2022年高一数学函数的单调性知识点例题讲解课堂练习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 3 讲函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数y)(xf的定义域为A，区间AM. 如果取区间M上的任意两个值x1 , x2，改变量12xxx0，则当)()(12xfxfy0 时，就称函数)(xf在区间M上是增函数；当)()(12xfxfy0 时，就称函数)(xf在区间M上是增函数如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间） 课时数量2 课时（ 120 分钟）适用的学生水平? 优秀? 中等? 基础较差教学目标 （考试要求）理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数单调性根据定义证明给定函数在指

2、定区间上的单调性能讨论简单复合函数的单调性渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点、难点重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性难点：复合函数的单调性分析建议教学方法数形结合，讲练结合资料x，y同号，平均变化率yx0，增函数；x，y异号，平均变化率yx0，减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数设baxx,21，若有（ 1）2121)()(xxx

3、fxf0，则有baxf,)(在上是增函数（ 2）2121)()(xxxfxf0，则有baxf,)(在上是减函数在函数)(xf、)(xg公共定义域内，增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函

4、数的最大值和最小值若函数)(xfy在定义域ba,上递增，则函数值域为()(af，)(bf)；若函数)(xfy在定义域ba,上递减 ,则函数值域为()(bf，)(af)；若函数)(xfy在定义域ba,上递增，则函数值域为)(af，)(bf ；若函数)(xfy在定义域ba,上递减，则函数值域为)(bf，)(af；若函数)(xfy在定义域ba,上递增， 则函数的最大值为)(bf，最小值为)(af；若函数)(xfy在定义域ba,上递减， 则函数的最大值为)(af，最小值为)(bf；提示函数)(xf、)(xg公共定义域指)(xf的定义域与)(xg的定义域的交集提示这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的

5、图象不难理解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载三、典型例题精讲例 1若axy与xby在,0上都是减函数，对函数bxaxy3的单调性描述正确的是( ) A. 在,上是增函数B. 在,0上是增函数C. 在,上是减函数D. 在0,上是增函数， 在,0上是减函数解析 : 由函数axy在, 0上是减函数，得a0，又函数xby在,0上是减函数，得b0，于是，函数3ax，bx在,上都是减函数， 函数bxaxy3在,上是减函数，故选C【技巧提示】熟悉函数axy，3axy，bxy，xby的单调性与a、b的符号的关系，

6、就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性例 2求函数31)(xxxf的最大值解析：由31431)(xxxxxf，知函数31)(xxxf在其定义域3，+上是减函数所以31)(xxxf的最大值是2)3(f【技巧提示】显然由31431xxxx使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的又例已知1 ,0 x，则函数xxy12的值域是. 解析：xxy12在1 ,0 x上单调递增，函数xxy12的值域是) 1(),0(ff即3, 12提示利用函数的单调性求函数的值域这是求函数的值域的又一种方法提示关于复合函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

7、页，共 10 页学习必备欢迎下载再例求函数xxy21的值域解析：xxy21在定义域,21上是增函数，函数xxy21的值域为,21例 3函数)(xf在 R上为增函数，求函数)1( xfy单调递减区间解析：令1xu，则u在 ( , 1上递减，又函数)(xf在 R 上为增函数， 函数)1( xfy单调递减区间为( , 1. 【技巧提示】这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数只要知道函数1x的单调性，)1( xfy与1x的单调性和单调区间相同如果变函数)(xf在 R 上为减函数，那么函数)1( xfy的单调性与函数1x的单调性相反，即函数)1( xfy单调递增区间为( , 1. 又例设函

8、数)(xf在 R 上为减函数，求函数)1(xfy单调区间再例设函数)(xf在 R 上为增函数，且)(xf 0，求证函数)(1xfy在 R上单调递减例 4 试判断函数xbaxxf)()0,0(ba在0,上的单调性并给出证明 . 解析：设120 xx，12121212ax xbfxfxxxx x由于120 xx故当12,bx xa时120fxfx，此时函数fx在,ba上增函数，同理可证函数fx在0,ba上为减函数 .及复合函数的单调性问题，可由学生先初步了解，待学习基本初等函数时，逐步积累，再总结提示讨论给定函数在指定区间上的单调性，通常利用单调性的定义。作差，变形，判别符号是常规步骤。资料xba

9、xxf)()0,0(ba被称为对号函数对号函数是奇函数，其图象是双曲线，y轴和直线axy是其渐近线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载【技巧提示】xbaxxf)()0,0(ba是一种重要的函数模型，要引起足够的重视 事实上， 函数0,0bfxaxabx的增函数区间为,ba和,ba， 减函数区间为0,ba和,0ba 但注意本题中不能说fx在,ba,ba上为增函数， 在0,ba,0ba上为减函数 , 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”又例：求函数4522xxy的最小值解析：由

10、uguuxxxxy1414452222, 2u, 用单调性的定义法易证uuug1在,2上是增函数，易求函数4522xxy的最小值为25为所求再例：已知函数, 1,22xxaxxxf. 若对于x, 1,)(xf0恒成立，试求a的取值范围 . 解析：由)(xf, 1,222xxaxxaxx. 当a 0 时，2xaxxf显然有)(xf0 在.1恒成立；a0 时，由,x,xaxxaxxxf1222知其为增函数，只需)(xf的最小值)1 (f3a0, 解之，a 3. 当a 3 时，)(xf0 在, 1上恒成立 . 例 5已知)(xf是定义在 R上的增函数， 对xR有)(xf0， 且)10(f1，设)(x

11、F=)(1)(xfxf，讨论)(xF的单调性，并证明你的结论解析：在R 上任取1x、2x，设1x2x，)(2xf)(1xf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF)(xf是 R 上的增函数，且)10(f1，当 x10 时 0)(xf1，而当 x10 时)(xf1；若1x2x10，则 0)(1xf)(2xf1，0)(1xf)(2xf1，)()(1121xfxf0，)(2xF)(1xF；2x1x10

12、，则)(2xf)(1xf1 ，)(1xf)(2xf1，)()(1121xfxf0，)(2xF)(1xF；综上，)(xF在（， 10）为减函数，在（10，）为增函数. 【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键例 6已知113a，若2( )21f xaxx在区间 1，3上的最大值为( )M a，最小值为( )N a，令( )( )( )g aM aN a（1）求函数( )g a的表达式；（2）判断函数( )g a在区间 31，1上的单调性，并求( )g a的最小值解析： （1）131a函数fx的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为.3, 1 1axfx有最小值aaN11)

13、(. 当 2a13时，a)(,21,31xf有最大值11M afa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 1a12 时， a()(,1 ,21xf有最大值M（a） f(3)9a5；).121(169),2131(12)(aaaaaaag（2）设1211,32aa则121212121()()()(1)0,()(),g ag aaag ag aa a21,31)(在ag上是减函数设1211,2aa则121212121()()()(9)0,()(),g ag aaag ag aa a1 ,21()(在ag

14、上是增函数当12a时，g a有最小值21【技巧提示】当知道对称轴为 3, 11ax后，要求2( )21f xaxx在区间1，3上的最大值为( )M a，最小值为( )N a，就必须分类讨论本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用第 （2） 问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性四、课后训练1、函数1( )(0)f xxxx的单调性描述，正确的是（）A、在 (， )上是增函数；B、在 (， 0) (0， )上是增函数；C、在 (， 1)(1， )上是增函数；D、在 (， 1)和(1， )上是增函数2、证明函数xf2x在0，）上是增函数3、证明函数xxy14在),21上是增函数4、

15、对于任意Rx，函数xf表示3x，2123x，342xx中的较大者，则xf的最小值是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5、已知函数)(xf、)(xg在R上是增函数，求证：)(xgf在R上也是增函数. 6、已知函数2223fxxx，那么（）Ayfx在区间1,1上是增函数Byfx在区间, 1上是增函数Cyfx在区间1,1上是减函数Dyfx在区间, 1上是减函数7、函数( )f x是定义在0,)上的单调递减函数，则2(1)fx的单调递增区间是8、函数236xyx的递减区间是；函数236xyx的递减区

16、间是9、设yfx是R上的减函数，则3yfx的单调递减区间为10、求函数12)(2axxxf在区间2,0上的最值11、若函数22)(2xxxf当 1,ttx时的最小值为( )g t，求函数( )g t当2, 3t时的最值12、讨论函数( )f x)0(12axax，在 1x1 上的单调性五、参考答案1D 2略3解析：设1x2x21，则)(2xf)(1xf2214xx（1114xx）212112)(4xxxxxx21211214)(xxxxxx，012xx，4121xx，)(2xf)(1xf0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

17、 10 页学习必备欢迎下载 函数xxy14在),21上是增函数42 5证明：设1x2x，则)(1xf)(2xf0，)(1xg)(2xg0，即)(1xg)(2xg于是)(1xgf)(2xgf0 )(xgf在R上也是增函数 . 6C 7 1 ,08)2,(和),2(2 ,2(9),310解析：函数12)(2axxxf)1()(22aax，当0a时，)(xf在区间2 ,0上的最小值为)(minxf)0(f 1 )(xf在区间2,0上的最大值为)(maxxf)2(fa43；当10a时，)(xf在区间2,0上的最小值为)(minxf) 1(2a)(xf在区间2,0上的最大值为)(maxxf)2(fa43

18、；当21a时，)(xf在区间2,0上的最小值为)(minxf) 1(2a)(xf在区间2,0上的最大值为)(maxxf)0(f 1；当2a时，)(xf在区间上的最小值为)(minxf)2(fa43)(xf在区间2,0上的最大值为)(maxxf)0(f 1；11解析：因为函数22)(2xxxf1)1(2x当t0 时，最小值)(tg)1(tf12t；当 0t1 时，最小值)(tg) 1(f1；当t1 时，最小值)(tg)(tf222tt；1,2210 ,10,1)(22tttttttg，)(tg当2,3t时的最大值为)3(g10；最小值为)2(g5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载12解析：函数)(xf12xaxxxa1作函数xxxg1)(，)(xg为奇函数且在)0, 1(和)1 ,0(上都是增函数，当a0 时，)(xf在)0, 1(和)1 ,0(上都是增函数；当a0 时，)(xf在)0, 1(和)1 ,0(上都是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页