2022年高中数列知识点与习题 .pdf

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1、学习必备精品知识点1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。（3）数列 na 的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn例：已知数列na的前 n 项和322nsn，求数列na的通项公式2. 等差数列1、等差数列 定义 ：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

2、数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。2、等差数列的通项公式 ：1(1)naand；3、等差中项 的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例 1设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120B105C90 D754、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，

3、相隔等距离的项组成的数列是等差数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备精品知识点（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；5、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列 ) 例： 1. 如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.

4、 （2009 湖南卷文）设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. （2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S, 则249aaa= 7. （2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS8判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列1 （01 天津理， 2）设Sn是数列 an 的前n项和，且Sn=n2，则 an 是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差

5、数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 1等差数列na中，12910SSa，则前项的和最大。2设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备精品知识点5. 已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列na从哪一项开始小于0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值7. 在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值利用11(1)(2)nnnSnaSSn

6、求通项2已知数列na的前n项和，142nnSn则3. （2005 湖北卷）设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；4. 已知数列na中，31a前n和1) 1)(1(21nnanS求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式5. （2010 安徽文）设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备精品知识点等比数列1等比数列 定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数

7、，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q。2. 递推关系与 通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列na中,2,41qa，则na2 在等比数列na中,3712,2aq, 则19_.a3. （07 重庆文）在等比数列an中，a28，a164， ，则公比q 为（）（A）2 （B）3 （C）4 （ D）8 1 等比中项 ：若三个数cba,成等比数列， 则称b为ca与的等比中项， 且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 例： 1.23和23的等比中项为( ) (

8、 )1A()1B()1C()2D2.（2009 重庆卷文）设na是公差不为0 的等差数列，12a且136,a a a成等比数列，则na的前n项和nS=（）A2744nnB2533nnC 2324nnD 2nn2 等比数列的基本性质，),(Nqpnm其中（1）qpnmaaaaqpnm，则若（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备精品知识点例： 1在

9、等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 , 则47aa( ) 5()2A2()2B1()2C1()2D2. 在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a= 3. 在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，求na若nnnTaaaT求,lglglg213 前n项和公式) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn例： 1. 已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前n 项和nS2. 已知等比数列na的首相51a，公比21q，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项和nS4 （2006 年北京卷）设4710310( )22222()nf nn

10、N，则( )f n等于（）A2(81)7nB12(81)7n C32(81)7n D 42(81)7n5 （1996 全国文， 21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 2.一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C 75 D63 3. 已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，6. 等比数列的 判定 法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备精品知识点（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法

11、：)0(221nnnnaaaana为等比数列；7. 利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项例： 1. （ 2005 北京卷）数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2， 3，求a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列na满足：26,7753aaa， 求na；2. 已知数列na满足)1(1,211naaann，求数列na的通项公式； 3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn） ，求数列na的通项公式；4. 已知数列na满足211,211nnaa

12、a，求数列na的通项公式；5. 设数列na满足01a且111111nnaa，求na的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备精品知识点6.已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。7. 等比数列na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列na的通项公式10. 已知数列na满足，21a且1152(5 )nnnnaa（Nn） ，求数列na的通项公式；12. 数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式 = （2）累加法1、累加法适用于：1

13、( )nnaaf n若1( )nnaaf n (2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n两边分别相加得111( )nnkaaf n例： 2.已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备精品知识点3. 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。（3）累乘法适用于：1( )nnaf na，例： 1. 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。3. 已知31a，nnanna23131)1(

14、n，求na。（4） 待定系数法适用于1( )nnaqaf n例： 1. 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2. （ 2006 ， 重 庆 , 文 ,14 ） 在 数 列na中 ， 若111,23(1)nnaaan， 则 该 数 列 的 通 项na_ 7.已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备精品知识点解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz（5）递推公式中既有nS分析：通过11,1,2

15、nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。 3 已知数列na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式（8）对无穷递推数列（求和式）例： 1. （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。2. 设数列na满足211233333nnnaaaa，a*N求数列na的通项；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备精品知识点数列求和1直接用等差、等比数列

16、的求和公式求和。dnnnaaanSnn2) 1(2)(11) 1(1)1 ()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时一定要讨论2错位相减法 求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例： 1求和21123nnSxxnx2. 求和：nnanaaaS323213裂项相消法 求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111) 1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn例： 1. 数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于（）A 1 B56

17、C16 D1303. 已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和综合练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备精品知识点2. 等比数列na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa（1）求数列na的通项公式（2）设naaanb333log.loglog21，求数列1nb的前 n项和3. 已知等差数列na满足02a, 1086aa. (1) 求数列na的通项公式及nS（2）求数列21nna的前 n 项和4. 已知两个等比数列na，nb，满足)0(1aaa，111ab，222ab，333ab（1）若, 1a求数列na的通项公式（2）若数列na唯一，求a的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备精品知识点5. 设数列na满足21a，12123nnnaa（1）求数列na的通项公式（2）令nnnab，求数列nb的前 n 项和nS7. 已知等差数列na满足：26,7753aaa，na的前 n 项和nS（1）求na及nS（2）令112nnab（Nn） ，求数列nb前 n项和nT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页