2022年高三数学总复习专题突破训练立体几何 .pdf

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1、高三数学总复习专题突破训练：立体几何二、解答题1、已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点 . (1) 求四棱锥PABCD的体积；(2) 是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论；(3) 若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小 . 2、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点 . (1) 求证：/AF平面BCE；(2) 求证：平面BCE平面CDE；(3) 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. 3、如图所示 ,在矩形 ABCD中， AD=2AB=2，点 E是 AD 的中点，将 DEC沿 CE折起到 DEC的位置

2、，使二面角DEC B 是直二面角 .（1）证明： BE C D；（2）求二面角DBCE的正切值 . 4（ 09 广 东 四 校 文 期 末 ） 如 图 ： 直 三 棱 柱ABC A1B1C1中 ，AC=BC=AA1=2， ACB=90 .E 为 BB1的中点， D 点在AB 上且DE=3 .（）求证：CD平面 A1ABB1；（）求三棱锥A1CDE的体积 .俯视图侧视图正视图121121A B C D P E A B C D E F DEADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页5、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD

3、P中，PA面ABCD，E、F为别为PD、AB的中点，且1ABPA，2BC，（）求四棱锥ABCDE的体积；（）求证：直线AE平面PFC6、在直三棱柱111CBAABC中，1ACAB，090BAC，且异面直线BA1与11CB所成的角等于060，设aAA1. （1）求a的值；（2）求平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小. 7、如图 6，在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB=BC=221AP，D 是 AP的中点， E，F，G分别为 PC 、PD、 CB的中点，将PCD沿 CD折起，使得PD平面 ABCD, 如图 7. （）求证： AP/平面 EFG ；( ) 求二面角DEFG

4、的大小 ; （）求三棱椎PABD的体积 . P B C D A E F A B C A1 B1 C1 ADFGCBEP图 6 BGCDFEAP图 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页ABCDA1B1C1D1P8、如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是 矩 形 ，E、F分 别 是AB、PD的 中 点 若3PAAD，6CD（）求证：/AF平面PCE；（）求点F到平面PCE的距离；（）求直线FC平面PCE所成角的正弦值9、如图，已知1111ABCDA B C D是底面为正方形的长方体，1160AD

5、 A，14AD，点P是1AD上的动点 （1）试判断不论点P在1AD上的任何位置，是否都有平面11B PA垂直于平面11AAD？并证明你的结论；（2）当P为1AD的中点时，求异面直线1AA与1BP所成角的余弦值；（3）求1PB与平面11AAD所成角的正切值的最大值10、 ）如图，在四棱锥ABCDP中，底面为直角梯形，/,90ADBCBAD，PA垂直于底面ABCD，NMBCABADPA,22分别为PBPC ,的中点。(1)求证：DMPB； （2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。11、已知PA平面ABCD，2PAABAD，AC与BD交于E点，2BD，BCCD，（1）取PD中

6、点F，求证 :/PB平面AFC。（2）求二面角APBE的余弦值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页CADBOE12、如图，四面体ABCD中， O、E分别是 BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面 BCD；（II）求异面直线AB 与 CD所成角的余弦；（III）求点 E到平面 ACD的距离答案：1、解： (1) 由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1 的正方形，侧棱PC底面ABCD，且2PC. 2 分211212333PABCDABCDVSPC正方形，即四棱锥PABCD的体积为

7、23. 4 分(2) 不论点E在何位置，都有BDAE. 5 分证明如下：连结AC，ABCD是正方形，BDAC. 6 分PC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC. 7 分又ACPCC，BD平面PAC. 8 分不论点E在何位置，都有AE平面PAC. 不论点E在何位置，都有BDAE. 9 分(3) 解法 1：在平面DAE内过点D作DFAE于F，连结BF. 1ADAB，22112DEBE，3AEAE，RtADERtABE，从而 ADFABF，BFAE. DFB为二面角DAEB的平面角 . 12 分在 RtADE中，123AD DEDFBFAE，又2BD，在 DFB中，由余弦定理得22222213

8、cos22223DFBFBDDFBDF BF， 13 分120DGB，即二面角DAEB的大小为120. 14 分解法 2： 如图，以点C为原点，CDCBCP，所在的直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系 . 则(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,0,1)DABE，从而(0,1,0)DA，( 1,0,1)DE，(1,0,0)BA，(0, 1,1)BE. 10 分设平面ADE和平面ABE的法向量分别为1111(,)nx y z，2222(,)nxyz，A B C D P E F A B C D P E x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

9、- - - - - - -第 4 页，共 17 页由111110000n DAyxzn DE，取1(1,0,1)n. 11 分由222220000nBAxyznBE，取2(0, 1, 1)n. 12 分设二面角DAEB的平面角为，则121211cos222n nnn， 13 分23，即二面角DAEB的大小为23. 14 分2、方法一：(1) 证法一 ：取CE的中点G，连FGBG、. F为CD的中点，/GFDE且12GFDE. 1 分AB平面ACD，DE平面ACD，/ABDE，/GFAB. 2 分又12ABDE，GFAB. 3 分四边形GFAB为平行四边形，则/AFBG. 4 分AF平面BCE，

10、BG平面BCE，/AF平面BCE. 5 分证法二 ：取DE的中点M，连AMFM、. F为CD的中点，/FMCE. 1 分AB平面ACD，DE平面ACD，/DEAB. 2 分又12ABDEME，四边形ABEM为平行四边形，则/AMBE. 3 分FMAM、平面BCE，CEBE、平面BCE，/FM平面BCE，/AM平面BCE. 又FMAMM，平面/AFM平面BCE. 4 分AF平面AFM，/AF平面BCE. 5 分(2) 证：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD. 6 分DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF. 7 分又CDDED，故AF平面CDE. 8 分/BGAF，BG平面CDE. 9

11、 分BG平面BCE，平面BCE平面CDE. 10 分(3) 解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH. 平面BCE平面CDE， FH平面BCE. FBH为BF和平面BCE所成的角 . 12 分设22ADDEABa，则2sin 452FHCFa，2222(3 )2BFABAFaaa，A B C D E F M H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页R tFHB中，2sin4FHFBHBF. 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24. 14 分方法二：设22ADDEABa，建立如图所示的坐标系Axyz，则0

12、0 02 0 0 ,0,0,3 ,0 ,3 ,2ACaBaD aaE aaa， ,，. 2 分F为CD的中点，33,022Faa. 3 分(1) 证 ：33,0 ,3 ,2 ,0,22AFaaBEaa aBCaa， 4 分12AFBEBC，AF平面BCE，/AF平面BCE. 5 分(2) 证 ： 33,0,3 ,0 ,0,0,222AFaaCDaaEDa，6 分0,0AF CDAF ED，,AFCD AFED. 8 分AF平面CDE，又/AF平面BCE，平面BCE平面CDE. 10 分(3) 解 ：设平面BCE的法向量为, ,nx y z，由0,0n BEn BC可得：30,20 xyzxz，

13、取1,3, 2n. 12 分又33,22BFaaa，设BF和平面BCE所成的角为，则22sin422 2BF naaBFn. 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24. 14 分3、解： （1） AD=2AB=2，E是 AD 的中点， BAE ， CDE是等腰直角三角形，易知 , BEC =90，即 BEEC.又平面 DEC 平面 BEC ，面 DEC 面 BEC =EC , BE 面 DEC，又 C D面 DEC , BECD；（2）法一：设M 是线段 EC的中点，过M 作 MF BC垂足为 F，连接 DM， DF，则 DMEC. 平面 DEC 平面 BEC , DM平面 EBC , MF

14、是 DF在平面 BEC上的射影，由三垂线定理得：DFBC DFM 是二面 D BC E的平面角 . FMDEADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页在 RtDMF 中， DM=21EC =22，MF=21AB=21,2tanMFMDFMD即二面角 D BCE的正切值为2. 法二：如图，以EB ，EC为 x 轴、 y 轴，过 E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系 . 则 B（2，0，0） ，C（0，2，0） ，D（ 0，22，22）设平面 BEC的法向量为) 1 ,0 ,0(1n；平面 DBC的法向

15、量为),(2222zyxn33|,cos),1 , 1 , 1(, 10222202200),22,22,0(),0 ,2,2(21212122222222nnnnnnnxzyyxCDnBCnCDBC得取由 tan21,nn= 2 二面角 D BCE的正切值为2. 4、解：(1)在 RtDBE中，BE=1 ， DE= 3 ， BD= DE2BE2 = 2 = 12AB， 则D为 AB中点, 而 AC=BC ， CD AB又三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 , CD AA1又 AA1 AB=A 且 AA1、AB平面 A1ABB1故 CD 平面 A1ABB16 分（2）解： A1ABB1为矩

16、形， A1AD， DBE ， EB1A1都是直角三角形，111111AEBDBEADAABBADEASSSSS=222 12 2 2 12 2 1 1222 1= 322 VA1CDE=VCA1DE = 13SA1DE CD= 13322 2 =1 三棱锥 A1CDE的体积为14 分5、解： （1）取 AD的中点 O，连接 EO,则 EO是PAD的中位线，得EO PA,故 EO面ABCD, EO是四棱锥ABCDE的高，3121213131EOSVABCDABCDE 6分zyxDEADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 1

17、7 页（2） 取 PC的中点 G,连 EG,FG, 由中位线得EG CD,EG=21CD=AF, 四边形 AFGE是平行四边形，AEFGPFCAEFG/AEPFC面面PFC面 6分6、解法一 ： （1）11/CBBC，BCA1就是异面直线BA1与11CB所成的角，即0160BCA，（ 2 分）连接CA1，又ACAB，则CABA11BCA1为等边三角形，4分由1ACAB，090BAC2BC，121221aaBA； 6 分（2）取BA1的中点E，连接EB1，过E作1BCEF于F，连接FB1，BAEB11,EBCA111EB1平面11BCAEB11BC8 分又1BCEF，所以1BC平面EFB1，即1

18、1BCFB，所以FEB1就是平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的平面角。10 分在EFB1中，0190EFB，221EB，3211FB, 23sin111FBEBFEB0160FEB，13 分因此平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小为060。 14 分说明：取11CB的中点D，连接DA1，同样给分（也给10 分）解法二： （1）建立如图坐标系，于是)0 ,0, 1 (B，)1 ,0, 1(1B，) 1 , 1 ,0(1C，),0 ,0(1aA（0a）)0 ,1 , 1(11CB，),0 , 1(1aBA，1111BACB 3 分由于异面直线BA1与11CB所成的角060

19、，所以11CB与BA1的夹角为0120即1120cos|0111BACB11)21(122aa 6 分（2）设向量),(zyxn且n平面11BCA于是BAn1且11CAn，即01BAn且011CAn，又)1,0 , 1(1BA，)0, 1 ,0(11CA，所以00yzx，不妨设)1 ,0, 1 (n 8 分同理得)0 , 1 , 1(m，使m平面11CBB， （10 分）设m与n的夹角为，所以依cos|nmnm，A B C A1 B1 C1 F E A1 B C B1 C1 x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 1

20、7 页06021cos1cos22，12 分m平面11CBB，n平面11BCA，因此平面11BCA与平面11BCB所成的锐二面角的大小为060。 14 分说明：或者取BC的中点M，连接AM，于是)0,21,21(AM显然AM平面11CBB7、解 :( ) 证明 : 方法一 ) 连 AC,BD交于 O点, 连 GO,FO,EO. E,F分别为 PC,PD的中点 ,/EFCD21,同理CDGO21/,GOEF/四边形 EFOG是平行四边形,EO平面 EFOG. 3 分又在三角形PAC中,E,O分别为 PC,AC的中点 ,PA/EO 4 分EO平面 EFOG,PA平面 EFOG, 5 分PA/平面

21、EFOG, 即 PA/平面 EFG. 6 分方法二 )连 AC,BD交于 O点, 连 GO,FO,EO. E,F分别为 PC,PD的中点 ,/EFCD21,同理PBGE21/又ABCD/,/EFAB21,BABPBEEFEG平面 EFG/平面 PAB, 4 分又 PA平面 PAB,/PA平面 EFG. 6 分方法三 ) 如图以 D 为原点 ,以DPDCDA,为方向向量建立空间直角坐标系xyzD. 则有关点及向量的坐标为: .00,2,1 ,0,0,1 , 1 ,0,0 ,2, 1,0 ,2,0,2,0,0AFEGCP1, 1 , 1,0, 1, 0,2,0 ,2EGEFAP 2 分设平面 EF

22、G的法向量为zyxn,.00000yzxzyxyEGnEFn取1 ,0, 1n. 4 分APnAPn, 0210021, 5 分又AP平面 EFG.AP/平面 EFG. 6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页( )由已知底面ABCD 是正方形DCAD, 又PD面 ABCD PDAD又DCDPDAD平面 PCD,向量DA是平面 PCD的一个法向量,DA=0 ,0, 2 8 分又由 ( ) 方法三 ) 知平面 EFG的法向量为1 , 0, 1n 9 分.22222,cosnDAnDAnDA 10 分结合图知二面角DE

23、FG的平面角为.450 11 分( )PDSVVABDDABPPABD31 13 分.342222131 14 分8、解法一：（I）取 PC的中点 G，连结 EG，FG，又由 F为 PD 中点，则F G /CD21. 2 分又由已知有./,21/AEFGCDAE四边形AEGF是平行四边形. ./ EGAF4 分AF又平面 PCE ，EG.PCE平面PCEAF平面/ 5 分（II）,ABCDPA平面,/.,., 3.AFEGPCDAFDCDPDPDAFPDFADPACDAFPADCDADCDABCDABCDPAD由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面.,.的距离到平面的长就是点则平面由于平面于作

24、过内平面平面PCEFFHPCPCEPCDHPCFHFPCDPCDEG 3 分= = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页. 24321.30,. 62,223,23PFFHCPDPADCDPCPFDP平面由于由已知可得243的距离为到平面点PCEF. 5 分（III）由（ II）知.所成的角与平面为直线PCEFCFCH1421sin.242,223,6,22FCFHFCHFDCDFCFDCDCDFRt中在直线 FC与平面 PCE所成角的正弦值为1421. 4 分解法二：如图建立空间直角坐标系xyzAA（0，0， 0

25、） ，P（ 0，0，3） ，D（0，3，0） ，E（26，0，0） ，F（0，23，23） ，C（6，3， 0） 2 分（I）取 PC的中点 G，连结 EG，则 G).23,23,26(,././),23,23,0(),23,23,0(PCEEGPCEAFEGAFEGAFEGAF平面平面又即./PCEAF平面 5 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页（II）设平面PCE的法向量为).0,3 ,26(),3,0,26(),(ECEPzyxn).1 , 1,6(,1.0326,0326.0,0nyyxzxECnEPn

26、得取即 3 分的距离为到平面故点又PCEFPF),23,23,0(.42322|2323| nnPFd 5 分（III）),23,23,6(FC.1421222213|,cos|nFCnFCnFC 2 分直线 FC与平面 PCE所成角的正弦值为1421. 4 分9、解： （1）不论点P在1AD上的任何位置，都有平面11B PA垂直于平面11AAD.-1 分证明如下：由题意知，1111B AA D，111B AA A又1111AAA DA11B A平面11AAD又11AB平面11B PA平面11B PA平面11AAD-4分（2）解法一： 过点 P作11PEA D，垂足为E，连结1B E（如图），

27、则1PEAA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页EPD1C1B1A1DCBAzyxPD1C1B1A1DCBA1B PE是异面直线1AA与1B P所成的角 -6分在11RtAAD中 1160AD A1130A AD11111122A BA DAD, 111112A EA D，2211115B EB AA E又1132PEAA在1RtB PE中，1532 2B P1136cos42 2PEB PEB P-8分异面异面直线1AA与1B P所成角的余弦值为64-9分解法二： 以1A为原点，11A B所在的直线为x 轴建立

28、空间直角坐标系如图示，则1(0 0 0)A， ，(0 0 2 3)A ， ，1(2 0 0)B， ，(013)P， ，1(0 0 2 3)A A， ，1( 213)B P， ，-6分111111cos| |A A B PA A B PA AB P，6642 3 2 2异面异面直线1AA与1B P所成角的余弦值为64-9分（3）由（ 1）知，11B A平面11AAD，11B PA是1PB与平面11AAD所成的角， -10分且1111112tanB AB PAA PA P-11分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页当1

29、AP最小时，11tanB PA最大，这时11A PAD，由111113A DA AA PAD-13 分得112 3tan3B PA，即1PB与平面11AAD所成角的正切值的最大值2 33-14分10、 （1）证明：因为N是PB的中点，ABPA， 所以PBAN。由PA底面ABCD，得PAAD，又90BAD，即BAAD，AD平面PAB，所以PBAD，PB平面ADMN，DMPB。4 分（2）连结DN，因为BP平面ADMN，即BN平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADMN所成的角，在Rt ABD中，222 2BDBAAD，在Rt PAB中，222 2PBPAAB，故122BNPB，在Rt BDN中,

30、 21sinBDBNBDN，又BDN0，故BD与平面ADMN所成的角是6。10 分（ 3）由,MN分别为PBPC ,的中点，得/MNBC，且1122MNBC，又/ADBC，故/MNAD，由（ 1）得AD平面PAB，又AN平面PAB，故ADAN，四边形ADMN是直角梯形，在Rt PAB中，222 2PBPAAB，122ANPB，截面ADMN的面积11 15 2()(2)222 24SMNADAN。14 分11、解法 1:(1)联结EF，ABAD，BCCD，AC=AC ADCABC，.2 分E为BD中点， .3 分F为PD中点，/PBEF， .4 分/PB平面ACF.5 分精选学习资料 - - -

31、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页（2）联结PE，2PAABADBD，在等边三角形ABD中 ,中线AEBD，6 分又PA底面ABCD，PABD，PAEBD面，.7 分平面PAE平面PBD。.8 分过A作AHPE于H，则AH平面PBD，取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AGPB，AHPB，PB平面AGH，PBGH，AGH是二面角APBE的平面角 .10 分等腰直角三角形PAB中，2AG，等边三角形ABD中，3AE，RtPAE中，2 37AH，27GH，12 分2177727GHCOS AGHAG. 二面角APBE的余弦值

32、为77。.14 分解法 2：以ACAP、分别为yz、轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，2PAABADBDBCCD，ABCADC，2 分ABD是等边三角形，且E是BD中点，ACBD则(0 0 0)A， ，、(130)B ， ，、( 130)D， ，、(03 0)E， ，、(0 0 2)P，、13(1)22F，4 分（1）13(132)(1)22PBFE， ，、，5 分12PBFE，/PBEF，/PB平面ACF. 7分（2）设平面PABPBE、的法向量分别为121122(0)(1)nxynxy， ，、， ，. 9 分则12n n、的夹角的补角就是二面角APBE的平面角； . 10 分PEF

33、DCBAzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页(1 3 0)AB， ，(132)PB， ，(032)PE， ，由10nAB及2200nPBnPE得1(310)n， ，22(01)3n，-， . 12 分1212127cos7| |n nn nnn，二面角APBE的余弦值为77。.14 分12、解：方法一：（I）证明：连结OC ,.BODO ABADAOBD 1 分,.BODO BCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90 ,oAOC即.AOOC 3 分又,AOBDBD

34、OCO，AO平面BCD 5 分（II）解：取 AC的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E为 BC的中点知MEAB,OEDC直线 OE与 EM 所成的锐角就是异面直线AB 与 CD所成的角。6 分在OME中，121,1,222EMABOEDC 7 分OM是直角AOC斜边 AC上的中线，11,2OMAC 8 分1 1/ 2 12cos,42 12 / 2OEM异面直线AB与 CD所成角大小的余弦为2 /4； 9 分（III）解：设点E到平面 ACD的距离为.h,11.33EACDA CDEACDCDEVVh SAO S 11 分在ACD中，2,2,CACDAD精选学习资料 - - - - -

35、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页xCABODyzE2212722().222ACDS 12 分而21331,2,242CDEAOS 13 分31.212.772CDEACDAO ShS点 E到平面 ACD的距离为21.7 14 分方法二：（I）同方法一5 分（II）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),( 1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,0),22CAE 6 分( 1,0,1),( 1,3,0).BACD 7 分.2cos,4BACDBA CDBA CD 9 分异面直线AB 与 CD所成角大小的余弦为2 / 4；10 分（III）解：设平面ACD的法向量为( , , ),nx y z则.( , , ).( 1,0,1)0,.( , , ).(0,3,1)0,n ADx y zn ACx y z 11 分0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面 ACD的一个法向量12 分又13(,0),22EC点 E到平面 ACD的距离.321.77EC nhn 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页