2022年高三数学导数题的解题技巧教学设计【命题趋向】导数命题趋势综观 .pdf

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1、名师精编优秀教案高三数学导数题的解题技巧教学设计【命题趋向】导数命题趋势 : 综观历届全国各套高考数学试题, 我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点 : (1) 多项式求导 ( 结合不等式求参数取值范围), 和求斜率 ( 切线方程结合函数求最值 ) 问题. (2) 求极值 , 函数单调性 , 应用题 , 与三角函数或向量结合 . 分值在 12-17分之间 , 一般为 1 个选择题或 1 个填空题 ,1 个解答题 . 【考点透视】 1. 了解导数概念的某些实际背景( 如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等 ); 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义; 理解导函数的概念 . 2.

2、熟记基本导数公式 ; 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则. 了解复合函数的求导法则 , 会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号 ); 会求一些实际问题 ( 一般指单峰函数 )的最大值和最小值 . 【例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求 : 了解导数概念的实际背景, 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义 , 理解导函数的概念 . 例 1.(20XX 年北京卷 ) 是 的导函数 , 则 的值是 . 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程 故填 3. 例 2. (

3、 20XX年湖南卷 ) 设函数 , 集合 M= ,P= , 若 M P,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+ )D. 1,+ ) 考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 解答过程 由综上可得 M P时, 考点 2 曲线的切线 (1) 关于曲线在某一点的切线求曲线 y=f(x) 在某一点 P(x,y) 的切线 , 即求出函数 y=f(x) 在 P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. (2) 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切, 则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例 3.(20XX 年湖南文 )已知函数在区间 , 内各有一

4、个极值点 . (I)求 的最大值 ; (II)当 时, 设函数 在点 处的切线为 , 若 在点 处穿过函数的图象 (即动点在点附近沿曲线运动, 经过点 时, 从 的一侧进入另一侧 ), 求函数 的表达式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案思路启迪 : 用求导来求得切线斜率 . 解答过程 :(I)因为函数在区间 , 内分别有一个极值点 , 所以在 , 内分别有一个实根 , 设两实根为 ( ),则 , 且 . 于是 , ,且当 , 即 , 时等号成立 . 故 的最大值是 16. (II)解法一: 由

5、知 在点 处的切线的方程是 , 即 , 因为切线在点 处空过 的图象 , 所以 在 两边附近的函数值异号 , 则不是 的极值点 . 而 , 且 . 若 , 则 和 都是 的极值点 . 所以 , 即 , 又由 , 得 , 故 . 解法二 : 同解法一得 . 因为切线在点 处穿过 的图象 , 所以 在 两边附近的函数值异号 , 于是存在 ( ). 当 时, , 当 时, ; 或当 时, , 当 时, . 设 , 则当 时, , 当 时, ; 或当 时, , 当 时, . 由 知 是 的一个极值点 , 则 , 所以 , 又由 , 得 , 故 . 例 4.(20XX 年安徽卷 )若曲线 的一条切线与直

6、线 垂直, 则 的方程为( ) A. B. C. D. 考查目的 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程 与直线 垂直的直线为 , 即 在某一点的导数为4, 而 , 所以在(1,1) 处导数为 4, 此点的切线为 . 故选 A. 例 5. ( 20XX年重庆卷 ) 过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( ) A.y=-3x或 y= x B. y=-3x 或 y=- x C.y=-3x或 y=- x D. y=3x或 y= x 考查目的 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 . 解答过程 解法 1: 设切线的方程

7、为又故选 A. 解法 2: 由解法 1 知切点坐标为由故选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案例 6. 已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线 , 求出此时公切线的方程 . 思路启迪 : 先对 求导数 . 解答过程 : 函数 的导数为 , 曲线 在点 P( ) 处的切线方程为 ,即曲线 在点 Q 的切线方程是即若直线 是过点 P点和 Q点的公切线 , 则式和式都是的方程 , 故得 , 消去 得方程 , 若= , 即 时, 解得 , 此时点 P、Q重合. 当时 , 和 有且只有一条公

8、切线 , 由式得公切线方程为 . 考点 3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数, 导数是研究函数性质的重要而有力的工具, 特别是对于函数的单调性 , 以 导数 为工具 , 能对其进行全面的分析 , 为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明 , 讨论方程解的情况等问题结合起来, 极大地丰富了中学数学思想方法 . 复习时 , 应高度重视以下问题 : 1. 求函数的解析式 ; 2. 求函数的值域 ; 3. 解决单调性问题 ; 4. 求函数的极值 ( 最值); 5. 构造函数证明不等式 . 典型例题例 7.(20XX 年天津卷 )函数 的定义域为

9、开区间 , 导函数 在 内的图象如图所示 , 则函数 在开区间 内有极小值点 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4个 考查目的 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. 解答过程 由图象可见 , 在区间 内的图象上有一个极小值点. 故选 A. 例 8 .(20XX 年全国一 ) 设函数 在 及 时取得极值 . ()求 a、b 的值; ()若对于任意的 , 都有 成立, 求 c 的取值范围 . 思路启迪 : 利用函数在 及 时取得极值构造方程组求a、b 的值. 解答过程 :( ) ,因为函数在 及 取得极值 , 则有 , . 即解得 , . ()由()可知 ,

10、, . 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案所以, 当 时, 取得极大值 , 又 , . 则当 时, 的最大值为 . 因为对于任意的 , 有 恒成立 , 所以 , 解得或 , 因此 的取值范围为 . 例 9. 函数 的值域是 _. 思路启迪 : 求函数的值域 , 是中学数学中的难点 , 一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解 , 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂 , 采用导数法求解较为容易。解答过程 : 由 得, , 即函数的定

11、义域为 . , 又 , 当 时, , 函数 在 上是增函数 , 而 , 的值域是 . 例 10.(20XX 年天津卷 ) 已知函数 , 其中 为参数 , 且 . (1) 当时 , 判断函数是否有极值 ; (2) 要使函数的极小值大于零 , 求参数 的取值范围 ; (3) 若对(2) 中所求的取值范围内的任意参数 , 函数 在区间 内都是增函数, 求实数 的取值范围 . 考查目的 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础知识 , 考查综合分析和解决问题的能力, 以及分类讨论的数学思想方法 . 解答过程 ( )当 时, , 则 在 内是增函数 , 故无极值 . ()

12、 , 令 , 得 . 由(), 只需分下面两种情况讨论. 当时, 随 x 的变化 的符号及的变化情况如下表 : x 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此, 函数 在 处取得极小值 , 且 . 要使 , 必有 , 可得 . 由于 , 故 . 当时 , 随 x 的变化 , 的符号及的变化情况如下表 : + 0 - 0 + 极大值极小值因此, 函数 处取得极小值 , 且若 , 则 . 矛盾. 所以当 时, 的极小值不会大于零 . 综上, 要使函数在 内的极小值大于零 , 参数 的取值范围为 . (III)解: 由(II)知, 函数 在区间 与 内都是增函数。由题设 , 函数 内是增函数 ,

13、则 a 须满足不等式组或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案由(II),参数时 时, . 要使不等式关于参数 恒成立 , 必有 , 即 . 综上, 解得 或 . 所以 的取值范围是 . 例 11.(20XX 年山东卷 ) 设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中 a -1, 求 f(x)的单调区间 . 考查目的 本题考查了函数的导数求法, 函数的极值的判定 , 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 由已知得函数的定义域为 , 且 (1) 当 时, 函数 在 上单调

14、递减 , (2) 当 时, 由 解得、 随 的变化情况如下表 - 0 + 极小值从上表可知当 时, 函数 在 上单调递减 . 当 时, 函数 在 上单调递增 . 综上所述 : 当 时, 函数 在 上单调递减 . 当 时, 函数 在 上单调递减 , 函数 在 上单调递增 . 例 12.(20XX 年北京卷 ) 已知函数在点 处取得极大值 , 其导函数的图象经过点 , ,如图所示 . 求: () 的值 ; () 的值 .!-empirenews.page- 考查目的 本小题考查了函数的导数, 函数的极值的判定 , 闭区间上二次函数的最值 , 函数与方程的转化等基础知识的综合应用, 考查了应用数形结

15、合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程 解法一:( )由图像可知 , 在 上 , 在 上 , 在 上 , 故 在 上递增 , 在 上递减 , 因此 在 处取得极大值 , 所以() 由得解得解法二:( )同解法一()设又所以由 即 得所以例 13.(20XX 年湖北卷 ) 设 是函数 的一个极值点 . ()求 与 的关系式 (用 表示 ), 并求 的单调区间 ; ()设 , .若存在 使得 成立, 求 的取值范围 . 考查目的 本小题主要考查函数、 不等式和导数的应用等知识, 考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解答过程 ( )f (x)=-x2+(a-2)x+b-a e3-x, 由 f

16、 (3)=0,得 -32+(a-2)3+b-a e3-3=0,即得 b=-3-2a, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案则 f (x)=x2+(a-2)x-3-2a-a e3-x =-x2+(a-2)x-3-3a e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令 f (x)=0,得 x1=3或 x2=-a-1, 由于 x=3 是极值点 , 所以 x+a+10, 那么 a-4. 当 a3=x1, 则在区间 (- ,3) 上,f (x)0,f (x)为增函数 ; 在区间(a1,+)上 ,f (x)-4

17、 时,x23=x1, 则在区间 (- , a1)上 ,f (x)0,f (x)为增函数 ; 在区间(3,+ )上 ,f (x)0时,f (x)在区间 (0,3) 上的单调递增 , 在区间 (3,4)上单调递减 , 那么 f (x)在区间 0,4 上的值域是 min(f (0),f (4) ),f (3), ; 而 f (0)=-(2a+3)e30,f (3)=a+6, 那么 f (x)在区间 0,4 上的值域是 -(2a+3)e3,a+6. 又 在区间 0,4 上是增函数 , 且它在区间 0,4 上的值域是 a2+ ,(a2+ )e4, 由于(a2+ )-(a+6)=a2-a+ =( )2 0

18、, 所以只须仅须 (a2+ )-(a+6)0,解得 0a . 故 a 的取值范围是 (0, ). 例 14 (20XX 年全国二 ) 已知函数在 处取得极大值 , 在 处取得极小值 , 且 . (1) 证明 ; (2) 若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 解答过程 求函数 的导数 . ()由函数在 处取得极大值 , 在 处取得极小值 , 知 是 的两个根 . 所以当 时, 为增函数 , , 由 , 得 . ()在题设下 , 等价于即 . 化简得 . 此不等式组表示的区域为平面上三条直线 : . 所围成的的内部 , 其三个顶点分别为 : . 在这三点的值依次为 . 所以 的取值范围为 . 小

19、结: 本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合 . 考点 4 导数的实际应用建立函数模型 , 利用典型例题例 15. (20XX 年重庆文 ) 用长为 18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时, 其体积最大 ?最大体积是多少 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案 考查目的 本小题主要考查函数、 导数及其应用等基本知识 , 考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解答过程 设长方体的宽为 x(m), 则长为 2x(m)

20、, 高为 . 故长方体的体积为从而令 V(x)=0, 解得 x=0(舍去)或 x=1, 因此 x=1. 当 0 x0; 当 1x 时,V(x)0时,f(0)为极大值 C、b=0 D、当 a0且 a1)的单调区间 _. 16. 在半径为 R的圆内 , 作内接等腰三角形 , 当底边上高为 _时它的面积最大 . 三、解答题 17. 已知曲线 C:y=x3-3x2+2x, 直线 l:y=kx,且 l 与 C切于点(x0,y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标 . 18. 求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(p N+),在0,1 内的最大值 . 19. 证明双曲线 xy=a2 上任意一点的

21、切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数 . 20. 求函数的导数 (1)y=(x2-2x+3)e2x; (2)y= . 21. 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上, 假设其下端沿地板以3 的速度离开墙脚滑动 , 求当其下端离开墙脚1.4 m时, 梯子上端下滑的速度 . 22. 求和 Sn=12+22x+32x2+ +n2xn-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案 23. 设 f(x)=ax3+x恰有三个单调区间 , 试确定 a 的取值范围 , 并求其单调区间. 24. 设 x=1 与 x=2

22、 是函数 f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点 . (1) 试确定常数 a 和 b 的值; (2) 试判断 x=1,x=2 是函数 f(x) 的极大值还是极小值 , 并说明理由 . 25. 已知 a、b 为实数 , 且 bae,其中 e 为自然对数的底 , 求证:abba. 26. 设关于 x 的方程 2x2-ax-2=0 的两根为 、(), 函数 f(x)= . (1) 求 f( )f( )的值; (2) 证明 f(x) 是 , 上的增函数 ; (3) 当 a 为何值时 ,f(x)在区间 , 上的最大值与最小值之差最小? 【参考答案】一、1. 解析:y =esinxcosxcos(si

23、nx)- cosxsin(sinx),y(0)=e0(1 -0)=1. 答案:B 2. 解析: 设切点为 (x0,y0),则切线的斜率为 k= , 另一方面 ,y =( ) = ,故y(x0)=k, 即 或 x02+18x0+45=0得 x0(1)=-3,y0(2)=-15,对应有y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个切点 A(-3,3) 或 B(-15, ),从而得 y(A)= =-1及 y(B)= , 由于切线过原点 , 故得切线 :lA:y=-x或 lB:y=- . 答案:A 3. 解析: 由 =-1, 故存在含有 0 的区间 (a,b) 使当 x(a,b),x0 时 0, 当 x(

24、0,b) 时,f (0) 或 x1,则当 x 时,logae0,6x+50,(3x-1)(x+2)0, f (x)0, 函数 f(x) 在( ,+)上是增函数 ,x-2 时,f (x)0. 函数 f(x) 在(- ,-2) 上是减函数 . 若 0a 时,f (x)0, f(x) 在( ,+)上是减函数 , 当 x0, f(x) 在 (- ,-2) 上是增函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案答案:(- ,-2) 16. 解析: 设圆内接等腰三角形的底边长为2x, 高为 h, 那么 h=AO+B

25、O=R+ ,解得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为S=xh= 从而 . 令 S=0,解得 h= R,由于不考虑不存在的情况, 所在区间 (0,2R) 上列表如下 h (0, R) R ( ,2R) S + 0 - S 增函数 最大值 减函数由此表可知 , 当 x= R 时, 等腰三角形面积最大 . 答案: R 三、17. 解: 由 l 过原点 , 知 k= (x0 0), 点(x0,y0) 在曲线 C上,y0=x03-3x02+2x0, =x02 -3x0+2,y=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2 又 k= , 3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02- 3x0

26、=0,x0=0 或 x0= . 由 x0, 知 x0= , y0=( )3 -3( )2+2 = - . k= = - . l方程 y=- x 切点( ,- ). 18. , 令 f(x)=0得,x=0,x=1,x= , 在0,1 上,f(0)=0,f(1)=0, . . 19. 设双曲线上任一点P(x0,y0), , 切线方程 , 令 y=0,则x=2x0 令 x=0,则 . . 20. 解:(1) 注意到 y0, 两端取对数 , 得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x, (2) 两端取对数 , 得 ln|y|= (ln|x|-ln|1-x|), 两边解

27、 x 求导, 得 21. 解: 设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米, 则 s=5- , 当下端移开 1.4 m时,t0= , 又 s= - (25- 9t2) (-92t)=9t ,所以 s(t0)=9 =0.875(m/s). 22. 解:(1) 当 x=1 时,Sn=12+22+32+ +n2= n(n+1)(2n+1),当 x1时,1+2x+3x2+nxn-两边同乘以 x, 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案bsp; x+2x2+3x2+nxn= 两边对 x 求导, 得Sn=12+22x

28、2+32x2+ +n2xn- = . 23. 解:f (x)=3ax2+1.若 a0,f (x) 0 对 x(- ,+)恒成立 , 此时 f(x) 只有一个单调区间 ,矛盾. 若 a=0,f (x)=10, x(- ,+),f(x)也只有一个单调区间 , 矛盾. 若 a0,f (x)=3a(x+ )(x - ),此时 f(x) 恰有三个单调区间 . a0且单调减区间为 (- ,- ) 和( ,+ ),单调增区间为 (- , ). 24. 解:f (x)= +2bx+1, (1) 由极值点的必要条件可知 :f (1)=f (2)=0, 即 a+2b+1=0,且+4b+1=0, 解方程组可得 a=

29、- ,b=- , f(x)= - lnx- x2+x, (2)f (x)= - x-1- x+1,当 x(0,1) 时,f (x)0, 当 x(2,+ )时,f (x)ae,要证 abba,只要证 blnaalnb, 设f(b)=blna-alnb(be),则f (b)=lna - . bae,lna1, 且 0. 函数f(b)=blna-alnb在(e,+ )上是增函数 , f(b)f(a)=alna- alna=0,即blna- alnb0, blnaalnb, abba.证法二 : 要证 abba,只要证 blnaalnb(eae),则 f (x)= 0,函数 f(x) 在(e,+ )上是减函数 , 又eaf(b),即 , abba. 26. 解:(1)f()= ,f()= ,f()=f( )=4, (2) 设 (x)=2x2-ax-2,则当 x 时, (x)0, 最小值 f( )0, |f( )f( )|=4, 当且仅当 f( )=-f()=2时,f( )-f()=|f()|+|f()| 取最小值 4, 此时 a=0,f( )=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页