2022年高考数学一轮汇总训练《函数y=Asinωxφ的图象及三角函数模型的简单应用》理新人教A版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第四节函数yAsin( x) 的图象及三角函数模型的简单应用 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1. 了解函数yAsin( x ) 的物理意义；能画出yAsin( x) 的图象，了解参数A， 对函数图象变化的影响2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 . 1. 以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如20XX年浙江 T4等2. 与三角恒等变换相结合考查yAsin( x) 的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如 20XX年安徽 T16 等. 归纳知识整合 1yAsin( x) 的有关概念yAsin( x)(A

2、0，0) ，x0 ，) 表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T2f1T2x2用五点法画yAsin( x ) 一个周期内的简图用五点法画yAsin( x) 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x 2322x02322yAsin( x)0A 0A 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载 探究 1. 用五点法作yAsin( x) 的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定x ，即先使 x 等于 0，2，32，2，然后求出x的值3函数y sin x的图象变换得到yAsin( x )(A0，0)

3、的图象的步骤法一法二 探究 2. 在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？提示：可以看出，前者平移| | 个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误 自测牛刀小试 1( 教材习题改编)为了得到函数y3sinx5的图象，只要把函数y3sinx5的图象上所有的点( ) A向右平行移动5个单位长度B向左平行移动5个单位长度C向右平行移动25个单位长度D向左平行移动25个单位长度解析：选 C y3sinx53sinx25 5，精选学习资料 -

4、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载要得到函数y3sinx5的图象，应把函数y3sinx5的图象上所有点向右平行移动25 个单位长度2( 教材习题改编 )y2sin2x4的振幅、频率和初相分别为( ) A2，1，4B 2，12，4C2，1，8D 2，12，8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin2x4的振幅为2，周期为 ，频率为1，初相为4. 3将函数y sin x的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍( 纵坐标不变 ) ，所得图象的函数解析式是( ) A

5、ysin2x10Bysin2x5Cysin12x10Dysin12x20解析：选 C 将ysin x的图象向右平移10个单位得到ysinx10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍得到ysin12x10的图象4将函数ysin(2x)(0 ) 的图象向左平移6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则 的值是 _解析：函数ysin(2x) 的图象向左平移6个单位后，得ysin2x3 ，则3k2. 又 0 ，故 6. 答案：65函数yAsin( x )(A、 、 为常数，A0， 0) 在闭区间 ，0 上的图象如图所示，则_. 解析： 由函数yAsin( x) 的图象可知：T2 3 23精选学习

6、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载3，则T23. T223， 3. 答案： 3 函数yAsin( x) 的图象及变换 例 1 已知函数y 2sin2x3，(1) 求它的振幅、周期、初相；(2) 用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3) 说明y 2sin2x3的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到 自主解答 (1)y2sin2x3的振幅A2，周期T22，初相 3. (2) 令X2x3，则y2sin2x32sin X. 列表，并描点画出图象：x 612371256X 02322ysin X 010

7、10 y2sin2x302020 (3) 法一：把ysin x的图象上所有的点向左平移3个单位，得到ysinx3的图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载象，再把ysinx3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍( 纵坐标不变 ) ，得到ysin2x3的图象，最后把ysin2x3上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍 ( 横坐标不变) ，即可得到y2sin2x3的图象法二：将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移6个单位

8、，得到y sin 2x6sin2x3的图象；再将ysin2x3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2 倍，得到y 2sin2x3的图象若将本例 (3) 中“ysin x”改为“y2cos 2x”，则如何变换？解：y 2cos 2x2sin2x2向右平移4个单位y2sin 2x 向左平移6个单位y2sin2x3，即将y2cos 2x的图象向右平移12个单位即可得到y2sin2x3的图象函数yAsin( x )(A 0， 0) 的图象的作法(1) 五点法：用“五点法”作yAsin( x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取 0，2，32， 2 来求出相应的x，通过列表，计算得出

9、五点坐标，描点后得出图象(2) 图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin( x) 的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”1(2012山东高考) 已知向量m(sin x,1)，n3Acos x，A2cos 2x(A0) ，函数f(x)m n的最大值为6. (1) 求A；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载(2) 将函数yf(x) 的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数yg(x) 的图象，求g(x) 在 0，524

10、上的值域解： (1)f(x) m n3Asin xcos xA2cos 2xA32sin 2x12cos 2xAsin2x6. 因为A0，由题意知A6. (2) 由(1) 知f(x) 6sin2x6. 将函数yf(x)的图象向左平移12个单位后得到y6sin2x1266sin2x3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y6sin4x3的图象因此g(x) 6sin4x3. 因为x 0，524，所以 4x33，76，故g(x) 在 0，524上的值域为 3,6. 求函数yAsin( x) 的解析式 例 2 (1) 函数f(x) Asin( x )(A， ， 是常数，A

11、 0， 0) 的部 分图象如图 (1) 所示，则f(0) _. (2) 如图 (2) 所示是函数f(x) Asin( x) B A0， 0，| | 0，2图象的一部分，则f(x) 的解析式为 _图(1) 图(2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载 自主解答 (1) 由图可知A2. T471234，T. 又T2，2. 又图象过点3，0 ，sin23 0. 由图可知232k，kZ. 2k3，k Z. 故f(x) 2sin2x3，f(0) 2sin362. (2) 由于最大值和最小值之差等于4，故A2，

12、B1. 把(0,2) 代入f(x) ，得 22sin 1，取 6. 由图，可知0 1，令 ( ) 22k，得 23. 所以函数的解析式是f(x) 2sin23x61. 答案： (1)62(2)f(x) 2sin23x61 确定yAsin( x ) b(A0，0) 的解析式的步骤(1) 求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，bMm2. (2) 求 ，确定函数的周期T，则 2T. (3) 求 ，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入( 此时A，b已知 ) 或代入图象与直线yb的交点求解 ( 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中

13、的特殊点作为突破口具体如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载“第一点” ( 即图象上升时与x轴的交点 ) 为 x 0；“第二点” ( 即图象的“峰点”)为 x 2；“第三点” ( 即图象下降时与x轴的交点 ) 为 x；“第四点” ( 即图象的“谷点” ) 为x32；“第五点”为x2. 2设函数f(x) sin( x)( 0,0 2) 的部分图象如图所示，直线x6是它的一条对称轴，则函数f(x) 的解析式为 ( ) Af(x) sinx3Bf(x) sin2x6Cf(x) sin4x3Df(x) s

14、in2x6解析：选 D 由题意可知，T451264，T 2， 2. 再将x6代入 B，D检验直线x6是否是对称轴， 得 D选项正确 . 函数yAsin( x ) 的图象与性质的综合应用 例 3 函数f(x) 6cos2x23sin x3( 0) 在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象 与x轴的交点，且ABC为正三角形(1) 求 的值及函数f(x) 的值域；(2) 若f(x0) 835，且x0 103，23，求f(x01)的值 自主解答 (1) 由已知可得，f(x) 3cos x3sin x23sinx3. 又正三角形ABC的高为 23，从而BC4. 所以函数f(x) 的周期

15、T42 8，即28，4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载函数f(x) 的值域为 23，23 (2) 因为f(x0) 835，由(1) 有f(x0) 23sinx043835，即 sinx04345. 由x0 103，23，知x043 2，2，所以 cosx043145235. 故f(x01) 23sinx044323sinx043423 sinx043cos4cosx043sin42345223522765. 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关

16、键此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握3已知函数f(x) Asin( x) ，xR 其中A0，0，22，其部分图象如图所示(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知横坐标分别为1、1、5 的三点M、N、P都在函数f(x) 的图象上，求sin MNP的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载解： (1) 由图可知，最小正周期T42 8，所以T28， 4. 又f(1) sin4 1，且22，所以4434，所以42，4. 所以f(x) sin4(x1

17、) (2) 因为f( 1)sin4( 11) 0，f(1) sin4(1 1) 1，f(5) sin4(5 1) 1，所以M( 1,0) ，N(1,1)，P(5 ， 1) ，所以 |MN| 5，|MP| 37，|PN| 20，从而 cosMNP52037252035，由MNP(0 ，) ，得 sin MNP1cos2MNP45. 1 个区别两种图象变换的区别由ysin x的图象变换到yAsin( x) 的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换 (伸缩变换 ) ，平移的量是 | | 个单位； 而先周期变换 ( 伸缩变换 ) 再相位变换， 平移的量是| |( 0)个单位原因在于相位变换和周期变

18、换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值2 个注意作函数yAsin( x) 的图象应注意的问题(1) 首先要确定函数的定义域；(2) 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象3 种方法由函数图象求解析式的方法方法一如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式yAsin( x)中的参数A和 ，再选取“第一零点” ( 即五点作图法中的第一个点) 的数据代入“x 0”( 要注意正确判断哪一点是“第一零点”) 求得. 方法二通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，. 依据是五点精选学习资料 - - - -

19、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载法方法三运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数. 答题模板由三角函数图象确定解析式 典例 (2012湖南高考)( 本小题满分12 分) 已知函数f(x) Asin( x)xR，0，02的部分图象如图所示(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数g(x)f x12f x12的单调递增区间 快速规范审题 第(1) 问1审条件，挖解题信息观察条件：函数f(x) Asin( x ) 的部分图象 可知图象与y轴的交点及两个平衡点(0,1) ，512，0 ，1112，0 可确定周期T21

20、112512. 2审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f(x) 的解析式 需要确定A，三个参数应建立关于A， ， 的三个方程3建联系，找解题突破口结合条件和求解可知 由周期确定 2，即2 由平衡点确定2512 2k，kZ，即 6 初步确定函数解析式f(x) Asin2x6 由点，确定Af(0) 1?Asin61?A2 A， 都已求出，解析式确定f(x) 2sin2x6. 第(2) 问1审条件，挖解题信息精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载观察条件：f(x) 2sin2x6. 2审结论，明确解题方

21、向观察所求结论： 求函数g(x) f x12f x12的单调递增区间 化简gx的解析式g(x) 2sin2x3. 3建联系，找解题突破口联想函数ysin x的单调性2,2,22kkkz单调递区间为增2k22x32k 2?k12xk512，kZ?g(x) 的单调递增区间是k12，k 512，kZ. 准确规范答题 (1) 由题设图象知，周期T 21112512 ，所以 2T2. ?(2 分) 因为点 (512， 0)在函数图象上，所以Asin2512 0，即 sin56 0. 又因为 0 2，所以56560，00，R ) 的部分图象如图所示，那么f(0) ( ) A12B32C 1 D3 解析：选

22、 C 由图可知，A2，f32，2sin23 2， sin23 1，23 22k (kZ) ， 62k(k Z) ，f(0) 2sin 2sin6 2k 2 12 1. 3设函数f(x)sin x3cos x( 0) 的周期为. (1) 求它的振幅、初相；(2) 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3) 说明函数f(x) 的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到解： (1)f(x) sin x3cos x212sin x32cos x2sinx3. 又T ，2，即 2. f(x) 2sin2x3，函数f(x) sin x3cos x的振幅为2，初相为3. (2) 列出下表2

23、x302322x 612371256y2sin2x3020 20 描点画出图象如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载(3) 把ysin x图象上所有的点向左平移3个单位，得到ysinx3的图象，再把ysinx3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12( 纵坐标不变 ) ，得到ysin2x3的图象，然后把ysin2x3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍( 横坐标不变 ) ，即可得到y 2sin2x3的图象4. 如图为yAsin( x) 的图象的一段(1) 求其解析式；(2) 若将yAsin( x )的图象向左平移6个单位后得yf(x)的图象，求f(x) 的对称轴方程解： (1) 由图象知A3，以M3， 0 为第一个零点，N56，0 为第二个零点列方程组30，56 ，解之得 2，23.故所求解析式为y3sin2x23. (2)f(x) 3sin2x6233sin2x3. 令 2x32k，kZ，则x512k2(kZ) ，故f(x) 的对称轴方程为x512k2(kZ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页