2022年高三数学一轮复习学案函数及其表示 .pdf

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1、高三数学一轮精品复习学案：函数及其表示【高考目标定位】一、考纲点击1了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3了解简单的分段函数，并能简单应用。二、热点、难点提示1本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图象、 分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。2以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的表达式、对应法则，仍是明年高考考查的重要内容。【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念函数映射两集合设AB、是两个非空

2、数集设AB、是两个非空集合对应关系:fAB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应。如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称称:fAB为从集合A到集合B的一个函数称:fAB为从集合A到集合B的一个映射记法( )yf x，xA对应:fAB是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

3、第 1 页，共 13 页二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数( )yf x，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值( )|f xxA的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x 和y=x+1, 其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如 y=sinx与 y=cosx ，其定义域为R，值域都为 -1 ，1 ，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否

4、相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。【热点、难点精析】一、求函数的定义域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数 y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合 ; （2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解

5、析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数 y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页（1）若 f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若 f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x 取值的集合；（3）当 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x 取值的集合；（4）当 f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0 的 x 取值的集合；（5） 若已知函数f(x) 的定义域为 a,b， 其复

6、合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x)b 解出 ; (6) 若已知函数f(g(x)的定义域为 a,b， 则 f(x)的定义域为g(x) 在 xa,b时的值域。3、例题解析考点 1 函数的概念设 f:x x2是集合 A到集合 B的映射 , 如果 B=1,2, 则 AB 等于( ) A.? B.1 C.? 或2 D.? 或1 下列是映射的是（）图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 (A) 图 1、2、3 (B)图 1、2、5 (C)图 1、3、5 (D)图 1、2、3、5 已知10,1,2,4,0,1,2,6,82AB, 下列对应关系能构成从A 到 B 的映射的是( ) A . 3:1fxx

7、 B. 2:(1)fxx C . 1:2xfx D. :2fxx判断下列图象能表示函数图象的是（）设函数3,(10)( )( (5),(10)xxf xff xx，则(5)f。a b c e a b c e fa b c e fga b c e fa b e fgx y 0 (A) x y 0 (B) x y 0 (D) x y 0 (C) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页22211|1|)(2xxxxxxxf，那么f (f ( 2)= ；如果3)(af，那么实数a= 。已知 f(x)=22(1)( 12),2

8、(2)xxxxx x若 f(x)=3,则 x 的值是 ( ) A.1 B.1或C.1, 3, D. 3考点 2 同一个函数试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x）=2x，g（x）=33x；（2）f （x）=xx|，g（x）=; 01, 01xx（3）f （x）=1212nnx，g（x）=（12nx）2n1（nN*） ；（4）f （x）=x1x，g（x） =xx2；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t2 2t 1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页考点 3 求定义域一 具体函数函数221533xxyx

9、的定义域是 _ 函数0(1)xyxx的定义域是_ 二 抽象函数已知函数 yfx 的定义域是1,2 ， 求函数21yfx的定义域。已知函数21yfx的定义域是1,2 ， 求函数 yfx 的定义域。考点 4 求函数的解析式1、函数的解析式的求法（1）待定系数法。若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法。（2）换元法。已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围 . （3）解方程组法。已知f(x) 满足某个等式，这个等式除f(x) 是未知量外，还出现其他未知量，如f(-x)、f(1x) 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)

10、2、例题解析（1）已知3311()f xxxx，求( )f x；（2）已知2(1)lgfxx，求( )f x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页（3）已知( )f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217f xf xx，求( )f x；（4）已知( )f x满足12( )()3f xfxx，求( )f x；考点 5 求函数值域求下列函数的值域：（1）232yxx；（ 2）265yxx；（ 3）312xyx；（4）4 1yxx；（ 5）21yxx；（ 6）|1|4|yxx；（7）22221xxyxx； （8）221

11、1()212xxyxx； （9）1 sin2cosxyx解：（ 1）改题：求函数232yxx，1,3x的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页（2）（3）（4）注：总结yaxbcxd型值域，变形：或2yaxbcxd（5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页（6）（7）（8）（9）注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。精选学习资料 - - - - - - - -

12、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页考点 6 函数图象及其应用(2010新课标全国 ) 已知函数 f(x)=|,00,1610.2lgxxxx1若 a,b,c 互不相等, 且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是 ( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) (2010天津 ) 若函数 f(x)=212log,0,log (),0 x xxx, 若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是（A）（-1，0）（ 0，1）（B）（-，-1）（ 1,+）（C ）（-1，0）（ 1,+）（D）（-，-1）（ 0

13、,1 ）考点 7 分段函数（绝对值函数）及实际应用题相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行（分段函数分段处理）；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。一、求值例 1（2005 浙江理 3）设 f (x) 2|1|2,| 1,1,| 11xxxx，则 f f (21) ( ) (A) 21 (B)413 (C)95 (D) 2541二、作图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 9 页，共 13 页例 2（2005湖北理文 4 ）函数|1|lnxeyx的图象大致是（）三、解方程例3 （2005山东理 6文7）（7） 函数.001),sin()(12xexxxfx， 若2)() 1(aff,则a的所有可能值为（）（A）1（B）-22（C）1，-22（D）1，22四、解不等式例 4（2003 全国理文 6 及河南、天津）设函数.0,012)(21xxxxfx，若f ( x0)1，则 x0的取值范围是（）（A）（ 1，1）（B）（ 1，）（C）（， 2）（0，）（D）（， 1）（1，）例 5（2004浙江理文 13） 已知, 0, 1, 0, 1)(xxxf则不等式)

15、2()2(xfxx5 的解集是 . 五、求解析式例 6（2005 广东 9）在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x) 和 y=g(x) 的图象象关于直线y=x 对称，现将y=g(x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图2 所示），则函数f(x) 的表达式为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页（A）20 ,2201,22)(xxxxxf（B）20 ,2201,22)(xxxxxf（C ）42, 1221 ,22)(xxxxxf（D）42,

16、3201 , 62)(xxxxxf六、求周期和最值例 7（2005 湖北文 15）函数1cos|sin|xxy的最小正周期与最大值的和为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页巩固练习：1函数 f ( x) log2(3x1) 的值域为 ( ) A(0 ，) B0 ， ) C(1 ，) D1 ， ) 2.(2011 江西 A.) 若 f ( x)1log122x1，则 f ( x)的定义域为 ( ) A. 12，0B. 12，0C. 12，D(0， ) 3下列各对函数中，表示同一函数的是( ) Af ( x) l

17、g x2，g( x) 2lg xBf ( x) lgx1x1，g( x) lg( x1) lg( x1) Cf ( u) 1u1u，g( v)1v1vDf ( x) (x)2，g( x)x24(2010 陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y x( x 表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为 ( ) Ayx10Byx310Cyx410Dyx5105. (2012 天津耀华中学月考)(1) 已知 f (x) 的定义域为12，12，求函数yf x2

18、x12的定义域；(2) 已知函数 f (3 2x) 的定义域为 1,2 ，求 f (x) 的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页6, (1) 已知 f2x1 lg x，求 f ( x)；(2) 定义在 ( 1,1) 内的函数 f ( x) 满足 2f (x) f ( x) lg( x1)，求函数 f (x)的解析式 7.(2011 江苏)已知实数 a0，函数 f ( x) 2xa，x1，x2a，x1.若 f (1 a)f (1a) ，则 a 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页