2022年高中数学-必修四-三角函数最值与值域常考题型总结 .pdf

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1、1 三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容, 要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用1cos1sin,xx这一有界性求最值。例 1：求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变 形为(1)sin21yxy，知1y，则有21sin1yxy，21| sin| |11yxy22221|1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2,03y例 2,假设函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求 a,b 0,1,7430,1,74,3aabababaababab，练习： 1，求函数1cos3cosxyx的值域31（，+）2,函数xysin的

2、定义域为 a，b，值域为21, 1，则 b-a 的最大值和最小值之和为b A34B2C38D4类型二：xbxaycossin型。此类型通常可以可化为22sincos()yax bxab x求其最值或值域 。例 1：求函数3sin4cos,(0,)2yxx x的最值。解：343sin4cos5sin(),cos,sin55( ,),(3,52yxxxxy2,求函数)3sin()6sin(xxyRx的最值。解法 :)12sin(24)6sin(2)6cos()6sin(xxxxy，函数的最大值为2，最小值为2。练习： 1,函数 y=3sin(x+20 ) +5sin(x+80) 的最大值是： c

3、A 、215B、216C、7 D、8 2, 已知函数xxf2sin)(，)62cos()(xxg，直线 xtt2, 0与函数 f( x) 、g( x) 的图像分别交于M、N 两点，则 | MN| 的最大值是3类型三：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间1 , 1上的最值问题。例 1：求函数1sin3cos2xxyRx的最值解：49)23(sin1sin3sin122xxxy函数的最大值为49，最小值为4325例 2：求函数1sin3cos2xaxyRa，Rx的最大值。解：1sin3cos2xaxy转化为2sin3 sin2yxax配方得：精选学习资料

4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 243)23(sin22aaxy当123a，即332a时，在 sinx= 1，13maxay当123a时，即332a时，在 sinx=1，13maxay当1231a，即332332a时，在ax23sin时，2432maxay综上：2max2 331()332 32 32()4332 331()3aayaaaa练习：函数则上的最大值为在区间, 1,32cos2sin)(2xxxf的值是 d A0 B3C2D2类型四：)0(cossinsin2acxxbxay型。例：求函数)2474(cossin

5、4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x 的值。解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x2474x， 436232x，21)62cos(22x( )f x的最小值为2233，此时247x，( )f x无最大值。练习：已知：2123sincos12sinyxxxxR，求y的最大值及此时x的集合解：2123sincos12sinyxxx1cos2315sin 21sin(2)44264xxx，当sin(2)16x时，max157244y此时，2262xk，即6xk所以y的最大值为74，此时x的集合为|6

6、x xkkZ，类型五：dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法转化为斜率问题求最值。例：求函数sincos2xyx的值域。解法 1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，22sin()1yxy由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 2|2 |sin()|11yxy22(2 )1yy，解得：3333y，故值域是33,33解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定

7、点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象， 当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33,33。练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。3cos1sin2yy/2 即为单位圆上的点(cos ， sin ) 与定点 (3 ，1) 连线的斜率，由数形结合可知y/2 0 ，3/4, y 0 ，3/2 类 型 六 ：含 有xxxxcossincossin与的 最 值 问 题 。 解 此 类 型 最 值 问 题 通 常 令xxtcossin，xxtcossin212

8、，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例： 求函数sincossincosyxxxx的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。解法 1：设 t=sinx +cosx，则)4sin(2xt2,2t)1(21cossin2txx1)1(21) 1(2122ttty221maxy。解法 2：)4sin(22sin21cossincossinxxxxxxy，44xx，2111sin(2)2sincos22 sinsin2 sin2222ymax122y练习： 1,求函数(sin2)(cos2)yxx的最大、最小值解：原函数可化为：sincos2(sincos )4yxxxx，令sinco

9、s(| |2)xxtt， 则21sincos2txx，2211324(2)222tytt22,2t， 且 函 数 在2,2上 为 减 函 数 ， 当2t时 ， 即2()4xkkZ时 ，min92 22y；当2t时，即32()4xkkZ时，max92 22y2,函数xxxxxfcossin1cossin)(的值域是 dA12, 11 , 12B212,212C122, 122D212, 11,212类型七 :sin(0)sinbyaxxx型转化为对号函数函数最值问题。例：求函数xxxy2sinsin22sin1的最大、最小值xxxxysin11sin111)sin1(sin121sinx 0 x

10、QPyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 y 0, 当 sinx=1 时 Ymin=0,当 1sinx0 时,1 sinx+xsin112, ymax=1/2 已知34x，则函数xxycos)6sin(2的最大值与最小值的和为35 . 当04x时,函数22cos()cos sinsinxf xxxx的最小值4 练习：1,已知(0,)x，求函数23sin13siny的最大值；2,当20 x时，函数21 cos28cos( )sin2xxf xx的最小值为 4 2221cos28cos2sin8cos4( )tans

11、in22sincostantan(0,),( )4,)xxxxf xxxxxxxfx类型八：条件最值问题。例 1：已知sin2sin2sin322，求22sinsiny的取值范围。解： sin2sin2sin322，sinsin23sin221sin0232sin01sinsin230sinsin2322解得21)1(sin21sinsin21sinsin2222y 32sin0sin=0 时，0miny；32sin时，94maxy94sinsin022。2,2sincos,cos sin3xyxy则的取值cos sin2sincoscos sinsin() 1,132sincoscos si

12、nsin() 1,131 1, 3 3xytxyxyxytxyxyxytt设练习： 1,已知 Sinx+Siny=31，求 Sinycos2x 的最大值942,已知22sinsinyx，因式 cosx+cosy 的最大值为A2 B0 C1414D214D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 22222coscos,sinsin21(sinsin )(coscos )22cos()231414 2,2,222xytxyxyxyxyttt类型九：其他问题例 1：函数cossinyxxx在3,22的最小值为max3cos

13、sinsin0,223,),( ,22yxxxyxxxxxyxyy2,求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。解： 定义域为0 x1，可设xx2cos且2022sincos11x，20)4sin(2cossinsincos22y20，4344，1)4sin(22即21y当44或434，即 = 0 或2此时 x=1 或 x=0 ，y=1；当2，即4时， 此时21x ，2y，当 x=0 或 x=1 时， y 有最小值1；当21x时， y 有最大值2。练习： 1,求sincos2yxx，0,2x的最大值。332maxsincos22sinsin ,0,2sin0,1,2,610666,0,),0;(,1,066669yxxxx xxtytt ytttytyy设2 假设不等式tantan1xxa，x(,22)的解集非空，则参数a 的取值范围为令 tanx = m， 则 mR， 原不等式化为a1mm即 a11mm而易知1mm的最小值为1a1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页