2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题六 （理）第3讲　概率、随机变量及其分布 .doc

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1、(理)第3讲概率、随机变量及其分布 考情考向高考导航1考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，多为容易或中等难度题2对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，重点考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等以解答题的形式出现，难度中档或偏下真题体验1(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C. D.解析：B不妨设正方形边长为a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各

2、占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，选B.2(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则P()A0.7 B0.6C0.4 D0.3解析：BXB(10，p)，所以10p(1p)2.4，且Cp4(1p)6Cp6(1p)4.即，p0.6.3(2019天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和

3、数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故XB，从而P(Xk)Ck3k，(k0,1,2,3.)所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)32.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则YB，且MX3，Y1X2，Y0由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由()知P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y

4、0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0).主干整合1概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式P(A).(2)几何概型的概率公式P(A).(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(4)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，P()1P(A)2独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即XB(n，p)且P(Xk)Cpk(1p)nk.3超几何分布在含有M件次品的N件产品

5、中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，此时称随机变量X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.4离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为x1x2x3xinPp1p2p3pipn离散型随机变量的分布列具有两个性质；pi0；p1p2pipn1(i1,2,3，n)(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差(3)数学期望、方差的性质E(ab)aE()b，

6、D(ab)a2D()XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)热点一古典概型、几何概型例1(1)(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.B.C. D.解析A在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n2664，恰有3个阳爻的基本事件数为C20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P.故选A.(2)(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由

7、三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析A法一：SABCABAC，以AB为直径的半圆的面积为2AB2，以AC为直径的半圆的面积为2AC2，以BC为直径的半圆的面积为2BC2，SABAC，SBC2ABAC，SABAC.SS.由几何概型概率公式得p1，p2，p1p2.故选A.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域

8、的面积S2122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.1求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏2计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域(1)(2019武汉二模)某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是_解析：选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，不同的支教方法有CA种而甲、乙两人在同一边远地

9、区支教的不同方法有CA种，所以甲、乙两人不在同一边远地区支教的概率为P1.答案：(2)(2020贵阳模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分的概率为_解析：设AB2，则BG1，AG，故多边形AEFGHID的面积S22212；阴影部分为两个对称的三角形，其中EAB90GAB，故阴影部分的面积S2AEABsinEAB2AEABcosGAB224，故所求概率p.答案：热点二互斥

10、事件、相互独立事件的概率例2(1)(2019惠州二调)某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解析通解：由正态分布知元件1,2的平均使用寿命为1 000小时，设元件1,2的使用寿命超过1 000小时分别记为事件A，B显然P(A)P(B)，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为ABAB，所以其概率P.优解：由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)得：两个电子元件的使用寿命

11、超过1 000小时的概率均为P，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：P11(1P)2.答案(2)(2019苏州三模)现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；求这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率解依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i0,1,2,3

12、,4)，则P(Ai)Ci4i.这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)C22.设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，则BA3A4，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解(3)

13、注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解：(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(

14、10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.热点三离散型随机变量的分布列数据分析素养数据分析分布列问题中的核心素养通过求离散型随机变量的分布列，进行数据分析，可以明确变量取哪些值时的概率最大，可以帮助我们作出有益的决策.以统计图表为背景的随机变量的分布列均值例31(2020聊城调研)某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据

15、往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为400桶；如果最高气温低于20，需求量为200桶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种冰激凌一天需求量X(单位：桶)的分布列(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的数学期望

16、取得最大值？审题指导(1)要求冰激凌一天需求量X的分布列，只要确定X的取值及其对应事件的含义，然后用频率估计概率(2)要求Y的数学期望，只要明确X与Y的关系，借助X的分布列，得到Y的期望解析(1)由已知得：X的可能取值为200,400和600.记六月份最高气温低于20为事件A1，最高气温位于区间20,25)为事件A2，最高气温不低于25为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，知P(X200)P(A1)，P(X400)P(A2)，P(X600)P(A3).故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为：X200400600P(2)结合题意得当n200时，E(Y)2n400.

17、当200n400时，E(Y)2002(n200)(2)n2n160(400,640当400n600时，E(Y)2002(n200)(2)4002(n400)(2)n2n800560,640)当n600时，E(Y)2002(n200)(2)4002(n400)(2)6002(n600)(2)1 7602n560.所以当n400时，Y的数学期望E(Y)取得最大值640.以复杂事件为背景的随机变量的分布列、均值例32(2019青岛三模)某快递公司收取快递费用的标准是：首重(小于等于1 kg)10元/kg，续重5元/kg(不足1 kg的按1 kg计算)该公司对近60天中每天揽件数量统计如下表.包裹件数

18、范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？审题指导(1)借助表格利用列举法列出所有组合的可能性，然后根据古典概型的概率计算公式求解即可；(2)建

19、立模型，求出不裁减人员和裁减人员公司利润的概率分布列，分别求出数学期望，比较大小即可得最优方案解析(1)由题意，所有可能出现的情况如下表.情况包裹一包裹二支付的总快递费礼物重量/kg快递费/元礼物重量/kg快递费/元1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815303C1.515A，B2.12035所有情况中，快递费不超过30元的情况有1种，根据古典概型概率计算公式，所求概率为.(2)根据题意得下表.包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，

20、则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下表.包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53500.24500.1260.故公司每日利润的期望值为260531001 000(元)若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下表.包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53000.23000.1235故公司每日利润的期望值为235

21、52100975(元)显然，9751 000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利1以统计图表为背景的随机变量分布列问题的关键点(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列2以复杂事件为背景的随机变量分布列问题的关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求

22、解(2020深圳模拟)某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户

23、充值200 M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M流量，资费20元，以此类推如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由解析：(1)记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.依题意，P(D)(0.000 80.002 2)1000.3.从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X，则XB(3,0.3)，所以从该校教师中随机抽取3人，至多有1人

24、手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X0)P(X1)C0.30(10.3)3C0.3(10.3)20.3430.4410.784.(2)依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量L(300,500的概率为(0.002 50.003 5)1000.6，L(500,700的概率为(0.000 80.000 2)1000.1.当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X1元，则X1的所有可能取值为20,35,50，且P(X120)0.3，P(X135)0.6，P(X150)0.1，所以X1的分布为X1203550P0.30.60.1所以E(X1)200.3350.6500.1

25、32(元)当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X2元，则X2的所有可能取值为30,45，且P(X230)0.30.60.9，P(X245)0.1，所以X2的分布列为X23045P0.90.1所以E(X2)300.9450.131.5(元)当学校订购C套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X3元，则X3的所有可能取值为38，且P(X338)1，所以E(X3)38138(元)因为E(X2)E(X1)E(X3)，所以学校订购B套餐最经济限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2020西安模拟)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，其证明方法有几百种之多

26、，著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图，在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形CFGH组成的若RtABC的三边长构成等差数列，则在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为()A.B.C. D.解析：C由于RtABC的三边长成等差数列，所以2bac，又a2b2c2，于是(2bc)2b2c2，故，.大正方形ABDE的面积为c2，小正方形CFGH的面积为(ba)2，在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为2.故选C.2(2020石家庄模拟)中华好诗词

27、是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A，B，C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是()A. B.C. D.解析：B甲、乙两人从A，B，C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4416(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C36(种)，所求概率为.3某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜

28、对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A0.9 B0.8C1.2 D1.1解析：A由题意得X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，所以E(X)10.520.20.9.4甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为()A. B.C. D.解析：B本题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率，考查对立事件的概率公式，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题这个问题没有被解决的

29、概率为，故有人能够解决这个问题的概率为1.故选B项5(2019大连三模)某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 B.C2 D.解析：B每个轮次甲不能通过的概率为，通过的概率为1，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3.6(2020衡水模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销量x(单位：件)分布在50,100)内，且销量x的分布

30、频率f(x)若销量大于或等于70件，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，将频率视为概率，则随机变量X的数学期望为()A. B.C. D.解析：C由题意知解得5n9，故n可取5,6,7,8,9，代入f(x)，得0.50.5aaa1，得a0.15.故销量在70,80)，80,90)，90,100)内的频率分别是0.2,0.3,0.3，频率之比为233，所以各组抽取的天数分别为2,3,3，X的所有可能取值为1,2,3，P(X1)，P(X3)，P(X2)1.X的分布列为X123P数学期望E(X)123.故选C.二、填空题

31、(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_解析：甲队以41获胜的概率为C0.60.40.520.62C0.50.50.60.18.答案：0.188(2019宁波三模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元保险公司把职工从事的工作共分为A，B，C三类工种，根据历史数据统计出这三类工

32、种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.工种类别ABC赔付频率若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为_元解析：设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每份保单的利润为随机变量X，则X的分布列为Xaa5105P1保险公司期望利润E(X)a(a5105)(a5)(元)，根据规定知a50.2a，解得a6.25.设工种B的每份保单保费为b元，同理可得保险公司期望利润为(b10)元，根据规定知，b100.2b，解得b12.5，设工种C的每份保单保费为c元，同理可得保险公司期望利润为(c50)元，根据规定知，c500.2c，解得c62.5.

33、则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为6.2512.562.581.25(元)答案：81.25三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2020长沙模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与数学期望；

34、(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份， 哪一种得到的利润更大？解析：(1)根据题意可得P(30)，P(31)2，P(32)2，P(33)22，P(34)2，P(35)2，P(36).的分布列如下：30313233343536PE()3031323334353632.8.(2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X，则X的可能取值有104,116,128，且P(X104)0.04，P(X116)0.12，P(X128)10.040.120.84，E(X)1040.041160.121280.84125.6.当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为

35、Y，则Y的可能取值有96,108,120,132.且P(Y96)0.04，P(Y108)0.12，P(Y120)0.25，P(Y132)10.040.120.250.59，E(Y)960.041080.121200.251320.59124.68.E(X)E(Y)，东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大10(2019北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

36、支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由解析：本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概

37、率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关(1)由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：(10030255)人40人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p.(2)由题意可知，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1 000元的人数占，金额大于1 000的人数占，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1 000元的人数占，金额大于1 000元的人数占，且X可能的取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)22，P(X2)，X的分布列为：X012p(X) 其数学期望：E(X)0121.(3)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的

38、人数有变化理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”11(2020福建质检)“工资条里显红利，个税新政入民心”随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日起实施的个税新政主要内容包括：个税起征点为5 000元；每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除；专项附加扣除包括住房贷款利息或者住房租金(以下简称住房)、子女

39、教育、赡养老人等新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3 500元)新个税税率表(个税起征点5 000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除税率(%)1不超过1 500元的部分3不超过3 000元的部分32超过1 500元至4 500元的部分10超过3 000元至12 000元的部分103超过4 500元至9 000元的部分20超过12 000元至25 000元的部分204超过9 000元至35 000元的部分25超过25 000元至35 000元的部分255超过35

40、000元至55 000元的部分30超过35 000元至55 000元的部分30随机抽取某市1 000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入为24 000元统计资料还表明，他们均符合住房专项附加扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育专项附加扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除、符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除、符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除、既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人数之比是2111；此外，他们均不符合其他专项附加扣除新个税政策下该市

41、的专项附加扣除标准为：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，赡养老人2 000元/月等假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入根据样本估计总体的思想，解决如下问题：(1)设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；(2)根据新旧个税政策，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过其2019年的人均月收入？解析：(1)既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 0005 0001 00018 000(元)，月缴个税X3 0003%9 00010%6 00020%2 190；符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 0005 0001 0001 00017 000(元)，月缴个税X3 0003%9 00010%5 00020%1 990；符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 0005 0001 0002 00016 000(元)，月缴个税X3 0003%9 00