2022年重要不等式 .pdf

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1、精品资料欢迎下载五、反证法有些不等式的证明，如果从正面直接证比较困难，可以从正难则反的角度考虑，用反证法来证明。即首先假设所要证明的不等式（结论）不成立，然后通过合理的逻辑推理而导出与已知条件或其它定理矛盾，从而说明假设不成立，因此肯定不等式成立。如果需要证明不等式为否定命题，惟一性命题或含有 “至多” 、 “至少”、 “不存在” 、 “不可能”等词语时，可以考虑使用反证法。例 1 设,x y zR，且222sinsinsin =1xyz，求证2xyz。证明 假设2xyz，（1）则有022xyz（2）因为正弦函数在区间（ 0，2）上是増函数，所以sin()sin()cosz2xyz（3）（3）

2、式两边（都是正数）平方，得2222sincox y cox x sin2sin x cos ycos x sin y xy2222cos z=1-sin z =sin x +sin y 整理，得sinxsinycos(x+y )0(4) 但是由（ 1） 、 （2）可知, ,x+y x y（0，2） ，所以（ 4）式不可能成立。因此2xyz。八、放缩法放缩法是将有关数或式适当地“放大”或“缩小”的一种变形技巧，要证明不等式 A1 分析：本题并不难，只要进行适当的放缩， 要证不等式左边的项数是n2-n+1.如果每项都缩小为1n2，便过缩，无法判断和 1 的大小关系， 然而我们容易发现，除第一项外，

3、把其余n2-n 项都缩小为1n2，便容易得出结论。证明：不等式左边除第一项外，还有n2-n 项，除末项等于1n2外，其余各项大于1n2，现在不改变第一项，而将其它各项全都缩小为1n2，即得1n+1n+1+1n+2+1n21n+(n2-n)1n2=1n+1-1n=1，则1n+1n+1+1n+2+1n21 使用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论，另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。九、数学归纳法含有自然数n 的不等式，一般可采用数学归纳法证明，数学归纳法的基本形式：对一个与自

4、然数n 有关的命题 P（n） 。 （1）当 n=1 时，命题 P（1）成立；（2）假设当 n=k 时，命题 P（k）成立，能推出当 n=k+1 时命题 P（k+1）也成立，由（ 1） （2）则命题 P（n）对一切自然数n 都成立，其中（ 1）是通过具体的验证，得到递推的基础。 （2）是以一次性的演绎论代替无穷次的逐一验证，获得递推的依据，在推导过程中，仍要注意“放缩”技巧5。例 10：已知， a、b 为正实数，且1a+1b=1。试证：对每一个nN， （a+b）n-an-bn22n-2n+1 证明： （1）当 n=1 时，左边 =0=右边，命题成立（2）假设当n=k 时，不等式成立，即有（a+b

5、）k-ak-bk22k-2k+1，那么当 n=k+1 时，左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=(a+b) （a+b）k-ak-bk+akb+abk，且1a+1b=1，故 ab=a+b，又（a+b） （1a+1b）4，故 ab=a+b4。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精品资料欢迎下载akb+abk2kkbaba22k+1=2k+2则左边 4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2=右边由（1）和（ 2） ，对一切 nN，不等式成立。说明；本题综合性强，从本题结论出发，很容易想到用数学归纳法，在

6、证明过程中巧妙运用条件1a+1b=1 及一些不等式性质，关键是在推导n=k+1 的结论时，要对不等式的变形要向n=k 时的不等式靠拢，并想方设法用到前面结论。在具体运用数学归纳法证明命题时，有以下几方面须注意：两个条件缺一不可，若有（1）而无（ 2） ，则属不完全归纳，结论的一般性不可靠，若有（ 2）无（ 1） ，则（ 2）中的归纳假设便失去了实际基础，甚至在探讨问题时，会得到荒谬的结论。十、增量法前面我们介绍了增量换元，在证明不等式，特别是对称不等式时常用的，即在假设条件 abc下，证明一个关于 a、 b、 c 的不等式时，可令 a=c+p， b=c+q，（其中 pq0，p、q 称为增量）然

7、后进行论证， 。这种证明方法称为增量法或松弛法，它实质上是一种特殊的变量代换法。例 12：在 ABC 中，A120，bc，求证： a3c 证明：设 A=120+d1（0d160） ，b=c+d2（d20） ，因 A 是第二象限角，故 cos(12 0+d1) cos12 0，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(c+d2)2+c2-2(c+d2)ccos(12 0+d1) (c+d2)2+c2-2(c+ d2) ccos12 0=3c2+3cd2+ d223c2所以： a3c 说明：本题证明过程有三步：变更已知条件，增设增量d1、 d2，将已知的不等量关系转化为等量关系；应用有关的性

8、质定理，并将d1或 d2的式子代替 A 与 b；利用放缩原理，消去d1、d2，得到要证明的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页精品资料欢迎下载十二、构造法在数学解题中， 常有一类问题， 它们的已知条件和需求结论之间不能直接建立关系，我们常常根据题目的条件，在分析联想的基础上适当地构造出一个或几个与题目有关系的辅助等式、辅助图形、函数、模型等做为工具，参与解题，从而得到原问题的解，这样的一种解题方法叫做构造法。运用构造法解题是一种创造性的思维活动，构造法是以创造性思维为依托，用已知条件中的“元素”为“元件”，用已

9、知数学关系为支架，对题设条件、结论进行分析，联想有关知识和方法，通过恰当地构造辅助元素，在思维中构造出一种新的数学形式，著名的美国数学家波利亚对拟定解题计划时特别强调“假设你找不出已知和未知的关系，就得考虑辅助条件” ，这里所指的辅助条件问题，就包括运用构造法。（一）构造不等式例：求证1234562n-12nn1分析：求证不等式左边要能够方便运算，必须考虑辅助不等式由真分数的性质（若ba是真分数，则ba0） ，故有1223，34452n-12nb0，试证明3a- 3bb0，a-b0，故求证不等式可变为baba33003baba这可看作曲线上两点连线斜率和另外两点连线斜率大小比较（构造函数 y=

10、3x， 曲线上 A、B、C 三点坐标为3,aa、3,bb、3,baba，直线 AB 的斜率为baba33，直线 DC 的斜率为baba3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精品资料欢迎下载（三）构造函数证不等式例：求证|a+b|1+|a+b|a|1+|a|+|b|1+|b|分析：观察不等式左右两边，各项式子外形结构皆相似于n1+n的形式，构造函数 f(x)=x1+x，x0，+ ，即 f（x）=1-11+x，由于11+x在0，+单调递减，因而 f(x)在 0，+单调递增，令x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，则有

11、 x1x2，f(x1)f(x2)。. 即|a+b|1+|a+b|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+ |b|1+|a|+|b|a|1+|a|+|b|1+|b|有 了 上 面 的 证 明 思 路 ， 我 们 便 很 容 易 地 证 明 下 一 个 不 等 式1199912345619971998144(1)在此还渗透了一些整体思想。证 明 ： 令A=12345619971998， 着 眼 作 乘 相 约 ， 构 造 乘 积 式 ，B=23456719961997 1， 显然 B 的每一个因子大于A 的相应因子，即有 AB，同时注意到B2=1223456719961997因B

12、2的每一个因子不大于A 的相应因子 ， 即B2A ， 于 是AB2A2AB ， 即12 1998 A211998。 因 而164199821A19981144(2) 通过构造乘积式B 进行放缩处理，我们得到了比（1）更强的（ 2） ， （1）式自然成立，在（ 2）的基础上进一步可证更强的不等式16012345619971998A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页精品资料欢迎下载同时注意到34C=1234456719961997，34C 的每一个因子不大于A 的相应因子，即有关系34CA，于是有34ACA2AC，即

13、91611998 A23411998，则得1603419981A1998430，y0)这一不等式应用相当广泛， 举一例说明。（直接利用算术平均数平方平均数，或柯西不等式，也可得（1）式。）例 3： 设,(0,)x y， 若不等式yxayx(x0， y0)恒成立，求证：2a。【解析】：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy a2(x+y)，即 2xy(a21)(x+y)，x， y0， x+y2xy，当且仅当x=y 时，中有等号成立. 比较、得a 的最小值满足a21=1，a2=2，a=2(因 a0)， a 的最小值是2. 【解法 2】原不等式等价于xyaxy恒成立，则 a 大

14、于等于xyxy的最大值。因为,(0,)x y，所以222112xyxyxyxyxyxyxyxyxy当且仅当x=y 时等号成立。所以2xyxy，所以2a。例 4：若 a0，b0，a3+b3=2，求证： a+b2， ab1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页精品资料欢迎下载证法一：因a0，b 0， a3+b3=2，所以(a+b)323=a3+b3+3a2b+3ab28=3a2b+3ab26 =3ab(a+b)2=3ab(a+b)(a3+b3)=223()ab abaabb=3(a+b)(a+b)20. 即(a+b)3

15、23，又 a+b0，所以 0a+b2，因为 2aba+b2，所以 ab1. 证法二：设a、b 为方程 x2mx+n=0 的两根，则abnbam，因为 a0， b0，所以 m0，n0，且 =m24n0 因为 2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=( a+b)(a+b)23ab=m(m2 3n) 所以 n=mm3232将代入得m2 4(mm3232) 0，即mm383 0，所以 m3+80，即 m 2，所以 a+b2，由 2m 得 4m2，又 m24n，所以 44n，即 n1，所以 ab1. 例 5：若 x，y， zR，a，b， cR+，则cbaybacxacb22z22(xy+yz+zx

16、) 0)()()()()()(222)(4)(2)()(2)()()()(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(2:)1 (2222222222223333332222222222222222222222222222222222yxzxzyzyxyxxyxzzxzyyzxyzzxyyzxxyyxzxxzyzzyxyzzxyyzxxzzyyxxyyxzxxzyzzyzyxzxyzxyyxxyxzzxzyyzxyzzxyzxyzyxyxzxzyzyxzxyzxyzcbaybacxacbxaczcazcbybcybaxabzxxaczcayzzcbybcxyybaxabzxyzxy

17、zcbaybacxacb所证不等式等介于证明证明例 6：已知 a，b，c 为正实数， a+b+c=1.求证：(1) a2+b2+c231(2) 232323cba6 (1)证法一： a2+b2+c231=31(3a2+3b2+3c21) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精品资料欢迎下载=31 3a2+3b2+3c2 (a+b+c)2=31 3a2+3b2+3c2 a2b2c22ab2ac 2bc=31 (ab)2+(bc)2+(c a)2 0 a2+b2+c231证法二： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a

18、b+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c231629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(cbacbaccbbaaa同理证法一原不等式成立. 证法二：3)23()23()23(3232323cbacba336)(3cba232323cba336 原不等式成立. 三、四、例时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若nnnnnnnaaankaaanknaaaaaanxxfaaakkaaaaaa212222212222122221222221212

19、1)()(1),()()(,.2五、排序不等式定理 4 定理 7 （排序不等式）设有两个有序数组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页精品资料欢迎下载naaa21及nbbb21，则nnbababa2211（顺序和）nnbjabjabja2211（乱序和）.1121bababannn（逆序和）其中njjj,21是 1，2，n的任一排列 .当且仅当naaa21或nbbb21时等号（对任一排列njjj,21）成立 . 例 5 （IMO20 5）设,21kaaa为两两各不相同的正整数.求证：对任何整数n，有nknkkkka1

20、12.1证法一设nbbb,21是naaa,21的一个排列，满足nbbb21.因nbbb,21都是正整数，故.,2, 121nbbbn又因222131211n，故由排序不等式，得22212naaan（乱序和）22212nbbbn（逆序和）.1211n证法二由柯西不等式，有nkknkkknkknkakaakak112112).1()()1()1(因naaa,21是互不相同的正整数，易知nknkkka11.11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页精品资料欢迎下载nknkkkak11.1例 1 若 、 、 为锐角，且满足co

21、s2 +cos2+ cos2 = 1，求证：ctg2+ ctg2+ ctg232(数学通报 1993，6 问题 839) 证明 根据已知条件得sin2 + sin2 +sin2 = 2，而要证不等式等价于22211192sinsinsin由柯西不等式得222111sinsinsin2221sinsinsin2（）222111sinsinsin（）11 1 122（+）92证毕关于前面例 7 我们已经用了几种解法，现利用排序原理解决。证明：因为 b2、c 2、a2是 a2、b2、c 2的一个排列，所以由排序原理得a2b2b2 c 2c 2a2a4+b4+c4故（a2b2b2 c 2c 2a2）2

22、a4+b4+c42a2b22b2 c 22c 2a2 3（a2b2b2 c 2c 2a2）于是a2b2b2 c 2c 2a2a2+b2 +c 213，设 p=12(a+b+c) 则 S)()(cpbpapp=14(222cba)1)()(4222222222cbaaccbba14( a2+b2 +c 2)134= 341( a2+b2 +c 2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页精品资料欢迎下载即 a2+b2 +c 243S。六、贝努利不等式：(1)1nxnx （1x，0 x， n 为正整数）当 n为实数时贝努

23、利不等式也成立。例 2 （IM02 3）已知三角形的边长cba,及其面积 S求证：.34222Scba并求等号成立的条件这个不等式称为魏琴伯克（Weitjenb-ock）不等式，它有许多证法证法一设 C 是c边所对的角，由余弦定理及三角形的面积公式，得S34222cba=CabCabbabasin32cos22222222 2sin(30 )ababC.0)2(222abba上式中第一个不等式当且只当9030C时成立等号， 第二个不等式当且只当ba时成立等号所以原不等式当且只当cba时成立等号证法二我们证明一个更一般的不等式：.)()()(34222222baaccbScba令,(,ayzbz

24、xcxyxyz并利用海伦公式，则此不等式等价于222222)()()()(34)()()(xyzxyzzyxxyzyxxzzy)(34)(4zyxxyzzxyzxy)(3)(2zyxxyzzxyzxy.0)()()(222xyzxzxyzyzxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精品资料欢迎下载最后这个不等式显然成立，而且易知它当且仅当zyx时成立等号，从而原不等式当且只当cba时成立等号附注还有许多关于三角形的边与面积的不等式，例如4442444)()()(16accbbaScba，它们也可以用上述变换方法证明

25、例 3 时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若nnnnnnnaaankaaanknaaaaaanxxfaaakkaaaaaa2122222122221222212222212121)()(1),()()(,.2的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题CBAABCxysinsinsin), 0(sin)02.(1A 21B 23C 223D 23分析：例谈三角形不等式与代数不等式的相关性人们在一些中学数学的刊物上，不时的编拟出某些新的不等式，其实，只要你掌握了换元这种技巧， 你便会发现它们只不过是一些常见不等式的变式罢了. 本文意在通过实例谈谈

26、三角形不等式与代数不等式的相关性，或许对人们的思维有点启发. 时，取等号；时，即当且仅当上是凹函数，则：在3sinsinsin233sinsinsin2360sin)3sin()sinsin(sin31),0(sinCBACBACBACBACBAxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精品资料欢迎下载三角形不等式向代数不等式的转化在多种刊物（如文1、2）上探讨了如下三角形不等式：在锐角A B C中，求证.23coscoscoscoscoscosBACACBCBA笔者给出此不等式的上界，得到在锐角ABC中，求证.2c

27、oscoscoscoscoscos23BACACBCBA注意到,c o tc o t121c o tc o t1c o tc o t1c o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o sc o sc osCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBA同理,c o tc o t121c o sc o sACACB.cotcot121coscosBABAC于是不等式等价于在锐角ABC中，求证.25cotcot11cotcot11cotcot1149BAACCB注意到ABC中的恒等式.1c o tc o tc otc o tc o tc o tBAACCB

28、于是三角形不等式又等价于如下代数不等式已知, 1,cbaRcba求证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页精品资料欢迎下载2511111149cba证明先证左不等式，由三元均值不等式得;49111911139111111311111133cbacbacbacba再证右不等式，事实上25111111cba.,03555556421115112112112显 然 成 立cabcababccbacabcababccbacabcabcbaaccbba综上可知不等式成立. 需要指出的是，不等式是我们在文3中提出的一个新的代数不

29、等式. 代数不等式向三角形不等式的转化湖北杨先义先生在文4中提出了一个非常有趣的代数不等式: 已知, 1,zyxRzyx，则338111zzyyxx证明 1 令,Rcbacbaczcbabycbaax，则所证不等式512222cb2751211111x-1273abccbacbacbacbabaacxyzzyxzy再令，cbabacacb则，cba是,CBA的三边长，且.22,2,，cbaccbabcbaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精品资料欢迎下载并记,CBA的面积为，于是原不等式又，cbacbacbac

30、babaaccbcba3827.1282722，cbabaaccbcba，cbabaaccb8只要证明如下不等式成立. 2,221627cbacba，）（，349cbacba，Rcba33.233sinsinsin，CBA这是常见的三角形不等式，从而所证不等式成立. 证明 2 考虑到三角形中的恒等式1c o tc o tc o tc o tc o tc o tACCBBA. 于是想到变换令,cotcotCBx,cotcotACyBAzcotcot, 有CBCBCBCBCBxxc o sc o ss i ns i ns i ns i nc o sc o ss i ns i n1222222，CB

31、CBCBACBCBCBCBc o sc o ss i ns i nc o sc o sc o sc o s1s i ns i nc o sc o s同理，ACACACByycoscossinsincoscos1.c o sc o ss i nsi nc o sc o s1BABABACzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页精品资料欢迎下载于是 , 所证的不等式等价于322238coscoscossinsinsincoscoscosCBACBAACCBBA, 注意到常见的不等式833s i ns i ns i nCBA从而 , 只要证明8c o sc o sc o sc o sc o sc o sCBAACCBBA, 这正是文 5中的问题：锐角ABC中，求证：CBAACCBBAcoscoscos8coscoscos. 故原不等式得证. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页