2022年高中数学圆锥曲线重要结论 .pdf

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1、圆锥曲线重要结论椭圆1.点 P处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab.

2、7.椭圆22221xyab(ab 0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyabab0的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)F c00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点

3、 N，则 MF NF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页即0202yaxbKAB。双曲线1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角. 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .内切： P

4、在右支；外切：P在左支5.假设000(,)P xy在双曲线22221xyab a0,b0上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.假设000(,)P xy在双曲线22221xyaba0,b 0外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.双曲线22221xyab a 0,b o的左右焦点分别为F1， F2，点P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8.双曲线22221xyaba0,b o的焦半径公式：(1(,0)Fc, 2( ,0)F c当00(,

5、)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N两点，则MF NF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页11.AB 是双曲线2

6、2221xyaba0,b0的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.假设000(,)P xy在双曲线22221xyab a0,b0内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.假设000(,)P xy在双曲线22221xyab a0,b0内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆1.椭圆22221xyabab o 的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a， 与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P

7、1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点， 则直线 BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 3.假设 P 为椭圆22221xyabab 0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4.设 椭 圆22221xyab a b 0 的 两 个 焦 点 为F1、 F2,P 异 于 长 轴 端 点 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记12F PF, 12PF F,12F F P

8、，则有sinsinsincea. 5.假设椭圆22221xyabab0的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为椭圆22221xyabab0上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立. 7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222

9、200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyaba b0 ， O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.122221111|OPOQab;2|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;3OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆22221xyabab0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab ab0,A、 B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设P 点是椭圆22221xyaba b

10、 0上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为 其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设 A、B 是椭圆22221xyab ab0的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页13.已知椭圆22221xyab ab0 的右准线l与 x 轴相交于点

11、E， 过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、 B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). 注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内

12、、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- 双曲线1.双曲线22221xyaba 0,b0的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页22221xyab. 2.过双曲线22221xyaba0,bo 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点， 则直线 BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 3.假设P 为双曲线22221xyab a 0,b 0右

13、或左支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca或tant22cacoca. 4.设双曲线22221xyab a 0,b 0的两个焦点为F1、 F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5.假设双曲线22221xyaba0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyaba0,b0上任一点 ,F1,F2为二焦点

14、， A 为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页7.双曲线22221xyaba0,b0与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8.已知双曲线22221xyabba 0 ， O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. 122221111|OPOQab;2|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;3OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22

15、221xyaba0,b0的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyab a0,b0,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P 点是双曲线22221xyab a 0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12.设 A、B 是双曲线22221xyaba0,b0的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,

16、BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyaba0,b 0的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.

17、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). (注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需

18、要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A3，2 ，F2，0 ，双曲线xy2231，P 为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析：如下图，双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。| | |PAPFPAPEAM1252二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如下图的坐标系，设点F 到准

19、线l的距离为 p定值，椭圆中心坐标为Mt，0 t 为参数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页pbc2，而ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为Px，y ，则xctybpt消去 t，得轨迹方程ypx2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yR,，且满足方程xyy2230()，又myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义

20、为，曲线xyy2230()上的点与点3， 3连线的斜率，如下图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页kmkPAPB332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为 _。解：OMPOQN| |OP OQOMON5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识

21、的有力工具。例 5. 已知椭圆：xy2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线OP 交椭圆于一点R，点 Q 在 OP 上且满足| |OQ OPOR2，当点 P 在l上移动时，求点Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()，则ORxy()，OPxy()，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页| |OQ OPOR2|OQOQ2222点 R 在椭圆上， P 点在直线

22、l上222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点Q 的轨迹方程为：()()xy152153122直线yx23上方部分六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页则圆心为(

23、)3131，在直线xy40上解得7故所求的方程为xyxy227320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A2，1的直线与双曲线xy2221相交于两点P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。解：设P xy111()，P xy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy211221122即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为M xy()00，则kyyxxxyP P122121002又kyxAM0012，而 P1、A、M、P2共线kkP PAM12，即yxx

24、y0000122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页P P12中点 M 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 求解

25、有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2 、OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如下图的直角坐标系. (1)写出直线BA的方程；2计算出点P、Q 的坐标；3证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出,BA点的坐标 . (1 ) 显然tA1 , 1, ，tB11于是直线BA的方程为1txy；2由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；

26、3ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与 x 轴、 y 轴分别交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 ,

27、由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程. 02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0 ，x=0 ，求得)., 0(),0,(mSkmR令顶点 P 的坐标为 x，y ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P 的轨迹方程方

28、程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.231求双曲线的方程；2已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页讲解： 1,332ac原点到直线AB ：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx2把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830

29、)31 (22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk, 000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k= 7.为了求出k的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构k的方程 . 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线 l 过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为 121求椭圆 C 的离心率；2求椭圆 C 的方程讲解： 1设112212|,|,|2PFrPF

30、rF Fc, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页解出.22e2考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设l 的方程为)(cxky椭圆方程为),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为222220 xyc将代入，消去y得02)(22222ccxkx

31、, 整理为x的一元二次方程，得0)1(24)21 (22222kcxckxk. 则 x1、x2是上述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1(22|1|kkcxxkAB，AB 边上的高,1|2sin|22121kkcFBFFFhckkkkcS21|)211(22212222242222224421|12 2222 22.1121444kkkkcccckkkkkii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得221,|2 ,2222ycABc Scc由知 S 的最大值为22c由题意得22c=12 所以2226bc2122a也可这样求解：|212121yyFFS|21xxk

32、c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出此题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. 222121221|()()1|ABxxyymyy2)2(4412222

33、22mmccmm2)1(2222mmc, AB 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1 (2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当 m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于 A、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:yxl上.求此椭圆的离心率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页2

34、假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 :1设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为222222,babbaa. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e . 2由 1知,cb从而椭圆的右焦点坐标为),0 ,(bF设)0 ,(bF关于直线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxy

35、yx且则解得bybx545300且由已知得4, 4)54()53(,42222020bbbyx，故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6 已知 M：xQyx是, 1)2(22轴上的动点， QA，QB 分别切 M 于 A，B 两点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页1如果324| AB，求直线 MQ 的方程；2求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 讲解 :1由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在RtMOQ 中，523|2222MO

36、MQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是; 0525205252yxyx或2连接 MB，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把 *及 *消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7 如图，在 RtABC 中， CBA=90 ， AB=2 ，AC=22。DO AB 于 O 点， OA=OB ，DO=2 ，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持 | PA |+| PB

37、 | 的值不变 . 1建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页2过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数的取值范围y=22)22(22222动点 P 的讲 解 : 1 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 如 下 图 | PA |+| PB |=| CA |+| CB | 轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是1222yx . 2设直线L 的方程为2kxy, 代入曲线E 的方程2222yx，得068)12(22

38、kxxk设M1),(),221, 1yxNyx, 则.126,128,06)12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L 与 y 轴重合时，31|DNDMii) L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, , 012xx或, 012xx01 , A O B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页212)(122121221xxxxxxxx)12(332) 12(664)(2222122kkkxxxx而,232k.8)12(362k,316)12(33242k316214,

39、 31012,.131,3101, 21, 10的取值范围是1 ,31 . 值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例 8 直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点 . 1求证：2214pxx;2求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线 l 不是 CD 的垂直平分线 . 讲解 : 1 易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 假设l x 轴，则l 的方程为4,2221PxxPx显然.假设l 不垂直于x 轴，可设)2(Pxky, 代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2

40、214pxx. 2设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为 y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线 . 此题是课此题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页