2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：专题五第3讲第2课时　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 .docx

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1、第2课时圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题解答题 1.(2019兰州诊断)已知曲线C上的任意一点到直线l:x=-12的距离与到点F12,0的距离相等.(1)求曲线C的方程;(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(-1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:1k12+1k22-2k2为定值.解析(1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p0),则p2=12,p=1,曲线C的方程为y2=2x.(2)证明:由已知得,直线AB的方程为y=k(x-1)(k0),由y=k(x-1),y2=2x可得ky2-2y-2

2、k=0.设Ay122,y1,By222,y2,则y1+y2=2k,y1y2=-2.k1=y1y122+1=2y1y12+2,k2=y2y222+1=2y2y22+2,1k12+1k22=(y12+2)24y12+(y22+2)24y22=(y12+2)2y22+(y22+2)2y124y12y22=y14y22+y24y12+8y12y22+4(y12+y22)4y12y22=8(y12+y22)+3216=(y1+y2)2-2y1y2+42=4k2+82=2k2+4.1k12+1k22-2k2=4,为定值.2.(2019石家庄质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,

3、且经过点-1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(3,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,则在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意可得ca=32,1a2+34b2=1,又a2-b2=c2,所以a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)存在定点Q433,0,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为x+my-3=0,与椭圆C的方程联立得x+my-3=0,x24+y2=1,整理得(4+m2)y2-23my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y

4、2),定点Q(t,0)(依题意tx1,tx2).由根与系数的关系可得,y1+y2=23m4+m2,y1y2=-14+m2.直线QA与直线QB恰好关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数,所以y1x1-t+y2x2-t=0,即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0.又x1+my1-3=0,x2+my2-3=0,所以y1(3-my2-t)+y2(3-my1-t)=0,整理得(3-t)(y1+y2)-2my1y2=0,从而可得(3-t)23m4+m2-2m-14+m2=0,即2m(4-3t)=0,所以当t=433,即Q433,0时,直线QA与直线QB恰好关于x轴对称.特别地,当直线l为x轴时,Q433,0符合题意.当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,Q433,0符合题意.综上所述,在x轴上存在定点Q433,0,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称.