2022年高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载 7.1不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、0? abab0? abab0? a1? abab1? abab1? a0). 3.不等式的性质(1)对称性： ab? bb，bc? ac；(3)可加性： ab? acbc，ab，cd? acb d；(4)可乘性： ab，c0? acbc，ab0，cd0? acbd；(5)可乘方： ab0? anbn(nN，n 1)；(6)可开方： ab0?nanb (nN，n 2). 4.“三个二次 ”的关系判别式 b24ac 0 0 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的

2、根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2 x|xx1 x|x R ax2bxc0)的解集x|x1xb? ac2bc2. () (2)ab0，cd0?adbc. () (3)若 ab0，则 ab?1a0 的解集是 (， x1)(x2， )，则方程ax2bxc 0 的两个根是 x1和 x2. () (5)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0 的解集为R.() (6)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是a0 且 b24ac0. () 2.设 ab1bB.1a b1aC.|a|bD.ab答案B 解析由题设得aab0，所以有1a b1a不成立 .

3、 3.已知不等式ax2bx1 0 的解集是12，13，则不等式x2 bxa0 的解集是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载A.(2,3) B.(， 2)(3， ) C.13，12D.，1312，答案A 解析由题意知12， 13是方程 ax2bx10 的根，所以由根与系数的关系得12 13ba，12 131a.解得 a 6，b5，不等式x2bxa0 即为 x25x60，解集为(2,3). 4.若不存在整数x 满足不等式 (kxk24)(x4)0，则实数k 的取值范围是 _. 答案1,4 解析可判

4、断 k0 或 k0. 于是原不等式即为k(xk24k)(x4)0? (xk2 4k)(x4)0，1k4. 5.(2013江苏)已知 f(x)是定义在R 上的奇函数 .当 x0 时， f(x)x24x，则不等式f(x)x 的解集用区间表示为_. 答案(5,0)(5， ) 解析由已知得f(0)0， 当 x0 时，f(x) f(x) x24x， 因此 f(x)x24x，x 0 x24x，xx 等价于x0 x24xx，或xx解得： x5，或 5xb1，ccb； acloga(b c). 其中所有正确结论的序号是() A.B.C.D.(2)(2012四川 )设 a，b 为正实数 .现有下列命题：精选学习

5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载若 a2b21，则 ab1；若1b1a1，则 ab1；若 |ab|1，则 |ab|1；若|a3b3|1，则 |ab|b1，1a1b. 又 ccb，故结论 正确；函数 yxc(cb，aclogb(bc)loga(bc)，故 正确 . 正确结论的序号是 . (2)中， a2b2(ab)(ab)1，a，b 为正实数，若 ab1，则必有 a b1，不合题意，故正确 . 中，1b1aabab 1，只需 abab 即可 . 如取 a2，b23满足上式，但ab431，故 错 . 中， a

6、，b 为正实数，所以ab|ab|1，且|ab|(ab)(ab)| ab|1，故 错. 中， |a3b3|(a b)(a2abb2)| |ab|(a2abb2)1. 若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2 abb21，不合题意，故正确 . 思维升华判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 精选学习资料 -

7、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载(1)若 aln 22，bln 33， cln 55，则() A.abcB.cbaC.cabD.bac(2)若1a1b0，则下列不等式：1ab0； a1ab1b； ln a2ln b2中，正确的不等式是() A.B.C.D.答案(1)C(2)C 解析(1)易知 a，b，c 都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以 ba；ac5ln 22ln 5log25321，所以 ac. 即 cab.故选 C. (2)由1a1b0，可知 ba0. 中，因为ab0，所以1ab0. 故有1

8、ab1ab，即 正确；中，因为baa0. 故 b|a|，即 |a|b0，故 错误；中，因为ba0，又1a1bb1b，故 正确；中，因为baa20，而 yln x 在定义域 (0， )上为增函数，所以 ln b2ln a2，故 错误 . 由以上分析，知 正确 . 题型二一元二次不等式的解集例 2求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)ax2(a1)x10，所以方程 x28x30 有两个不相等的实根x1413，x2413. 又二次函数y x28x3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|413x413. (2)若 a0，原不等式等价于x11. 若 a0，解得 x1. 若 a0，原不等式等价

9、于(x1a)(x1)0. 当 a1 时，1a1，(x1a)(x1)1 时，1a1，解 (x1a)(x1)0 得1ax1；当 0a1，解 (x1a)(x 1)0 得 1x1a. 综上所述：当a0 时，解集为 x|x1 ；当 a0 时，解集为 x|x1 ；当 0a1 时，解集为 x|1x1时，解集为 x|1ax0 的解为12x13，则不等式2x2bxa0 的解集是_. (2)不等式x12x10 的解集为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载答案(1)( 2,3)(2)(12，1 解析(1)由题意，知

10、12和13是一元二次方程ax2bx20 的两根且a0，所以1213ba12132a，解得a 12b 2. 则不等式2x2bxa0 即 2x22x120，其解集为 x|2x3. (2)原不等式等价于x12x1 02x10(*) 由(*) 解得12x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载题型三不等式恒成立问题例 3设函数 f(x)mx2 mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0 恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于 x1,3，f(x)m 5 恒成立，求m 的取值范围 . 思维启迪(1)分 m0

11、和 m0 讨论， m0 可结合图象看的条件；(2)可分离参数m，利用函数最值求m 的范围 . 解(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m 0，显然 10；若 m 0，则m0， m24m0? 4m0. 所以 4m0. (2)要使 f(x)m5 在 x1,3 上恒成立，即m x12234m60 时， g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)? 7m60，所以 m67，则 0m67；当 m 0时， 60 恒成立；当 m0 时， g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)? m60，所以 m6，所以 m0. 综上所述： m 的取值范围是 m|m0，又因为 m(x2x1)

12、60，所以 m6x2x 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载因为函数y6x2x16x12234在 1,3上的最小值为67，所以只需m67即可 . 所以， m 的取值范围是m|m0 恒成立，试求实数a的取值范围 . 解因为 x1， )时， f(x)x2 2xax0 恒成立，即x22xa0 恒成立 . 即当 x1 时， a(x22x)g(x)恒成立 . 而 g(x) (x22x) (x1)2 1在1， )上单调递减，所以 g(x)maxg(1) 3，故 a3. 所以，实数a 的取值范围是 a|a3.

13、 转化与化归思想在不等式中的应用典例： (10 分)(1)(2012 江苏 )已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为 0， )，若关于 x的不等式f(x)0 恒成立，则x 的取值范围为 _. 思维启迪(1)考虑函数f(x)、方程 f(x)0 和不等式的关系；(2)可把不等式看作关于a 的一次不等式 . 解析(1)由题意知f(x) x2 axb xa22ba24. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载f(x)的值域为 0， )， ba240，即 ba24. f(x) xa22. 又f(x)c.

14、xa22c，即a2cx0 对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x 60，且 f(1)x23x20 即可，联立方程解得x3. 答案(1)9(2) x|x3 温馨提醒本题解法中利用了转化与化归思想. (1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；(2)中将已知不等式看作关于a 的一次不等式， 体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则. 方法与技巧1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 2.比较法是不等式性质证明的理论

15、依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差 变形 判断正负 . 3.“三个二次 ”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0 时的情形 . 4.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载失误与防范1.不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号. 2.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0 时的情形 . 3.当 0 (a0)的解集是R 还是 ?，要注意区别 . A 组专项基础训

16、练(时间： 40 分钟 ) 一、选择题1.下面四个条件中，使ab 成立的充分而不必要的条件是() A.ab1 B.ab1 C.a2b2D.a3b3答案A 解析由 ab1，得 ab1b，即 ab，而由 ab 不能得出ab1，因此，使ab 成立的充分而不必要的条件是ab1. 2.(2013陕西)设x表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x， y 有() A. x x B.2 x 2x C.xy xy D.xy xy 答案D 解析特殊值法 .令 x 1.5，1.5 2， 1.5 1，故 A 错；2 1.53,21.5 2，故 B 错；令 x1.5，y0.5，xy2， xy 101，故 C 错. 3.

17、已知 pa1a 2，q12xx2，其中 a2， xR，则 p，q 的大小关系是() A.pqB.pqC.pqD.p q答案A 解析pa1a2 a21a2222 4， 当且仅当a 3 时取等号 .因为 x22 2，所以 q12xx21224，当且仅当x 0 时取等号 .所以 p q. 4.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0 的解集为x|x12， 则 f(10 x)0 的解集为 () A. x|x lg 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载B. x|1xlg 2 D. x|xlg 2 答案

18、D 解析由已知条件010 x12，解得 xlg12 lg 2. 5.若集合 A x|ax2ax 10 ?，则实数a 的取值范围是() A. a|0a4 B. a|0a4 C. a|00 a24a0得 0a4，所以 0a4. 二、填空题6.已知 a0， 1b”连接 ) 答案abab2a解析由 1b0，可得 bb21. 又 aab2a. 7.函数 yx2x12的定义域是 _. 答案(， 43， ) 解析由 x2x120 得(x3)(x4)0，x4 或 x3. 8.已知不等式x22xk210 对一切实数x 恒成立，则实数 k 的取值范围为 _. 答案(，2) (2， ) 解析由题意，知 441 (k

19、21)2，k2或 k0 的解集是 x|12x0 的解集 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载解(1)由题意知a0，即 2x25x30，解得 3x0 的解集为 (3，12). 10.(1)设 xy1b，xy，求证：xx ayy b. (1)解方法一(x2y2)(xy)(x2 y2)(xy) (xy)x2y2(xy)2 2xy(xy)，xy0，x y0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy). 方法二xy0，xyy2，xy0. (x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0，0 x2y2xyx2y

20、2xyx2y2x2y22xy(x2y2)(xy). (2)证明xx ayybbxayxa yb. 1a1b且 a，b(0， )，ba0，又xy0， bxay0，bxayxa yb0，xx ayyb. B 组专项能力提升(时间： 30 分钟 ) 1.若 a0 的解集是() A.(， a)(5a， ) B.(， 5a)(a， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载C.(5a， a) D.(a， 5a) 答案B 解析由 x24ax5a20 得(x5a)(xa)0，a0，xa. 2.设函数 f(x)x21

21、，对任意 x32， )，f(xm)4m2 f(x)f(x1)4f(m)恒成立， 则实数 m的取值范围是 _. 答案m|m32或 m32 解析依据题意得x2m214m2(x21)(x1)214(m21). 在 x32， )上恒成立，即1m24m2 3x22x 1在 x32， )上恒成立 . 当 x32时函数 y3x22x1 取得最小值53，所以1m24m253，即 (3m21)(4m23)0，解得 m32或 m32. 3.设 f(x)是定义在R 上的以 3 为周期的奇函数，若f(1)1 ，f(2)2a3a1，则实数 a 的取值范围是_. 答案(1，23) 解析f(x3)f(x)，f(2)f(13

22、)f(1) f(1)1. 2a 3a11?3a2a10? (3a 2)(a1)0，1a0，|a|1 恒成立的x 的取值范围 . 解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式 (x3)ax26x90. 令 f(a)(x3)ax26x9. 因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以(1)若 x 3，则 f(a) 0，不符合题意，应舍去. (2)若 x3，则由一次函数的单调性，可得f 1 0f 1 0，即x27x120 x25x60，解得 x4. 5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2 万元，并且每生产100

23、 台的生产成本为1万 元 ( 总 成 本 固 定 成 本 生 产 成 本 ) ， 销 售 收 入R(x) 满 足R(x) 0.4x24.2x0.80 x510.2 x5，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？解依题意得G(x)x2，设利润函数为f(x)，则 f(x)R(x)G(x)，所以 f(x)0.4x23.2x2.80 x58.2xx5. (1)要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0?0 x50.4x23.2x 2.80或x58.2 x0?0 x5x28x70或 5x8.2?0 x51x7或 5x8.2? 1x5 或 5x8.2? 1x5 时， f(x)8.25 3.2. 所以当工厂生产400 台产品时，盈利最大，此时只需求x4 时，R 442.4(万元 /百台 ) 240(元 /台). 所以工厂生产400 台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为240 元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页