2022年长沙市一中2021届高三月考数学试卷含答案 .pdf

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1、数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2x |x2x0A，x | xaB，若AB，则实数a的取值范围是（）A.2a B.2a C. 0a D.0a2. 因为i是虚数单位，复数20171+iiz，则z的共轭复数是（）A.122i B.122i C.122i D.122i3. 某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）A.23 B.14 C.34 D.384. 已知tan2，(0,

2、)，则5cos(+2)2（）A.35 B.45 C.35 D.455. 在ABC中，3ABBC，30BAC，CD是AB边上的高， 则CD CB（）A.94 B.94 C. 274 D.2746. 运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3 次落在直线上yx，则判断框中可填写的条件是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页A.i8 B.7i C.6i D.5i7. 定义在R上的函数(x)f满足(x)f(x)f，(x2)(x2)ff，且( 1,0)x时，1(x)25xf，则2(log 20)f（）A.1 B.45 C.1

3、D.458. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1312 B.134 C.112 D.149. “珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成. 程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明 . ” （ 注释三升九：3.9升. 次第盛：盛米容积依次相差同一数量. ）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A.1.9 升 B.2.1升 C.2.2升 D.

4、2.3升10. 将函数(x)2cos(x)cos(x)44g的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页原来的 2 倍，得到函数(x)h的图象， 设函数21(x)(x)4fxh，则(x)f的导函数( )fx的图象大致为（） A. B. C. D. 11. 已 知 双 曲 线22221(a0,b0)xyab的 左 、 右 焦 点 分 别 为1F、2F， 过1F作 圆222xya的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，若2|BC | |CF |，则双曲线的渐近线方程为（）A.3yx B

5、.2 2yx C.( 31)yx D.(31)yx12. 定义域为R的函数lg | x2|,x2(x)1,2fx，若关于x的方程2(x)bf(x)c0f恰有 5 个不同的实数解1x，2x，3x，4x，5x，则12345(xxxx )fx的值等于（）A.4lg 2 B.3lg 2 C.2lg 2 D.lg 2第卷（共 90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 过点(1,2)M的直线l与圆C：22(x3)(y4)25交于A、B两点，当ACB最小时，直线l的方程是 . 14. 高三（ 1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动

6、时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步. A不在散步，也不在打篮球；B不在跳舞，也不在跑步；“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；D不在打篮球，也不在跑步；C不在跳舞，也不在打篮球. 以上命题都是真命题，那么D在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页15. 在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且4 3AC，则ADC的面积的最大值为 . 16. 学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋

7、白质， 0.06kg的脂肪 . 已知1kg食物A含有 0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28 元； 1kg食物B含有0.105kg碳水化合物， 0.14kg蛋白质， 0.07kg脂肪， 花费 21 元. 为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物A和食物B，则最低花费是元. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17. （本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和312nnS，令91lognnba. (1) 求数列b n的通项公式；（2）若数列b n的前n项和为nT，数列1nT的前n项和为n

8、H，求2017H. 18. （本小题满分12 分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10 月 1 日当天在该网站消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名（女性 800 名，男性 200 名）网购者， 根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：女性消费情况：男性消费情况：消费金额（0,200）200,400）400,600) 600,800) 800,1000) 人数5 10 15 47 x消费金额（0,200）200,400）400,600) 600,800) 800,100

9、0) 人数2 3 10 y2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页（）现从抽取的100 名且消费金额在800,1000(单位：元) 的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（）若消费金额不低于600 元的网购者为“网购达人”，低于 600 元的网购者为“非网购达人”， 根据以上统计数据填写右面22列联表， 并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为网购达人与性别有关?”女性男性总计网购达人非网购达人总计20(kk )P0.10 0.05 0.025 0.010

10、0.005 0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：（22(ad bc)(a b)(c d)(ac)(bd)nk，其中nabcd）19. （本小题满分12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2ABCBAD，24ABBCAD，E、F分别是AB、CD上的点，/ /EFBC，AEx，沿将梯形翻折，使平面AEFD平面EBCF，G是BC的中点 . （1）当2x时，求证： BDEG ；（2）当 x变化时，求三棱锥 DBCF 的体积的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页20. （本

11、小题满分12 分）如图，椭圆22221(ab0)xyab的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，| AF |的最大值是M，|BF |的最小值是m，且满足234M ma. （1）求椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点，记GFD的面积为1S，OED的面积为2S，求1222122S SSS的取值范围 . 21. （本小题满分12 分）已知函数(x)ln(xa)xf有且只有一个零点，其中0a. （1）求a的值；（2）设函数(x)f(x)xh，证明：对1x，212( 1,)(xx )x，不等式121212121()h(x )xx

12、x xxxh x恒成立 . 22. （本小题满分 12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 C 的方程为64(cossin )，以极点 O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线 C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(x, y)M是曲线 C 上一动点，求 xy 的最大值，并求此时点M的直角坐标 . 23.( 本小题满分10 分) 选修 4-5 ：不等式选将精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页设函数1(x)| x|xa |(a0)fa. (1) 求证：(x)2f；(2) 若(2

13、)4f，求实数 a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页试卷答案一、选择题1-5:ABCDB 6-10:DACBA 11、12：CB二、填空题13. 30 xy 14. 画画 15. 4 3 16.16 三、解答题17.(1) 当1n时，113112aS；当2n时 ,111313132nnnnnnaSS. 于是1111111144(1?)4(1)22334111nnHnnnn，则201742017403420181009H. 18. 按分层抽样女性应抽取80 名，男性应抽取20 名. 80(510154

14、7)3x，20(23102)3y抽取的 100 名且消费金额在800,1000 （单位： 元）的网购者中有三位女性设为A，B，C；两位男性设为a，b. 从 5 名任意选 2 名， 总的基本事件有(A, B)，(A,)C，(A,a)，(A, b) ( ,)B C，( ,a)B，( ,b)B，(C,a)，(C, b)，(a,b)，共 10 个. 设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A”. 则事件包含的基本事件有(A,a)，(A, b)，( ,a)B，(,b)B，(C,a)，(C, b)共 6 个. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8

15、 页，共 12 页63(A)105P. （2）22列联表如下表：女性男性总计网购达人50 5 55 非网购达人30 15 45 总计80 20 100 则222(ad bc)100(50 15 30 5)9.091(a b)(c d)(ac)(b d)8020 55 45nk9.0916.635且2(k6.635)0.010P. 所以再犯错误的概率不超过0.010 的前提下可以认为“是否为网购达人与性别无关”. 19. （1）证：作DHEF于H，连BH、GH. 平面AEFD平面EBCF，交线为EF，DH平面AEFD，DH平面EBCF，又EG平面EBCF，故EGDH. 当2x时，得2EB. 12

16、2EHADBCBG，/ /EHBC，90BDC. 四边形BGHF为正方形，故EGBH. 又BH、DH平面DBH，且BHDHH，故GE平面DBH. 又BD平面EBCF，故EGDB. （2）（3）（4）(2)AEEF，平面AEFD平面EBCF，交线为EF，AE平面AEFD. AE面EBCF. 又由（ 1）知DH平面EBCF，故/ /AEDH. 四边形AEDH是矩形，DHAE，故三棱锥DBCF的高DHAEx. 又11422BCFSBC BE（4-x ）=8-2x. 三棱锥DBCF的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页2

17、2112828(82 ) x(x2)(0 x4)333333DBCFBFCVSDHxxx当2x时，体积的最大值为83. 20.(1) 令( c,0)(c0)F，则Mac，mac. 由234M ma，得23(ac)(ac)4a，即22234aca，即224ac，214e，即12e，所以椭圆的离心率为12. （2）由线段AB的垂直平分线分别与轴x、y轴交与点D、E，知AB的斜率存在且不为0. 令AB的方程为xtyc. 联立2222143xtycxycc，得222(3t4) y690ctyc. 123634ctyyt，121228(yy )2c34cxxtt，2243(,)34 34cctGtt.

18、由DGAB，得2231341434Dcttctxt，解之得234Dcxt. 由RtDGF RtDOE，得22222221222243()()343434990()34ccctSGDttttcSODt. 令12SpS，则9p，于是122212221SSSSpp. 而1pp上(9 +)，递增，1182999pp. 于是12221222982419S SSS. 又12221220S SSS，12221229(0,)41S SSS，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页1222122S SSS的取值范围是9(0,)41. 2

19、1 （1）因为(x)ln(xa)xf，所以定义域为(a,)，11(x)1xafxaxa. 令(x)0f，得1( a,)xa. 当1axa时，(x)0f，则(x)f在区间(a,1a)上递增；当1xa时，( )0fx，则(x)f在区间(1,)a上递减 . max(x)f(1a)1af，由题意知10a，解得1a. (2) 由(x)f(x)xh，得( )ln(x1)h x，不妨令121xx. 欲证12121212+1h(x )(x )xxx xxxh，只需证12121212+1ln(x +1)ln(x1)xxx xxx，只需证121212(1)(1)(1)(1)ln(x +1)ln(x1)xxxx，即

20、证2211221122(1)2(1)(1)(1)1ln(1)(1)1xxxxxxxx即证1212121112ln111xxxxxx设121(t1)1xtx，则只需证12ln (t1)ttt，化简得1lnttt. 设1(t)lnttt，则2(1)(t)02tt t，( ) t在(1,)上单调递增，(t)(1)0. 即1lnttt，得证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页22. （1）由64(cossin)，得24cos4cos6，即224460 xyxy，即22(x2)(y2)2. 即曲线C是以点为圆心 (2

21、，2) ，以2为半径的圆，令(x, y)为圆上任意一点，则圆的参数方程为22cos22 sinxy（为参数） . (2) 因为22 cos22sinxy（为参数），所以42 sin2cos42sin()4xy. 于是当4时，max()426xy，此时22 cos3422sin34xy，即(3,3)M. 23.(1) 由0a，得1111| x| xa | | (x)(xa)| |a |2aaaaa，即(x)2f. （2）由(2)4f，得1|2| 2a | 4a. 当02a时，11| 2|2a| 422412aaaa. 当2a时，11| 2|2a| 4224223aaaa. 综上得123a，即实数a的取值范围是(1,23). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页