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1、近世代数论文师范学院 14 级数学与应用数学 2 班景羡林学号: 12147139213 一、 上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集:以集合 A的一切子集为元素构成的集合, 记为或2A。 (含 n 个元素的集合的子集有2n个,即幂集中的元素共有2n个)2、积(笛卡尔积):AB=(a,b)|aA,b B叫 A 与 B 的积。 (ABBA)3、A 到 B 的对应法则为 A 到 B 的映射,有象,的象唯一,x 的象在 B中。4、若 A是含 n 个元素的集合,则A的映射共有个,一一映射共有n!个。5、代数运算: 一个 AB到 D的映射叫做一个 AB到 D的代数运算。(o 为 AB到 D的代数运
2、算(a,b) AB,a b 有意义,且a b 唯一,属于 D ) 。6、满射:y,设 y= (x) ,求出 x(x 为 y 的函数) ,若 x 存在且x A, 则 为满射。 ( 中的每一个元素都有原象) ;单射: a, b A,若 ab,则(a) (b) 。 (元素不同象不同);一一映射:即单又满。 (一一映射都有逆映射,若A与 B间是一一映射,则 A、B有限且元素个数相同)7、一个 A到 A的映射叫做 A的一个变换;有限集 A的一个一一变换,叫做 A的一个置换。8、一个 A 到 的映射,叫做一个对于代数运算o 和 来说的,A 到的同态映射,假如满足:a,bA,a,b 则 aob(运算的象=象
3、的运算);A与 同态A 与 存在同态满射。9、一个 A 到 的一一映射,叫做一个对于代数运算o 和 来说的,A 到 的同构映射。(同构映射的逆映射也是同构映射) 。10、 若 R为法则,若 R满足a,b A,要么 aRb ,要么 a b,唯一确定, 则称 R为 A的元间的一个关系; 集合 A 的元间的一个关系叫做一个等价关系,假如满足反射律(a A,有 a a)对称律推移律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页11、 A 的一个分类即为A 的一 些 子集、满足 :=A.= (i j ) (不相交)。 (集合 A 的元间的
4、一个等价关系决定 A的一个分类)12、 模 n 的同余关系( ab(n)读作 a 同余 b 模 n) :若 n(a-b)则 ab (a与 b同除 n后余数相同)。 若=则 ab (n) 即 n|a-b 。第二章群论1、群的定义:一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:乘法封闭。结合律成立。存在单位元。逆元存在。2、群的阶:群中元素的个数;元素的阶:使得=e 成立的最小正整数 m ,记为,若这样的 m不存在,则说 a 是无限阶的。(单位元的阶为 1)3、元素的阶的性质:设a 的阶为 m ,若=e则 m n;任何元素与它的逆元同阶;设 G为一个群,a G , 若 a的阶为
5、2, 则 a=; 在一个有限群 G中,阶大于 2 的元素的个数一定是偶数。4、交换群:a,b G ,ab=ba 5、若一个有乘法的有限集满足乘法封闭;结合律成立;消去律成立(若 ax=a,那么 x=;若 ya=a 则 y=) 。则必能做成一个群。(无限集不适用)6、群同态:假定 G与 对于它们的乘法来说同态, 若 G是群,那么也是一个群(具有相同的特性) 。但是反之却不成立。7、设( G , )和(, )是两个群,如果存在G 和 的同态满射,则称 G和同态,记为 G ;如果存在 G和 的同构映射,则称G和 同构,记为 G 。8、A的一个变换就是一个A到 A自己的映射。9、一个集合 A的所有一一
6、变换作成一个变换群G 。 (变换群是非交换群) ;变换群不唯一,变换做成群只有一一映射,10、 任何一个群都同一个变换群同构。11、 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换;一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。(置换群的表示不唯一,置换群是非交换群)12、 一个包含 n 个元的集合的全体置换作成的群叫做n 次对称群; n次对称群的阶是 n! 。13、 每一个有限群都与一个置换群同构。14、 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。(循环群的生成元不唯一,不同的元可以生成同一个群)15、 假定 G是一个由元 a 生成的循环群, 那么 G的构造完全可以由a的阶来决定: a 的阶若是
7、无限,那么G与整数加群同构; a 的阶若是一个有限整数n,那么 G与模 n 的剩余类加群同构。16、 一个循环群一定是一个交换群。17、 设 H为群 G的非子集,如果 H按 G中的运算作成一个群,则称H精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页为 G 的一个子群,记为 HG 。18、 子群的判法:定义法;一个群G 的一个非空子集H 作成 G的一个子群的充要条件是乘法封闭; 逆元成立(a HH) ;充要条件是:a、 b H aH; 充要条件是:a、 b H aH 。19、 群 G中由等价关系abaH 决定 G 的一个分类,其中
8、的每一个类,叫做子群H的右陪集,用 Ha表示。20、 群 G中由等价关系 abH决定 G 的一个分类,其中的每一个类,叫做子群H的右陪集,用 aH表示。21、 一个子群 H的右陪集个数和左陪集个数相等。 (一般的, a,Ha aH ,a 为单位元时才相等)22、 一个群 G的一个子群 H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在 G里的指数,记为。 (陪集个数 =H中元素个数)23、 子群的阶能整除大群的阶;一个有限群G 的任一个元 a 的阶 n都整除 G的阶。24、 一个群 G的一个子群 N叫做一个不变子群, 假如对于 G的每一个元 a 来说,都有 Na=aN (指 Na与 aN这两个集合一样)。2
9、5、 一个交换群 G的每一个子群 H都是不变子群。26、 不变子群的判法: 定义法: a, 有 Na=aN ; a, aN=N ;a,n anN 27、 一个群 G的一个不变子群 N的陪集所作成的群叫做一个商群, 用G/N表示;的阶的阶=G/N的阶。 (每一个不变子群都可产生一个商群)28、 一个群 G同它的每一个商群G/N同态。29、 假定 G与是两个群,并且 G与 同态,那么这个同态满射的核N是 G的一个不变子群,并且G/N30、 一个群 G和它的每一个商群同态; 群的同态满射的核是一个不变子群。二、 下半学期学习计划l 时间安排问题(1) 在学习前确定明确的目标,比如要在多少时间里完成多
10、少内容。(2) 按时完成作业。(3)充分利用课余时间来提高自己。2注意力问题上课专心听讲,做到注意力高度集中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页3学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程, 首先必须要对这门学科有兴趣, 兴趣是最好的老师。4. 学习方法问题(1) 多做题,在做题中体会做题的方法,思想,步骤。(2) 敢于不耻下问,与同学们共同提高。(3)敢于向老师请教问题。(4) 合理利用课余时间,多在图书馆看一些课外辅助读物,提升自己的能力。(5)课前提前预习,课后及时复习。(6)每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西,做
11、到温故而知新。(7)多做一下以前的考试题,了解考试题型。5、学会总结知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来,学会比较记忆, 把相同类型的内容总结到一起,一并理解记忆。三、 学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下,近世代数这门课理论概念太多,这也是同学们上课听着浮躁的主要原因,数学专业的学生自然对计算之类的东西比较敏感, 而像短篇小说一样的概念理论,无疑是对数学专业学生的煎熬,至少对我来说如此, 我感觉这门课的概念理论不难记忆,但是不容易理解。 为了能更好地学习近世代数这门课程,现提一点建议如下:1、如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中,我感觉效果可能会更好。2、在课堂上积极调动学生学习,比如多叫学生在黑板上做题,对学生上课注意力高度集中以及更好地理解学习内容都大有好处。近世代数是一门比较抽象的学科,但作为数学专业的学生, 它是我们必须要攻克的难关,只要方法得当,并认真去学,我相信,学好近世代数不是难事, I firmly believe that I can make it!精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
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