2022年高一上学期期末知识点总结 2.pdf

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1、名师总结优秀知识点高一数学主要知识点清单必修一第一章集合1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言(4)常用数集：自然数集N；正整数集 N*(或 N+)；整数集 Z；有理数集Q；实数集 R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质子集：对任意的xA，都有 xB，则BA(或AB)真子集：若 A? B，且在 B 中至少有一个元素xB，但 x?A，性质： ? A；A? A；A? B，B? C? A?

2、C. 若 A 含有 n 个元素，则A 的子集有2n个，A 的非空子集有12n个(2)集合相等若 A? B 且 B? A，则A=B . 3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集： AB x|xA 或 xB；交集：AB x|xA 且 xB ；补集：CUA x|xU 且 x?AU 为全集， CUA 表示 A 相对于全集U 的补集(2)集合的运算性质ABA? B? A，ABA?BA；AAA，A；AAA，AA；ACUA，ACUAU，CU(CUA)A. （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴4函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对与集合A 中的

3、任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： yf(x)，xA. (2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫自变量， x 的取值范围A 叫做定义域，与 x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 f(x)|xA 叫值域值域是集合B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据5函数的三种表示方法(1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法(2)关于函数的解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法

4、，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师总结优秀知识点.(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x) 的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) (4)两个特殊的函数形式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值

5、时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：如：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。复合函数： 如果函数y=f(u) (u M),u=g(x) (x A), 则函数 y=fg(x)=F(x) （定义域为)(MxgAx）称为 f、g 的复合函数。（5）复合函数的单调性两个函数复合而成的复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x) ， y=f(u) 的单调性之间的关系是：同增异减。注意：函数的

6、单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. 6映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“ f：AB” 7函数的单调性(1)单调函数的概念设函数 yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有)()()()(2121xfxfxfxf或，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数 (减函数 )(2)单调区间的概念如果函数

7、f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，区间 D叫 f(x)的单调区间8函数的最值设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有f(x)M(或 f(x)M)；存在x0I，使得 f(x0)M.那么，称M 是函数 yf(x)的最大值 (或最小值 )9偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数偶函数的图象关于y 轴 对称一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x) f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点 对称

8、10判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶)性的必要非充分条件(2)考查表达式f(x)是否等于 f(x)或 f(x)：若 f(x) f(x)，则 f(x)为奇函数；若 f (x) f(x) ，则 f(x)为偶函数；若 f(x) f(x)且 f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师总结优秀知识点若 f(x) f(x)且 f(x)f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶

9、函数11周期性一般 地 ，对 于 函 数f(x) ， 如 果 存 在 一 个非 零常 数T， 使 得 当 x取 定义 域 内的每 一 个 值都 有)()(xfTxf，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期必修一第二章基本初等函数回顾、总结、升华1根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n1 且， nN*)，那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是，若axn，则 x叫做 a 的 n 次方根，其中n1 且 nN*.式子na叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做

10、被开方数(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数， 负数的 n 次方根是一个负数， 这时，a 的 n 次方根用符号na表示当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na表示，负的 n 次方根用符号na-表示正负两个n 次方根可以合写为na(a0)( )nana. 当 n 为奇数时，nana；负数没有偶次方根当 n 为偶数时，nan |a|0,0,aaaa. 2 有理数指数幂(1)幂的有关概念： 正分数指数幂mnamna负分数指数幂mnmnaa10 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质ara

11、ssra(ar)srsa(ab)rrrba(a0，b0，r、sQ) 3指数函数的图象与性质指数函数a10a1图象定义域R值域),0(.性质过定点(0,1) .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师总结优秀知识点当 x0 时， y1；x0 时，0y1当 x0 时， 0y1；x0 时， y1.在(， )上是增函数在(， )上是减函数4对数的概念(1)对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作Nxalog，其 中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点

12、记法一般对数底数为 a(a0 且 a1)logaN常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eNln5对数的性质与运算法则(1)对数的性质NaNalog； logaaN N (a0 且 a1)(2)对数的重要公式换底公式：abbccalogloglog(a，c均大于零且不等于1)；logab1logba， 推广logab logbc logcd logad.(3)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)NMaaloglog； logaMNNMaaloglog；logaMnMnalog；logamMnMmnalog. 6对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：

13、 (0， )值域： R过点(1,0) .当 x1 时， y0 当 0 x1，y0当 x1 时， y0 当 0 x1 时， y0是(0， )上的增函数是(0， )上的减函数7反函数指数函数 yax与对数函数ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称8幂函数的定义 ：一般地，形如xy( R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量， 为常数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师总结优秀知识点9幂函数的图象 ：在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，3xy，y21x，1xy的图象分别如右图幂函数的九种图象

14、10幂函数的性质函数yx yx2yx3y21xyx1定义域RRR), 0 x|xR 且 x0 值域R0， )R0， )y|yR 且 y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0， )，增x(， 0，减增增x(0， )，减x(， 0)，减定点(1,1) 第三章函数的应用回顾、总结、升华函数图象的作法1描点法作图描点步骤： (1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质：即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势 )；(4)描点连线，画出函数的图象2函数图象的变换法(1)平移变换水平平移： yf(xa)(a0)的图象，可由 yf(x)的图象向左 ()或向 右()平移a单位而得到

15、竖直平移： yf(x)b(b0)的图象，可由 yf(x)的图象向上 ()或向下()平移b单位而得到(2)对称变换yf(x)与 yf(x)的图象关于y 轴对称y f(x)与 yf(x)的图象关于x 轴对称y f(x)与 yf(x)的图象关于原点对称（3）周期变换如果函数 yf(x)对定义域内的一切x 值，都满足f(x+T) f(x)， 则函数周期为T；)()(axfaxf， 其中 a 是常数，则函数周期为a2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师总结优秀知识点(4)翻折变换作为 yf(x)的图象， 将图象位于x 轴

16、下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到y|f(x)|的图象；作为 yf(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得yf(|x|)的图象(5)伸缩变换yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)图象上每点的纵坐标伸(a1 时)缩(a1 时)到原来的 a 倍yf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1 时)缩(a1 时)到原来的1a. 3函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)，我们把使0)(xf的实数 x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与

17、 x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数 yf(x)在区间(a，b) 内有零点，即存在c(a，b)，使得 f(c) 0，这个 c也就是方程f(x)0 的根5二分法求方程的近似解(1)二分法的定义：对于在区间 a， b上连续不断且0)()(bfaf的函数 yf(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定

18、区间a，b，验证f(a) f(b)0，给定精确度 ；求区间 (a，b)的中点c；计算 f(c)；()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a) f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；()若 f(c) f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度.即：若 |ab|，则得到零点近似值a(或 b)；否则重复 . 6三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0， )上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度爆炸性增长缓慢增长相对平稳图象的变化随 x增大逐渐表现为与_y轴_平行随 x增大逐渐表现为与_x轴_平

19、行随 n 值变化而不同7三种增长型函数之间增长速度的比较在(0， )上，总会存在一个x0，使 xx0时有 logax xn 0，b1)；(5)对数函数模型f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数， m0，a0，a1)；(6)幂函数模型f(x)axnb(a、b、n 为常数， a0，n1)必修四第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 终边落在第几象限，则称为第几象限角如：第一象限角的集合为36036090 ,kkk终 边 在x轴 上 的 角 的 集 合 为18

20、0 ,kk终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为9 0 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.37、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr8、 设是 一 个 任 意 大 小 的 角 ，的 终 边 上 任 意 一 点的 坐 标 是, x y， 它 与 原 点 的 距 离 是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx9、三角函数

21、在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：sin，cos，tan11.同角三角函数间的关系（结合方程思想）cossintan（ 切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以cos）sin2+ cos2=1 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！ ）（sin,cos ,tan知一求二， 在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算，注意符号看象限）（2）平方关系结合2sincos变形有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师总结优

22、秀知识点212sincossincos212sincossincos（sincos ,sincos ,sincos即和、差、积知一求二）12、函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：函数名称不变，符号看象限口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,1

23、1,1R最值当22xkk时 ，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师总结优秀知识点单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴14、将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位

24、长度 ，得到函数sinyx的图象；15、函数sin0,0yxk的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyxk，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12kyy，21122xxxx研究函数sinyx的性质方法：把x当成整体 借助正余弦函数，或运用五点法16.sin(),(yAxk0，A0）的图象：2T五点法作图：x0 2322x0 x04Tx02Tx034Tx0 xTsin()x0 1 01 0 yk Akk A+k k 快速作图 如：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

25、 - - - - -第 9 页，共 14 页名师总结优秀知识点17.解三角方程18.解三角不等式19.sin(),(yAxk0，A0）的性质：2T性质：1,xR,yAK AK2T02单调性：令22kx22k，kZ得到增区间；令22kx322k，kZ得到减区间。03对称性：令x2k，kZ得对称轴方程；令xk，kZ（0,0 x）为对称中心。图像变换：第一种方案： 函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度， 得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩

26、短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象第二种方案：函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师总结优秀知识点函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象例如：3sin 2yx6图像向右平移个单位得)y=3sin(2x-3的图像。20、正余型函数的奇偶性：(1

27、)sin()yAx是 奇 函 数()kkZ； (2)sin()yAx是 偶 函 数()2kkZ；(3)cos()yAx是 奇 函 数()2kkZ； (4)cos()yAx是 偶 函 数()kkZ；(5)tan()yAx是奇函数()2kkZ .21.常见三角不等式：（1）若(0,)2x，则sintanxxx. (2) 若(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin| cos| 1xx. 必修四第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同

28、或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyybaCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师总结优秀知识点3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x

29、 y，22,xy，则1212,xxyy4、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy5、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b共线6、平面向量基本定理： 如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee （不共线的向量1e、2e作

30、为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy （当时，就为中点公式。）18、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量，则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师总结优秀知识点运算律：a bb a；aba bab；abca cb

31、 c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,axy，22,bxy，若12120abx xy y设a、b都 是 非 零 向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角 ， 则121222221122c o sx xy ya ba bxyxy9、设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则O为ABC的外心222OAOBOC. O为ABC的重心0OAOBOC. O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为11A(x

32、 ,y )、22B(x ,y)、33C(x ,y), 则 ABC 的 重 心 的 坐 标 是123123(,)33xxxyyyG. 10、 “按向量平移”的几个结论点( ,)P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)Pxh yk. 函 数( )yf x的 图 象C按 向 量a=( , )h k平 移 后 得 到 图 象C, 则C的 函 数 解 析 式 为()yf xhk. 11、对于平面上任意一点O，存在,a b，使OCaOAbOB，则1,abA B C三点共线.12、在ABCD中， (1) () ()0ABADABADABCD是菱形；(2) ABADABADABCD是矩形；(3

33、)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22222bababa13、,a b夹角为锐角 0( 0)a bab且.14、,a b夹角为钝角 0( 0)a bab且.数学重要的思想方法：1数形结合的思想2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题；3.分类讨论的思想在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论涉及的数学概念是分类定义的；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师总结优秀知识点运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有

34、多种情况或多种可能性；由运算的限制条件引起的分类由实际问题的实际意义引起的分类数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的由图形的不确定性引起分类4转化与化归的思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页