2022年高三数学大一轮复习幂函数学案理新人教A版 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 9 幂函数导学目标： 1. 了解幂函数的概念.2. 结合函数yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况自主梳理1幂函数的概念形如 _的函数叫做幂函数，其中_是自变量， _是常数2幂函数的性质(1) 五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点yx RR奇(1,1) yx2R0 ， )偶0 ， ) ( ， 0 yx3RR奇y21x0 ， )0 ， )非奇非偶0 ， ) yx1( ， 0) (0 ， ) ( ， 0) (0 ， ) 奇( ， 0)(0 ， ) (2) 所有幂函数在 _上都有定义， 并且图象都过点(1,

2、1) ， 且在第 _象限无图象(3) 0 时，幂函数的图象通过点_，并且在区间(0 ， ) 上是_，g(x) ；f(x) g(x) ；f(x)g(x) ，试求函数h(x) 的最大值以及单调区间探究点二幂函数的单调性例 2比较下列各题中值的大小(1)8 .03，7 .03；(2)321.0，323.0；(3)212，318.1；(4)521.4，328 .3和53)9. 1(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思变式迁移 2 (1) 比较下列各组值的大小：318_31)91(；0.

3、20.5_0.40.3. (2) 已知 (0.71.3)m(1.30.7)m，则m的取值范围是_探究点三幂函数的综合应用例 3(2011葫芦岛模拟) 已知函数f(x) 322mmx(mN*) 的图象关于y轴对称，且在(0 ， ) 上是减函数，求满足3)1(maf(a1)的实数a的取值范围1幂函数yx( R) ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在(0,1) 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为 “指大图低” ) ，在(1 ， ) 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一

4、定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1 右 图 是 函 数ynmx (m，n N*，m、n互 质 ) 的 图 象 ， 则( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思Am，n是奇数，且mn1 Cm是偶数，n是奇数，且mn1 2(2010陕西 ) 下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，

5、函数f(x) 满足f(xy) f(x)f(y) ”的是( ) A幂函数B对数函数C指数函数D余弦函数3下列函数图象中，正确的是( ) 4(2010安徽) 设a52)53(，b53)52(，c52)52(，则a，b，c的大小关系是( ) AacbBabcCcabDbca5下列命题中正确的是( ) 幂函数的图象都经过点(1,1)和点 (0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；当n0 时，函数yxn的图象是一条直线；幂函数yxn当n0 时是增函数；幂函数yxn当n0 时在第一象限内函数值随x值的增大而减小A和B和C和D和题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6(2011

6、邯郸模拟) 若幂函数y22) 332(mmxmm的图象不经过原点，则实数m的值为 _7 已知ax，b2ax，cax1，x(0,1) ， (0,1)， 则a，b，c的大小顺序是_8已知函数f(x)x(0 1，则f(x)1；若 0 x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思则 0f(x)0 时，若f(x1)f(x2) ，则x1x2；若 0 x1x2，则f(x1)x1f(x2)x2. 其中正确的命题序号是_三、解答题 ( 共 38 分) 9 (12 分) 设f(x) 是定义在R上以 2

7、为最小正周期的周期函数当 1xf(x3)11(14 分)(2011 荆州模拟) 已知函数f(x) 22kkx(k Z) 满足f(2)0，使函数g(x) 1qf(x) (2q1)x在区间 1,2 上的值域为 4，178 ？若存在，求出q；若不存在，请说明理由答案自主梳理1yxx2.(2)(0，)四(3)(0,0)， (1,1) 增函数不过自我检测1B 方法一由幂函数的图象与性质，nn(C2)n(C3)n(C4) 故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，12，12， 2. 方法二作直线x2 分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为 22,212，212，22

8、，故n值分别为2，12，12， 2.2D 第一个图象过点(0,0) ，与对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为ykx，yx1恰好符合，第二个图象对应；第三个图象为指数函数图象，表达式为yax，且a1，y2x恰好符合，第三个图象对应；第四个图象为对数函数图象，表达式为ylogax，且a1，ylog2x恰好符合，第四个图象对应. 四个函数图象与函数序号的对应顺序为. 3A 4.C 5.B 课堂活动区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 1解(1) 设f(x) x，图象过点 (2，

9、 2) ，故 2(2)，解得 2，f(x) x2. 设g(x) x，图象过点(2 ，14) ，142，解得 2. g(x) x2. (2) 在同一坐标系下作出f(x) x2与g(x) x2的图象，如图所示由图象可知，f(x) ，g(x)的图象均过点( 1，1) 和(1,1) 当x1，或xg(x) ；当x1，或x 1 时，f(x) g(x) ；当 1x1 且x0 时，f(x)g(x) 变式迁移 1 解求f(x)，g(x) 解析式及作出f(x) ，g(x) 的图象同例1，如例 1 图所示，则有：h(x) x2，x1，x2， 1x1.根据图象可知函数h(x) 的最大值为1，单调增区间为 ( ， 1)

10、和(0,1) ；单调减区间为( 1,0) 和 (1 ， ) 例 2解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0 和 1“搭桥”进行分组解(1) 函数y3x是增函数，30.830.7. (2) 函数yx3是增函数， 0.2130.233. (3) 3121218 .18 .12，31218.12. (4)525211.4 1；0323218.31；53)9 .1(0，5232531.48. 3)9. 1(. 变式迁移 2 (1) 0 解析根据幂函数yx1.3的图象，当 0

11、x1 时， 0y1， 00.71.31时，y1， 1.30.71. 于是有 0.71.31.30.7. 对于幂函数yxm，由(0.71.3)m0 时，随着x的增大，函数值也增大，m0. 例 3解函数f(x) 在(0 ， ) 上递减，m22m30，解得 1m3. mN*，m1,2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又函数的图象关于y轴对称，m22m3 是偶数，而 2222 3 3 为奇数，1221 3 4 为偶数，m1. 而y31x在( ， 0)，(0 ， ) 上均为减函数，31

12、) 1(a32a0，或 0a132a，或a1032a，解得a1 或23a32. 故a的范围为 a|a 1 或23af(a1) 得2a0，a102aa1.解得 1a32. a的取值范围为 1 ，32) 课后练习区1C 由图象知，函数为偶函数，m为偶数，n为奇数又函数图象在第一限内上凸，mn1，可知 A、B图象不正确；D中由yxa知 0ac，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思y(25)x在x( ， ) 递减，5352)52()52(，即cb，acb. 5D 61 或 2 解析由m23

13、m31m2m20解得m1 或 2. 经检验m1 或 2 都适合7ca 2. 又x (0,1)，ax1x2ax，即cab. 8解析作出yx(01) 在第一象限内的图象，如图所示，可判定正确，又fxx表示图象上的点与原点连线的斜率，当 0 x1fx2x2，故错9解设在 1,1) 中，f(x) xn，由点 (12，18)在函数图象上，求得n3. (4分) 令x2k 1,2k1) ，则x 2k 1,1) ，f(x 2k) (x2k)3. (8分) 又f(x) 周期为 2，f(x)f(x2k) (x2k)3. 即f(x) (x2k)3(kZ) (12分) 10解由条件知1n22n30，n22n30， 解

14、得 1nf(x3) 转化为x2xx3. 解得x3. 原不等式的解集为( ， 1) (3 ， ) (12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思分) 11解(1) f(2)0，解得 1k0满足题设，由(1) 知g(x) qx2(2q 1)x1，x 1,2 g(2) 1，两个最值点只能在端点(1，g( 1) 和顶点 (2q12q，4q2 14q) 处取得(8分) 而4q214qg( 1)4q214q(23q) q24q0，g(x)max4q214q178，(12分) g(x)ming(1) 23q 4. 解得q2. 存在q2 满足题意(14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页