2022年高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版- .pdf

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1、学习必备欢迎下载广宇学校高二数学主体性课堂教学案主备人贾卫卫主导教师章第 2 课时总第 26 课时备课日期2012-10-15 课题1.1 命题及其关系（二）充分条件与必要条件课型新授教学目标： 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、 论证中正确运用 在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念；教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程学生活动一、创设情境当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说： “这是我的妈

2、妈”. 那么， 大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子. 那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件. 问题 1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（ 1）若xy，则x2y2（ 2）若ab = 0 ，则a = 0 （ 3）若x21，则x1 （ 4）若x1 或x2，则x23x20 推断符号“”的含义“若 p 则 q”为真，是指由p 经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q 一定成立，记

3、作pq，或者 qp；如果由p 推不出 q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若 p 则 q”为真，记作pq（或 qp） ；“若 p 则 q”为假，记作pq（或 qp）. 问题 1 的分析：命题 (1) 、 (4) 为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq” ，命题 (2) 、 （3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”说明：“ pq”表示“若p 则 q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p 蕴含 q” 。二、引入新课充分条件、必要条件一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件 ；q

4、是p的必要条件 ；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件 ；q不是p的必要条件 ；通过问题复习巩固. 回答上述命题(1)(2)(3)(4)中 的 条 件 关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载教师点拨：命题 (1) 中因xy x2y2，所以“xy”是“x2y2”的充分条件， “x2y2”是“xy”的必要条件；x2y2xy，所以“x2y2”不是“xy”的充分条件， “xy”不是“x2y2”的必要条件；命题 (2) 中因a =

5、0 ab = 0， ，所以“ a = 0 ”是“ ab = 0 ”的充分条件 . “ab = 0 ”是“ a = 0 ”的必要条件 . ab = 0 a = 0 ，所以“ ab = 0 ”不是“ a = 0 ”的充分条件， “a = 0 ”不是“ ab = 02”的必要条件；命题 (3) 中，因“x1x21” ，所以“x1”是x21的充分条件， “x21”是“x1”的必要条件 . x21 x1，所以“x21”不是“x1”的充分条件， “x1”不是“x21”的必要条件. 命题 4) 中，因x1 或x2 x23x20，所以“x1 或x2”是“x2 3x2 0”的充要分条件. 由上述命题的充分条件、

6、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1) 充分不必要条件，即pq，而qp. (2) 必要不充分条件，即：pq，而qp. (3) 既充分又必要条件，即pq，又有qp. (4) 既不充分又不必要条件，即pq，又有qp. 三、例题讲解：例 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件，q是 p 的什么条件：（1） p ：x-1=0 ；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p ：两条直线平行；q：内错角相等 . （3） p ：ab；q：a2b2（4） p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形. 分析：可根据“若p 则 q”与“若q 则 p”的真假进行判断.

7、解：由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知 p 是 q 的充分条件， q 是p 的必要条件 . 由 pq，即两条直线平行内错角相等，知p 是 q 的充要条件，q是 p 的充要条件；由 pq，即ab a2b2，知 p 不是 q 的充分条件， q 不是 p 的必要条件；qp，即a2b2ab，知 q 不是 p 的充分条件， p 不是 q 的必要条件 . 综述： p 是 q 的既不充分条件又不必要条件。由 q p ，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q 是 p 的充分条件， p 是 q 的必要条件 . 由 pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p 不是 q 的充分条件， q 不

8、是 p 的必要条件；综述： p 是 q 的必要不充分条件。以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法. 那么， 如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 例 2( 补) 如图 1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答： 命题：若“ A为绿色”，则“ B为绿色”中， “A为绿色”是“B为绿色”的什么条件； “B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. 命题：若“红点在B内” ，则“红点一定在A内”中， “红点在B内”是“红点在A内”的什么条件； “红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件 . 练习：用“充分” 或“必要”

9、 填空，并说明理由： “ a 和 b 都是偶数”是 “a+b也是偶数” 的条件；“ x 5”是“ x3”的条件；“x3”是“ |x|3”的条件；“ “个位数字是5 的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件；“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的条件； 对 于 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0（其中 a,b,c都不为 0） 来说， “b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的条件；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载解法 1( 直接判断 )：“ A 为绿色B 为绿色”是真的，由定义知，

10、“ A为绿色”是“B为绿色”的充分条件； “B为绿色”是“A为绿色”的必要条件 . 如图 2，“红点在B内红点在 A内”是真的，由定义知， “红点在 B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在 A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法 2( 利用逆否命题判断) ： 它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色” . “ B不为绿色 A不为绿色”为真，“A为绿色”是“ B为绿色”的充分条件； “B为绿色”是“ A为绿色”的必要条件. 它的逆否命题是：若“红点不在A内” ，则“红点一定不在B内” . 如图 2，“红点不在A 内红点一定不在B内”为真，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件； “

11、红点在 A内”是“红点在B内”的必要条件 . 问题小结：充分条件与必要条件的判断：（ 1）直接利用定义判断：即“若pq 成立，则p 是 q 的充分条件， q是 p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）（ 2）利用等价命题关系判断：“ pq”的等价命题是“qp” 。即“若 qp 成立，则p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件”。如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例 2 为例来说明 . 先说充分性： 说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的. 例如，说“ A为绿色”是“ B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为

12、绿色” . 它符合上述的“若p 则 q”为真（即pq）的形式 . 再说必要性：必要就是必须，必不可少. 从例 2 的图可以看出，如果“ B为绿色”， A可能为绿色，A也可能不为绿色. 但如果“ B不为绿色”，那么“ A 不可能为绿色”. 因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行 . 它满足上述的 “若非 q 则非 p”为真（即q p）的形式 . 六、回顾反思本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. （ 1）若 pq（或若 qp） ，则 p 是 q 的充分条件；若qp（或若 pq） ，则 p 是 q 的必要条件 . （ 2）条件是相互

13、的；（ 3）p 是 q 的什么条件，有四种回答方式： p 是 q 的充分而不必要条件； p 是 q 的必要而不充分条件； p 是 q 的充要条件； p 是 q 的既不充分也不必要条件。巩固练习：1已知真命题“a bcd”和“ abef ” ，则“ c d”是“ ef ”的_条件244是22的什么条件 ?并说明理由 . 3已知px2-8x-20 0，q x2-2x+1-a20。 若 p是 q的充分而不必要条件，求正实数 a 的取值范围 . 4xy，0 xy是11xy的充分条件，还是必要条件？充要条件？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载八、参考答案：1充分充分充分充分必要必要 2A 3充分4解：2244但反之却不一定成立。例如取 =1, =5,显然满足44但不满足22所以44是22的必要但不充分条件. 5解：pA= xx-2 ，或 x10 ，qB= x x1-a ，或 x1+a，a 0如图，依题意， pq，但 q 不能推出p，说明 AB，则有.101,21,0aaa解得 0a 3. 6 充分不必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页