x) 1xax2，由h(x) 在1,4上是减少的得，当x1,4时，h(x) 1xax20 恒成立，即a1x22x恒成立令G(x)1x22x，所以aG(x)max，而G(x) 1x121，因为x1,4，所以1x14， 1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里所以G(x)max716( 此时x4) ，所以a716，即a的取值范围是716，. (2)h(x) 1xax2，由于h(x) 在(0， ) 上存在单调递减区间，所以当x(0 ， ) 时，1xax2 0 有解，即a1x22x有解设G(x) 1x22x，所以只要aG(x)min即可而G(x) 1x121，所以G(x)min 1. 所以a 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页